$\frac{AC}{BD} = \frac{AB.AD+BC.CD}{AB.BC+CD.AD} \Leftrightarrow \frac{AC.sinA}{BC.sinB}=\frac{AB.AD.sinA+BC.CD.sinD}{AB.BC.sinB+CD.AD.sinC}=\frac{2S_{ABCD}}{2S_{ABCD}}=1 \Leftrightarrow \frac{AC}{BD}=\frac{sinB}{sinA}=\frac{\frac{sinB}{sinACB}}{\frac{sinA}{sinADB}}=\frac{\frac{AC}{AB}}{\frac{BD}{AB}}$

..

.

Mình không biết cách phương tích nhưng mình có cách này bạn tham khảo : 

Áp dụng định lí Pascal $\begin{pmatrix} C & B & F \\ A & D & B \end{pmatrix}$ ta suy ra : O, E,H thẳng hàng (đpcm)

b) Ta có : OSHF là hình bình hành => OH cắt SF tại trung điểm X mỗi đường. 

Tam giác DAE có : SF || AE mà I là trung điểm AE => DI đi qua trung điểm X của SF.

Vì OH || DN mà X là trung điểm OH nên D(HOXN) = -1, gọi V là giao của DO với AC => D(AVQN)=-1 => (AVQN)=-1

Gọi V' là giao của TD và QN. Xét tam giác TQN có TV', NM, QP đồng quy tại D và MP cắt QN tại A nên => (AV'QN)=-1 => V trùng V' hay D, O, T thẳng hàng.

A , K ,O thẳng hàng ( với O là tâm (ABC)) => AK vuông góc với DE

$\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+(\frac{AB'}{AC}.\overrightarrow{BC}+\frac{CB'}{AC}.\overrightarrow{BA})+(\frac{AC'}{AB}.\overrightarrow{CB}+\frac{BC'}{AB}.\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{AB} (\frac{1}{2}-\frac{CB'}{AC})+\overrightarrow{BC}(\frac{AB'}{AC}-\frac{AC'}{AB}) + \overrightarrow{CA}(\frac{BC'}{AB}-\frac{1}{2})=\overrightarrow{0} \Rightarrow \frac{1}{2}-\frac{CB'}{AC}=\frac{BC'}{AB}-\frac{1}{2}=\frac{AB'}{AC}-\frac{AC'}{AB}\Rightarrow\frac{AB'}{AC}=\frac{AC'}{AB} =\frac{1}{2}$

2. ta có : (AKEF)=-1 (hàng điều hoà  cơ bản) mà ME vuông góc với MF nên suy ra ME là tia phân giác của AKM

 

1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi

(K),(L),(N) lần lượt là đối xứng của (I) qua BC, CA, AB. Giả sử (K) ∩ (O) = A1A2, A1A2 ∩

BC = A3, B3, C3 được xác định tương tự. Chứng minh rằng A3, B3, C3 thẳng hàng

 

Bạn xem lại đề câu này thử hình như bạn ghi nhầm rồi

Bác taconghoang, Câu hình 6b: D, E ở đâu ạ?

Dạ D E bất kì ạ

Cách khác cho bài 4 :

$\sum \frac{a^3+5}{a^3(b+c)}=\sum \frac{1}{b+c} + 5\sum \frac{b^2c^2}{a(b+c)}\geq \frac{9}{2(a+b+c)} + \frac{5(ab+bc+ca)}{2} = \frac{27}{2.3abc(a+b+c)} + \frac{5(ab+bc+ca)}{2} \geq \frac{27}{2(\sum ab)^2} + \frac{\sum ab}{2} + \frac{\sum ab}{2} + \frac{3(\sum ab)}{2}\geq \frac{9}{2}+\frac{9}{2}=9$.

Bài 1 : Cho $a$ là một số tự nhiên và $(u_{n})$ là dãy được xác định bởi :

    $u_{1}=u_{2}=1, u_{n+2}=14 \, u_{n+1}-u_{n}-a$ với mọi $n \geq 1$.

Tìm $a$ để tất cả các số hạng của dãy $(u_{n})$ đều là số chính phương.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện : 

$ f(xy-1) + f(x)f(y) = 2xy - 1 $ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.

