bài 1. cho a,b,c dương thỏa mãn $a^3 +b^3 +c^3$ chia hết cho $14$.Chứng minh rằng $abc$ chia hết cho $14

 

Bài 2. cho 3 số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a+b+c = 2019 CMR abc(a-1)(b+4)(c+6) chia hết cho 6

 

Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n^2-n+1 là một lũy thừa của 3

 

Bài 4 Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho $\frac{7^p-4^p}{31}$ là số chính phương

 

Bài 5 CMR với mọi a, b nguyên thì $a^{5}b+3$ và $b^{5}a+3$ không thể cùng là lập phương của các số nguyên

Bài 2 : Do tổng a+b+c = 2019 lẻ nên cả 3 số a,b,c k cùng lẻ nên có ít nhất một số chẵn. Khi đó abc chia hết cho 2 hay abc(a-1)(b+4)(c+6) chia hết cho 2.

Tiếp đó, ta sẽ cm abc(a-1)(b+4)(c+6) chia hết cho 3.

Có : nếu a chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 thì ta có đpcm. Vậy, ta xét th a chia 3 dư 2 :

Khi đó b + c chia 3 dư 1. Hoàn toàn tương tự, nếu b chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2 thì ta có đpcm. Ta xét th b chia 3 dư 1, khi đó c chia hết cho 3 và c+ 6 cx chia hết cho 3.

Vậy abc(a-1)(b+4)(c+6) chia hết cho 3 và cũng chia hết cho 2 => đpcm

Bài 1. 

Có $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ chia hết cho 14 hay chia hết cho 7, lại có một số lập phương chia 3 có thể dư 0, 1 hoặc - 1. Vậy để $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ chia hết cho 7 thì các số trên là $a^{3}$,$b^{3}$ và $c^{3}$ phải có các số dư khi chia 7 lần lượt là 0,0, 0 hoặc 1,-1 ,0. Hay luôn có ít nhất một trong 3 số trên chia hết cho 7. KMTQ, giả sử đó là$a^{3}$. Khi đó a chia hết cho 7 và abc chia hết cho 7. (1)

Giả sử cả 3 số a,b,c đều lẻ, khi đó tổng $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ là một số lẻ k chia hết cho 14. Vậy có ít nhất một trong 3 số a,b,c chẵn. Khi đó abc chia hết cho 2. (2)

Từ (1) và (2), ta có abc chia hết cho 14 ( đpcm )

Cho hai hàm số y=$2x^2$ và y= $\left | mx \right |$. Tìm m để hai đồ thi của hs đã cho cắt nhau tại 3 điểm phân biệt là 3 đỉnh của tam giác đều

Đồ thị hàm số bậc 2 với bậc nhất sao cắt nhau tại 3 điểm phân biệt được hả bạn ?

 

$\Leftrightarrow x+1-\sqrt{x-2999}=10\sqrt{30x}\Leftrightarrow \sqrt{x}\frac{3000-x}{\sqrt{3000}+\sqrt{x}}+\frac{3000-x}{1+\sqrt{x-2999}}=0 \Rightarrow 3000-x=0\Leftrightarrow x=3000$

Khúc này có một cách làm hay và đỡ dài dòng hơn là nhân 2 lên ạ . Khi đó ta có hằng đẳng thức $(\sqrt{x-2999}-1)^2+(10\sqrt{30}-\sqrt{x})^2=0$

QUy đồng thôi bạn 

quy đồng kiểu j vậy bạn ? quy đồng lên to thế kia cơ mak ??? 

( proposed by me ) Mời mọi người giải chơi sau một ngày làm việc căng thẳng         

Giải phương trình 

$\frac{x^2+x+3000}{x+1+\sqrt{x-2999}}=10\sqrt{30x}$

p/s: I luv u (x)       

$a,b,c$ dương ,$a+b+c=1$, CMR: 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c+(a-b)^2}\geq 9$

Hichic em cũng thấy phần này hơi mông lung :v a có thể giải thích được không ạ ?

