Đến nội dung

nmlinh16 nội dung

Có 145 mục bởi nmlinh16 (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#744290 Giới hạn của dãy các tập hợp có độ đo Lebesgue bằng 0

Đã gửi bởi nmlinh16 on 21-03-2024 - 17:36 trong Đại số đại cương

Bạn chỉ dùng được định lý hội tụ bị chặn nếu $(X_k)$ đúng là hội tụ về $X$ (theo nghĩa $\limsup X_k = \liminf X_k = X$) và khi các tập $(X_k)$ nằm trong một tập có độ đo hữu hạn (điều kiện áp dụng định lý là hàm chỉ thị phải khả tích, tức là độ đo của tập đó phải hữu hạn!). Còn trong trường hợp tổng quát khi $\limsup X_k \supsetneq \liminf X_k$ thì bạn chỉ có bất đẳng thức để so sánh thôi: dùng bổ đề Fatou.




#744284 Giới hạn của dãy các tập hợp có độ đo Lebesgue bằng 0

Đã gửi bởi nmlinh16 on 21-03-2024 - 05:29 trong Đại số đại cương

Giới hạn của dãy tập hợp $X_k$ là $\{0\}$, còn $X_\infty$ thì không có liên hệ gì với dãy $(X_k)$, nên không có gì mâu thuẫn ở đây cả.




#744260 Tồn tại hai dãy hữu hạn số tự nhiên $a_0,\ldots,a_n$ và $...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 19-03-2024 - 23:08 trong Số học

Em xin góp một chứng minh ạ. Ở đây em sẽ coi số tự nhiên không bao gồm số $0$.
Đặt $r=ad-bc>0$, ta chứng minh tồn tại hai số tự nhiên $p,q$ thỏa mãn $aq-bp=1$ và $0<pd-qc<r$. Nếu ta chỉ ra được sự tồn tại của hai số tự nhiên trên, bài toán chỉ còn quy nạp theo $r$ là xong.

 

Thật vậy, theo Định lý Bezout, tồn tại hai số tự nhiên $u,v$ với $0<u<a,0<v<b$ thỏa mãn $av-bu=1$. 

Nếu $\dfrac{u}{v}=\dfrac{c}{d}$ thì $u=c,v=d$ và $r=1$. Trường hợp này mệnh đề hiển nhiên đúng.

 

Nếu $\dfrac{u}{v}>\dfrac{c}{d}$ thì $0<ud-vc$ và $a(ud-vc)=(bc+r)u-(bu+1)c=ru-c<ru$ nên

\[0<ud-vc<r.\]

Do đó trường hợp này ta chọn $p=u,q=c$ là xong.

 

Nếu $\dfrac{u}{v}<\dfrac{c}{d}$ hay $vc-ud>0$. Khi đó gọi $k$ là số tự nhiên duy nhất thỏa mãn

\[k-1<\dfrac{vc-ud}{r}<k.\]

Chọn $p=u+ka, q=v+kb$ thì $aq-bp=av-bu=1$ và

\[pd-qc=ud+kad-vc-kbc=kr-(vc-ad).\]

Khi đó theo cách chọn $k$ ta có $0<pd-qc<r$.

 

Phát biểu ở đề bài vẫn đúng với $(a,b) = (1,0)$ hoặc $(c,d) = (0,1)$. Tất nhiên 2 trường hợp này không khó :)




#744249 Tồn tại hai dãy hữu hạn số tự nhiên $a_0,\ldots,a_n$ và $...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 19-03-2024 - 18:24 trong Số học

Cho $a, b, c, d$ là các số tự nhiên sao cho $ad - bc > 0$ và $\gcd(a,b) = \gcd(c,d) = 1$. Chứng minh rằng tồn tại hai dãy hữu hạn các số tự nhiên $a_0,\ldots,a_n$ và $b_0,\ldots,b_n$ sao cho $a_0 = a, b_0 = b, a_n = c, b_n = d$ và $a_i b_{i+1} - a_{i+1}b_i = 1$ với mọi $i = 0,1,\ldots,n-1$.