Bài 3 Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ cố định, hai điểm $B,C$ thay đổi trên đường tròn đó. Gọi $BE,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$. Trên đường thằng $EF$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $\angle MBC = \angle NCB = 90^{\circ}$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$, vẽ $MI$ cắt $AC$ tại $P$, $NI$ cắt $AB$ tại $Q$.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng $BP,CQ$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn $(O)$.

b) Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $MP$ cắt đường tròn $(O)$ tại $X$; đường thẳng qua $A$ vuông góc với $NQ$ cắt đường tròn $(O)$ tại $Y (X,Y\neq A)$. Các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $X,Y$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $T$ và vuông góc với $BC$ luôn đi qua một điểm cố định khi $B,C$ thay đổi trên $(O)$.

Bài 4. Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :

$$ \dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\dfrac{b^3+5}{b^3(c+a)}+\dfrac{c^3+5}{c^3(a+b)}\geq 9 $$

Bài 5

a) Cho $p>3$ là một số nguyên tố, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì ba số $p+2, \, 2^n+p$ và $2^n+p+2$ không thể đều là số nguyên tố.

b)Tìm số tự nhiên $n$ để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho cả ba số $p+2, \, 2^n+p$ và $2^n+p+2$ đều là số nguyên tố.

Bài 6

Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$. Trên cung $AB$ của đường tròn $(O)$ không chứa $C$ lấy các điểm $P,Q$ sao cho $\angle ACP=\angle BCQ < \angle ACQ$. Gọi $R,S$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $CQ,CP$.

a) Chứng minh rằng bốn điểm $P,Q,R,S$ cùng nằm trên một đường tròn và $M$ là tâm của đường tròn đó.

b) Vẽ $OD$ cắt $BE$ tại $K$, $OE$ cắt $AD$ tại $L$. Chứng minh rằng $K,L,M$ thằng hàng khi và chỉ khi $OH$ song song với $DE$.

Bài 7

Từ các số $1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $n$ chữ số $(n$ nguyên dương $)$ mà trong mỗi số đó chứa một số lẻ chữ số $1$ và một số chẵn chữ số $2$ ?

Anh thấy rõ ràng dựa vào ý 9+5=8+6 😁 và c,g thuộc 1,2 mà đâu mò nhiều đâu

đó là do anh biết cách để mò chứ không biết thì hơi khoai đấy anh à  

Năm nay không khó như năm ngoái nhỉ 😁 kết quả câu tổ với c lớn hơn g ( th ngược lại tương tự) (đọc theo chiều tăng a,b,c,...) là 5.9.2.3.4.7.1.6.8) ( onl bằng đt gõ ko tiện )

Câu này đâu phải câu tổ đâu anh ? em thấy đó giống câu mò cua bắt ốc để lấy 0,5 đ ai dư nhiều time thì sẽ có lợi  

Bài 78 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).Gọi J là giao điểm của AC và BD . Đường tròn (O`) tiếp xúc với 2 tia JA và JB tại E,F và tiếp xúc với (O).CMR : EF đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD

Bài này đã được giải ở phía trên bạn lục lại để xem nhé 

 

Dễ dàng chứng minh $\triangle KPQ \sim \triangle KPM$.

 

diendan(116).PNG

Chỗ này phải là KBM chứ a.

Bài 71 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M là điểm bất kì thuộc trung trực của BC. $I_{1},I_{2}$ lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác ABM, ACM. Chứng minh $(AI_{1}I_{2})$ qua 1 điểm cố định.

Bài 9 : Cho bảng ô vuông kích thước 2017x2018, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi. Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ ô đó một viên sỏi sang ô bên cạnh (là ô có chung cạnh với ô có chứa viên sỏi).  Hỏi sau hữu hạn phép thực hiện các bước trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô hay không ? 

$\text{ Gọi tiếp tuyến tại B cắt tiếp tuyến tại C của } (O) \text{ tại } S.$

$\text{Dễ dàng chứng minh } S,X,A \text{ thẳng hàng và } AX \text{ là đường đối trung trong tam giác } ABC$.