Nó không hợp lý ở chỗ : tuy 

(k²+8k+2017) không chia hết cho 9 nhưng ta chưa biết tính chia hết của 2k+9 cho 9 nên không thể khẳng định (k²+8k+2017)+(2k+9) không chia hết cho 9

Em xin có cách giải khác cho bài 1 ạ =) 

Bài 1:

Đặt $A=n^2+8n+2017$

+) Xét $n=0$ ta có :

$A=0^2+8.0+2017=2017$

Do đó $A$ không chia hết cho $9$ ( do $2017$ không chia hết cho $9$ )

+) Giả sử khi $n=k$ thì $A$ không chia hết cho 9

Hay $A=k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9 $(*)$

+) Cần chứng minh đpcm đúng khi $n=k+1$

Khi đó : $A=(k+1)^2+8(k+1)+2017$

$A=k^2+2k+1+8k+8+2017$

$A=(k^2+8k+2017)+(2k+1+8)$

$A=(k^2+8k+2017)+(2k+9)$

Theo $(*)$ ta có $k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9

Điều đó kéo theo việc $(k^2+8k+2017)+(2k+9)$ cũng không chia hết cho 9

Hay $A$ không chia hết cho 9 với $n=k+1$

Vậy ta có đpcm

P/s: đây là phương pháp qui nạp toán học nha bạn

Ý tưởng khá hay, nhưng không hiểu ý bạn ở đoạn này : theo $(*)$ ta có $k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9 ( chỗ này hoàn toàn đúng )

Điều đó kéo theo việc $(k^2+8k+2017)+(2k+9)$ cũng không chia hết cho 9 ( ??????? )

Tại sao lại kéo theo $(k^2+8k+2017)+(2k+9)$ cũng không chia hết cho 9 vậy ?

Bài 1 : Xét đồng dư mod 9

Bài 2 : $(\frac{a}{b-c} +\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b})=0$ xong nhân tung toé ra và biến đổi

Bài 3: Quên cách làm rồi  Nhưng hình như là thế này : $x\geq 1; x+y\leq 4$ => $y\leq 3$ . Lại có $P=(x+y)^{2}+y(3y+x)=(x+y)^{2}+y(y+x+2y)\leq 4^2+3(4+2.3)=46$ Vậy P max = 46 <=> x=1, y=3

Bài 4: Chia cặp các số từ A: 1->9; 19->27; 37-> 45; 55->65;73->81; 91-> 100 và B: các số còn lại

Nhận thấy tất cả các số ở A không có 2 số nào có hiệu là 9 . Đồng thời A chỉ có 54 số. Vậy theo định lý Dirichlet có một số thuộc tập B. Khi đó luôn có 2 số có hiệu là 9

TH1 : x = 0 

=> không tồn tại y

TH2 : x = 1

=> y = 1

TH3 : $x\geq 2$

=> $2^x\vdots 4$

=> $2^x +1 \equiv 1 ( mod 4)$

=> $3^y \equiv 1(mod4)$

Lại có $3\equiv -1(mod4)$ nên y chẵn => $y=2k$

=>  $2^x+1=3^{2k}=> 2^x=(3^k-1)(3^k+1)$

Đặt $3^k-1=2^m; 3^k+1=2^n$ với $m+n=x$ và n > m và m, n là số tự nhiên

=> $2^n-2^m = 2$

Do n > m nên $n\geq m+1$ nên $2^n-2^m \geq 2^m$ => $2\geq2^m$ vậy m = 0 hoặc m = 1. Nếu m = 0 thì k tồn tại n. m = 1 thì n = 2 => x = 2 + 1 = 3 => y = 2

Vậy x = 3, y = 2

$a=2; b=3; c=1; S=\dfrac{5}{6}$

$S \vdots (a+b) ?????$

S thuộc N, đọc lại đề đi bạn ( có nghĩa là a, b, c thỏa mãn sao cho S thuộc N ấy )

Proposed by me ( Mọi người góp ý giùm em ạ )

Cho $(a,b)=1$; $S = \frac{c}{a}+\frac{c}{b}$ biết $S,a,b,c$ là các số tự nhiên 

CMR $S\vdots (a+b)$

( Siêu dễ )

Proposed by me ( Mọi người vui lòng góp ý giùm em ạ )

$\left\{\begin{matrix}x+y+z\neq 0 \\ x,y,z\neq 1 \\ 2x-y-3z> 1 \\ 4y-x+2z>1 \\ 3y-x+3z>1 \\ (2x-y-3z)(4y-x+2z)(3y-x+3z)=x+y+z \end{matrix}\right.$

a) Hỏi $(5y+3z)\vdots (4y-x+2z)$ hay không ?

b) $|\frac{5y+3z}{4y-x+2z}+1|$ là SNT hay hợp số ?