 

Đây là một bài toán nhỏ mà mình gặp khi nghiên cứu toric geometry.




#744230 Tìm 1 ví dụ về toán dựng hình.

Đã gửi bởi nmlinh16 on 18-03-2024 - 17:25 trong Hình học

https://diendantoanh...hối-lập-phương/




#744226 Về định nghĩa của điểm hữu tỷ

Đã gửi bởi nmlinh16 on 18-03-2024 - 16:23 trong Toán học hiện đại

Vấn đề này mình đã từng trình bày ở một bài nói về Galois descent. Về cơ bản đây là câu chuyện $F$-form của một $k$-đa tạp, và $F$-form thì nói chung không duy nhất.

 

Về câu hỏi 1: Trực giác của bạn gặp vấn đề ở chỗ "đa tạp affine = tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức". Thực ra phát biểu như vậy chưa đủ chính xác trong hường hợp này. Chính xác thì "đa tạp affine = lớp đẳng cấu của tập nghiệm của hệ phương trình đa thức", nghĩa là hai hệ phương trình cùng định nghĩa một đa tạp affine nếu ta có một phép đổi biến từ hệ này sang hệ kia và ngược lại. Chẳng hạn, hệ phương trình rỗng trên 1 biến thì định nghĩa đường thẳng affine (vành tọa độ là $k[T]$), còn hệ gồm 1 phương trình $T_2 = T_1^2$ thì định nghĩa đường parabol phẳng (vành tọa độ là $k[T_1,T_2]/(T_2 - T_1^2)$). Về mặt đa tạp thì hai hệ phương trình này cùng định nghĩa một đa tạp (phép đổi biến là $T \mapsto (T,T^2)$ và $(t_1,t_2) \mapsto t_1$ (với $t_1,t_2$ lần lượt là ảnh của $T_1$ và $T_2$ trong $k[T_1,T_2]/(T_2 - T_1^2)$.

Vấn đề khi chuyển từ $k$ xuống $F$ nằm ở đây: ta có thể dùng một phép đổi biến với hệ số trong $k$ để đưa một hệ về một hệ khác (nghĩa là hai đa tạp đẳng cấu trên $k$), nhưng không nhất thiết là ta có thể chọn phép đổi biến với hệ số trong $F$ (nghĩa là hai đa tạp có thể không đẳng cấu trên $F$).

 

Để đơn giản, ta sẽ xét trường hợp $k/F$ là mở rộng Galois, chẳng hạn $F = \mathbb{R}$ và $k = \mathbb{C}$ như bạn đã xét ở trên. Ta gọi $X$ và $Y$ lần lượt là các đa tạp con của $\mathbb{A}^2$ (với tọa độ $T_1,T_2$) được định nghĩa bởi các phương trình $T_1^2 + T_2^2 - 1 = 0$ và$T_1^2 + T_2^2 + 1 = 0$. Khi đó ta có đẳng cấu $X \cong Y$ cho bởi phép đổi biến $(T_1,T_2) \mapsto (iT_1,iT_2)$ với hệ số trong $\mathbb{C}$. Từ đó ta có sonh ánh $X(\mathbb{C}) \cong Y(\mathbb{C})$. Nhưng đẳng cấu này không định nghĩa trên $\mathbb{R}$. Các tập hợp $X(\mathbb{R})$ và $Y(\mathbb{R})$ không tương ứng với nhau qua song ánh $X(\mathbb{C}) \cong Y(\mathbb{C})$. Lí do: tác động Galois khác nhau! Song ánh $X(\mathbb{C}) \cong Y(\mathbb{C})$ không tương thích với tác động của $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ trên các đa tạp $X$ và $Y$.