$\text{ Phần chứng minh đã có tại đây }$ https://diendantoanh...-2019/page-3}$.

$\angle NAZ  = \angle YAX = 90 - \angle AZY \Rightarrow AN \perp YZ$.

$\frac{NE}{NF} = \frac{BX}{CX} = \frac{BY}{YF} = \frac{CZ}{ZE} \Rightarrow ZN \perp AY , YN \perp AZ \Rightarrow \text{ dpcm}$.

diendan(105).PNG

Cách khác phù hợp với THCS hơn  

Bài 51: Tìm kích thước của tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn (O;R) cho trước

Gọi D là điểm chính giữa cung BC chứa A. E là trung điểm BC 

Ta có : 

$S_{ABC}\leq S_{DBC}=DE.CE=\sqrt{R^2-OE^2}.(R+OE)=\sqrt{(R+OE)^3(R-OE)}=\frac{\sqrt{(R+OE)(R+OE)(R+OE)(3R-3OE)} }{\sqrt{3}}\leq \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A trùng D và 3R-3OE=R+OE => R=2OE => AB=AC=CB

Bài 41: Cho tam giác ABC và các điểm như hình vẽ 

a)CM rằng nếu diện tích các tam giác được tô màu đôi một bằng nhau thì diện tích các tứ giác không được tô màu cũng đôi một bằng nhau.

Câu này dành cho bạn nào có hứng thú: b)Tìm tất cả các tam giác ABC và bộ điểm D,E,F  tương ứng thỏa đk ở câu a)

Câu a) chỉ cần chứng minh K là trung điểm CD là xong  

Ta có : $S_{IJK}=S_{CKF}\Rightarrow S_{ICJ}=S_{CFJ}\Rightarrow IF//CJ$

Áp dụng bổ đề hình thang vào hình thang JIFC => AK đi qua trung điểm L của CJ 

Tương tự ta cũng có DJ//AK => KL //DJ => K là trung điểm CD. 

P/s : sr em làm theo hình của em mọi người thông cảm vì điểm không giống đề :3 

 

Bài $35$: Cho $\triangle ABC$ nhọn. Đường tròn $(O; \dfrac{BC}{2} )$ cắt $AB, AC$ thứ tự tại $E,D$. Các tiếp tuyến kẻ từ $E,D$ của $(O)$ cắt nhau tại $I$ và lần lượt cắt tiếp tuyến kẻ từ $B, C$ của $(O)$ tại $F,G$. $FG$ cắt $AI$ tại $H$ và cắt $(O)$ tại $M,N$. Chứng minh $H$ là trực tâm của $\triangle ABC $ và $MA, NA$ lần lượt các tiếp tuyến của $(O)$.

 

Bài $36$: Từ điểm $M$ ngoài $(O)$, vẽ tiếp tuyến $MA, MB$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp $\triangle ABM$ tiếp xúc với $AB, AM$ lần lượt tại $H,G$ ; $(I)$ cắt $(O)$ tại $P,R$ ($P$ nằm trên nửa mặt phẳng bờ $OM$ chứa $A$), $AR$ cắt $(I)$ tại $Q$. Chứng minh $PR, AI, HG$ đồng quy và $\triangle APQ$ cân.

 

 

Hồi lớp 9 tôi khá thích tự phát hiện ra những tính chất hình học, hôm nay tìm lại được vài bài trên máy tính nên muốn đóng góp cho Topic.

 

Bài 35 đơn giản lại như sau : Cho tam giác ABC, đường tròn (O;BC/2) cắt AB AC tại E F. H là trực tâm tam giác ABC. I là trung điểm AH.Từ A vẽ các tiếp tuyến AM,AN. Chứng minh IE IF là các tiếp tuyến của (O) và M,N,H thẳng hàng

Bài này quen quá rồi

Bài 39: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có các đường cao $BE,CF$. $M$ là trung điểm $BC$, $AM$ cắt $EF$ tại $N$. Kẻ $NX \perp BC$, $XY \perp AB$ , $XZ \perp AC$. Chứng minh $N$ là trực tâm của tam giác $AYZ$.