Mình không sử dụng nhân chéo nhé. :v 
M sử dụng quy đồng.
Và cái sau khi biến đổi vài bước vẫn được phép sử dụng??? Vậy sau vài bước là như thế nào? 
Nếu chỉ tách 2 vế thành 2 hằng số rồi triệt tiêu rồi sau đó lại sử dụng nhân chéo. 
Như vậy có phải đi lòng vòng rồi về lại địa điểm cũ dùng phương pháp cũng không??? 

Ý mình là k đc nhân chéo hay quy đồng trực tiếp ngay từ đầu á bạn =)) vì nếu thế thì đơn giản quá. Có lẽ chỗ " sau vài bước " mik viết hơi thừa, sorry bạn =)) ( bạn ráng nghĩ cách khác để biến đổi nhé =)) )

Đk: $3x$$\neq$$-y$; $x$$\neq$$y$
$\Rightarrow$ $\frac{x+9y}{3x+y}-\frac{x-7y}{x-y}=0$
$\Leftrightarrow$ $\frac{(x+9y)(x-y)-(x-7y)(3x+y)}{(3x+y)(x-y)}=0$
$\Leftrightarrow \frac{x^{2}+8xy-9y^{2}-3x^{2}+20xy+7y^{2}}{(3x+y)(x-y)}=0$
$\Leftrightarrow -2x^{2}+28xy-2y^{2}=0$

$\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}=28xy=28$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}=14$

K nhân chéo quy đồng ở bước đầu mà bạn :v

Đây là một bài mình tự nghĩ ra, mọi người xem và góp ý ạ =)) ( bài dễ lắm nên đừng ai mắng em ạ =)) )

Cho $a;b>0$; $1>c>0$ và $(a+b)^2+c(a+b+1)=1$

Tính giá trị của $n=a+b+c$ biết $n\epsilon \mathbb{N}$

Đây là một bài mình tự nghĩ ra, mọi người xem và góp ý ạ =)) ( bài dễ lắm nên đừng ai mắng em ạ =)) )

Cho $xy=1$ và $\frac{x+9y}{3x+y}=\frac{x-7y}{x-y}$

Tính giá trị của $A=x^2+y^2$

 p/s : không sử dụng nhân chéo hoặc quy đồng ngay ở bước đầu 

( Mình gõ đề hơi lỗi, sorry các bạn )

Đk : m khác 1

Gọi A là giao của đt với Ox, B là giao của đt với Oy. => tính được OA, OB theo m ( cụ thể là OA = $|m|$, OB = $|\frac{m}{1-m}|$

Hạ OH vuông góc với AB -> theo yêu cầu đề bài thì OH = $\sqrt{2}$

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABO vuông ở O, đường cao OH

$\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{OH^2}$

<=>$\frac{1}{m^2}+\frac{(1-m)^2}{m^2}=\frac{1}{2}$

Giải được m = 2 hoặc m = 1 ( loaị m = 1 vì đk )

=> m = 2

Bạn nào giải giúp câu 3b với ạ

 

Mình đã giải được rồi

3b bạn nhân tung cái ngoặc trong căn ra rồi thay 1 vào ( theo điều kiện )

Mình xin làm cách khác: $x^4-x^2+2x+2=(x+1)^2(x^2-2x+2)$

Vì $x^4-x^2+2x+2$ và $(x+1)^2$ là số chính phương. Suy ra: $x^2-2x+2$ cũng là số chính phương.

Đặt : $x^2-2x+2=a^2$...

Ừ nhỉ, bài này hoàn toàn phân tích được thành nhân tử, vậy mà mik không nhận ra tốn bao nhiêu công sức

Tìm x $\epsilon$ Z để x⁴-x²+2x+2 là số chính phương.