 

Nếu trình bày theo ngôn ngữ Galois descent thì cho một đa tạp affine trên $\mathbb{R}$ chính là cho một đa tạp affine trên $\mathbb{C}$ được trang bị một involution (ứng với tác động của phép liên hợp, i.e. phần tử không tầm thường của nhóm $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$). Nói cách khác là cho một $\mathbb{C}$-đại số hữu hạn sinh được trang bị một tác động của $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ (sao cho khi hạn chế lên $\mathbb{C}$ thì nó chính là tác động thông thường). Như vậy, khi bạn chọn một hệ tọa độ cho đa tạp affine $X$ (trên $\mathbb{C}$) của bạn, thì thực ra bạn đã chọn một phép nhúng $X \hookrightarrow \mathbb{C}^n$ nào đó, và như thế đã kéo theo việc chọn một tác động Galois. Chú ý rằng $X(\mathbb{R}) = X(\mathbb{C})^{\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})}$ nên tác động Galois khác nhau sẽ kéo theo tập các điểm hữu tỉ khác nhau. Trong ví dụ của bạn thì tác động Galois ứng với $\mathbb{R}$-form $\mathbb{R}[a,b]$ sẽ cố định các phần tử sinh $a$ và $b$ nhưng không cố định $ia$ và $ib$.

 

Hiện tượng hai vật đẳng cấu trên $\bar{F}$ nhưng không đằng cấu trên $F$ ($F$-form) là một vấn đề cơ bản và thú vị trong lý thuyết đối đồng điều Galois. Sau này bạn sẽ gặp thêm nhiều trường hợp khác như đa tạp Severi-Brauer, non-split torus, torsor, Hilbert 90...




#744157 Học toán ở nước ngoài hay VN cái nào tốt hơn?

Đã gửi bởi nmlinh16 on 14-03-2024 - 19:05 trong Kinh nghiệm học toán

Việc du học là rất nên, dù là lâu dài hay chỉ 2-3 năm. Nó sẽ giúp bạn mở rộng tầm nhìn toán học và networking. Mình vẫn hay nói là "nếu không đi du học thì không thể biết là ở trong nước hay nước ngoài tốt hơn, hãy trải nghiệm".




#743860 CMR không tồn tại axtt $f: \mathbb{M}_2 \to \ma...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 26-02-2024 - 20:15 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Ánh xạ tuyến tính $f(A) = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}A + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}A^T$ thỏa mãn điều kiện ở đề bài.




#743724 G.thích $(1+x)^{\dfrac{1}{3}} \s...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 19-02-2024 - 21:04 trong Giải tích

Viết như lời giải trên đương nhiên là sai: Mình có thể viết $(1 + x)^{\frac{1}{3}} \sim 1 + x$ (vì $\lim_{x \to 0} \dfrac{(1 + x)^{\frac{1}{3}}}{1+x} = 1$), nhưng từ đó không thể suy ra giới hạn cần tính bằng $\lim_{x \to 0}\dfrac{1+x-1}{x} = 1$ được.

Để tính giới hạn trên, bạn có thể đổi biến $y = \sqrt[3]{1+x}$, rồi đưa về tính giới hạn $\lim_{y \to 1} \frac{y-1}{y^3 - 1}$.




#743641 Vấn đề về hạt nhân của cấu xạ trong phạm trù

Đã gửi bởi nmlinh16 on 17-02-2024 - 04:07 trong Toán học hiện đại

Khi đặt câu hỏi cụ thể như vậy thì bạn cần có ngữ cảnh. Giả thiết, kết luận của bài toán là gì? Và nếu có các khái niệm mà bạn nghĩ là lạ thì bạn phải định nghĩa ra. Điều đó sẽ tiết kiệm được thời gian quý giá của người trả lời và của chính bạn.

 

Tôi giả thiết rằng câu hỏi của bạn là ở trong một phạm trù tùy ý có vật $0$ và có đủ cấu xạ $0$ (một cấu xạ: $0: X \to Y$ được gọi là một cấu xạ $0$ nếu

  • $0 \circ f = 0 \circ f'$ với mọi cấu xạ $f,f': X' \to X$; và
  • $g \circ 0 = g' \circ 0$ với mọi cấu xạ $g,g': Y \to Y'$).