TH1: x = -1 => $x^4-x^2+2x+2$ = 0 là số chính phương

TH2: x khác -1

Ta có : $5x^2-2x+2> 0$ với $\forall x$

=> $x^4-x^2+2x+2<x^4-x^2+2x+2+(5x^2-2x+2)=x^4+4x^2+4=(x^2+2)^2$

=> $x^4-x^2+2x+2<(x^2+2)^2$ (1)

Ta cũng có $x^2+2x+1=(x+1)^2> 0$ với $\forall x$ ( vì x khác -1 )

=> $(x^2-1)^2<(x^2-1)^2+(x+1)^2=x^4-x^2+2x+2$

=> $(x^2-1)^2<x^4-x^2+2x+2$ (2)

Từ (1),(2) => $(x^2-1)^2<x^4-x^2+2x+2<(x^2+2)^2$ kết hợp $x^4-x^2+2x+2$ là số nguyên nên $x^4-x^2+2x+2$ có thể nhận giá trị là $(x^2)^2$ hoặc $(x^2+1)^2$ ( do $x^4-x^2+2x+2$ là số chính phương )

+) $x^4-x^2+2x+2=(x^2)^2$

=> $ -x^2+2x+2 = 0$

=> không có nghiệm nguyên

+) $x^4-x^2+2x+2=(x^2+1)^2$

=> $ 3x^2-2x-1 = 0$

=> x = 1 ( do x nguyên )

Vậy x nhận giá trị là 1, -1

ĐÂY LÀ CÁCH LÀM TỔNG QUÁT CHO CÁC DẠNG BÀI NÀY, TRONG TRƯỜNG HỢP ĐA THỨC KHÔNG THỂ PHÂN TÍCH NHÂN TỬ 

Câu 1b: 

Ta có: $2019^{2019}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n}$

Và dễ chứng minh:

$a_{1}^3\equiv a_{1}(mod 6)$ ( do $a_{1}^3-a_{1}=(a_{1}-1).a_{1}.(a_{1}+1)$ chia hết cho 6)

Tương tự ta chứng minh được:

$a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n}( mod 6)$

=> $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv 2019^{2019} ( mod 6)$

Ta đi chứng minh: $2019^n \equiv 3( mod 6 )$

Ta có: $2019^n \equiv (2013+3)^n \equiv 3^n ( mod 6 )$

Vì $3^n$ chia hết cho 3. Ta đặt: $3^n=3k$

Mà $3^n \equiv 1 (mod 2)<=> 3k \equiv 1 (mod 2)=> k \equiv 1 (mod 2)$

Đặt $k=2m+1$=> $2019^n \equiv (2013+3)^n \equiv 3^n \equiv 3(2m+1) \equiv 3 (mod 6)$

Vậy $2019^{2019} \equiv 3(mod 6)$ 

Suy ra $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv 3( mod 6)$

Vậy $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3$ không chia hết cho 6 ( vì nó chia 6 dư 3 )

Vậy mà mình không làm được đó bạn ra khỏi phòng ms nghĩ ra, tiếc quá

Mình giải câu 5 :

Do quận không cho dùng delta quá kiến thức chung của SGK tại thời điểm hiện tại nên ta làm như sau

$2x^2+4x+2+ 3y^2 =21$

$=> 2(x+1)^2+3y^2=21$

Đặt $(x+1)^2=a; y^2=b$ ( $a,b\epsilon N; 2a,3b\leq 21$ )

Vậy $2a+3b=21$

Dễ thấy $a$ phải chia hết cho 3 mà $2a$ không vượt quá 21 nên $a=0;3;6;9$

Lại có $a$ chính phương nên a = 0 hoặc a = 9

a = 0 thì b = 7 ( loại )

a = 9 thì b = 1 ( thỏa mãn ) => dễ tìm được x,y

Nói chung câu 5 là một câu dễ nhưng nhiều học sinh bỏ vì tâm lý làm bài

Đề thi CLB HSG quận Hoàn Kiếm

Điều kiện xác định: $x \geq \frac{-1}{3}$

Ta có:

$3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$

$<=> 12x^2-3x-1-4x\sqrt{3x+1}=0$

$<=> 16x^2-[(2x)^2+2.(2x).\sqrt{3x+1}+(\sqrt{3x+1})^2]=0$

$<=> (4x)^2=[2x+\sqrt{3x+1}]^2$

Ta có 2 trường hợp

$TH1: \sqrt{3x+1}=2x$

$TH2: \sqrt{3x+1}=-6x$

Đến đây dễ rồi. Bạn tự giải tiếp nhé

mik cx đang định làm, cảm ơn bạn nhé ( tại nãy giờ ngồi giải bậc 4  )