Hạt nhân của một cấu xạ $f: X \to Y$ là equalizer của $f$ và $0$, nghĩa là một cặp $(K,i)$, với $K$ là một vật và $i: K \to X$ là một cấu xạ, sao cho

  • $f \circ i = 0$; và
  • với mọi vật $K'$ và mọi cấu xạ $i': K' \to X$ sao cho $f \circ i' = 0$, tồn tại duy nhất cấu xạ $j: K' \to K$ thỏa mãn $i \circ j = i'$.

 

Tôi sẽ lấy phản ví dụ cho khẳng định "nếu hạt nhân của $f$ bằng $0$ thì $f$ là đơn cấu" trong phạm trù $\mathbf{Set}_\ast$ các tập hợp định điểm (pointed set), nghĩa là

  • một vật của $\mathbf{Set}_\ast$ là một cặp $(X,x)$, với $X$ là một tập hợp và $x \in X$ (nói riêng, $X \neq \varnothing$); và
  • một cấu xạ $(X,x) \to (Y,y)$ trong $\mathbf{Set}_\ast$ là một ánh xạ $f: X \to Y$ thỏa mãn $f(x) = y$.

 

Nhận xét 1. $\{\ast\}$ (tập hợp có một phần tử duy nhất) là vật $0$ của phạm trù $\mathbf{Set}_\ast$.

Thật vậy, với mọi tập hợp định điểm $(X,x)$, cấu xạ duy nhất $\{\ast\} \to (X,x)$ trong $\mathbf{Set}_\ast$ là $\ast \mapsto x$. Vậy $\{\ast\}$ là vật đầu của $\mathbf{Set}_\ast$. Ngược lại, hiển nhiên có duy nhất một cấu xạ $(X,x) \to \{\ast\}$ trong $\mathbf{Set}_\ast$, đó là ánh xạ cho bởi $a \mapsto \ast$ với mọi $a \in X$.

 

Nhận xét 2. Với mọi vật $(X,x)$ và $(Y,y)$ của $\mathbf{Set}_\ast$, ánh xạ $\mathbf{0}: X \to Y$ cho bởi $a \mapsto y$ với mọi $a \in X$, là một cấu xạ $0$.

Thật vậy, với mọi cấu xạ $f: (X',x') \to (X,x)$, hợp thành $\mathbf{0} \circ f$ là ánh xạ cho bởi $a' \mapsto y$ với mọi $a' \in X'$.

Tương tự, với mọi cấu xạ $g: (Y,y) \to (Y',y')$, hợp thành $g \circ \mathbf{0}$ là ánh xạ cho bởi $a \mapsto y'$ với mọi $a \in X$, vì ta có $g(y) = y'$.

 

Nhận xét 3. Với mọi cấu xạ $f: (X, x) \to (Y,y)$, đặt $K:=f^{-1}(y)$ và ký hiệu bởi $i: K \hookrightarrow X$ phép bao hàm. Khi đó vật $(K,x)$ cùng với cấu xạ $i$ chính là hạt nhân của cấu xạ $f$.

Thật vậy, dễ thấy $x \in K$ và $i$ là một cấu xạ trong phạm trù $\mathbf{Set}_\ast$. Ngoài ra, từ định nghĩa của $K$, ta có $f(i(a)) = y$ với mọi $a \in K$, hay $f \circ i = \mathbf{0}: (K,x) \to (Y,y)$.

Giả sử $i': (K', x') \to (X,x)$ là một cấu xạ sao cho $f \circ i' = \mathbf{0}: (K',x') \to (Y,y)$, nghĩa là $f(i'(a')) = y$ với mọi $a' \in K'$. Từ định nghĩa của $K$, ta có $i'(a') \in K$ với mọi $a' \in K'$. Dễ thấy ánh xạ $j: K' \to K$ cho bởi $j(a') = i'(a')$ là cấu xạ duy nhất $(K',x') \to (K,x)$ thỏa mãn $i \circ j = i'$. Vậy $((K,x),i)$ là hạt nhân của cấu xạ $f$.

 

 

Bây giờ ta lấy $X = \{0,1,2\}$, $Y = \{0,1\}$ và xét các tập hợp định điểm $(X,0)$ cũng như $(Y,0)$.

 

Xét cấu xạ $f: (X,0) \to (Y,0)$ cho bởi $f(0) = 0$ và $f(1) = f(2) = 1$. Ta thấy hạt nhân của $f$ là $\{0\}$, tức là vật $0$ của phạm trù $\mathbf{Set}_\ast$.

Tuy nhiên $f$ không phải đơn cấu. Thật vậy, xét các cấu xạ $g,h: (Y,0) \to (X,0)$ lần lượt cho bởi $g(0) = 0$, $g(1) = 1$ và $h(0) = 0$, $h(1) = 2$. Ta có $g \neq h$ nhưng $f \circ g = f \circ h = \text{id}_Y$.




#743640 vấn đề về hàm tử biểu diễn được của phạm trù

Đã gửi bởi nmlinh16 on 17-02-2024 - 03:29 trong Toán học hiện đại

Có nhiều ví dụ khác về hàm tử biểu diễn được ở đây: https://en.wikipedia...unctor#Examples

 

Bài trên là do mình làm việc với lý thuyết phạm trù nhiều nên quen, chứ không lấy từ nguồn nào cả.

GFH1OqjWEAEBDQq.jpg




#743138 Cho $A, B \in \mathbb{M}(n, \mathbb{R...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 20-01-2024 - 20:21 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

 

Cảm ơn bạn, mình có giải quyết được bài này rồi. 
 

Đặt $X = (AB - BA)$. Vì $rank(X) = 1$, vậy $X$ có dạng 
 
$$X = U^TV = \begin{bmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & \dots & u_1v_n \\ u_2v_1 & u_2v_2 & \dots & u_2v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ u_nv_1 & u_nv_2 & \dots & u_nv_n \end{bmatrix}$$
 
trong đó $U = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \dots & u_n \end{bmatrix}, V = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \dots & v_n \end{bmatrix}$
 
Ta có: $VU^T = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} v_i u_i = r \in \mathbb{R}$. Từ đó
$$X^2 = (U^TV)^2 = (U^TV)(U^TV) = U^T(VU^T)V = U^T r V = r (U^T V) = rX$$
 
Ta sẽ chứng minh tồn tại duy nhất $r \in R$ thỏa mãn $X^2 = rX$. 
 
Giả sử $\exists r' \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $X^2 = r'X$, khi đó: 
$$O_n = r'X - rX = (r' - r)X$$
 
Do $X \neq O_n$, suy ra $(r' - r) = 0$ hay $r' = r$.
 
Dễ thấy $r = trace(X) = trace(AB - BA)$. Lại có $trace(AB - BA) = 0$, do: 
$$trace(AB) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} (AB)_{ii} =  \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}  \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} A_{ik} B_{ki} = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}  \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} B_{ki} A_{ik} = trace(BA)$$
 
và $trace(AB-BA) = trace(AB) - trace(BA)$. 
 
Vì vậy, $X^2 = O_n$ hay $(AB - BA)^2 = O_n$ 

 

Từ chỗ $\text{trace}(X) = 0$ bạn đã suy ra được $r = 0$ rồi, không cần chứng minh $r$ là duy nhất nữa.




#743050 Tại sao nhiều bài toán BĐT thế ?

Đã gửi bởi nmlinh16 on 16-01-2024 - 16:22 trong Kinh nghiệm học toán

Công việc của bạn là gì?

nghiên cứu sinh tiến sĩ




#743039 Cho ma trận $A = (a_{ij})_{5x5}$ với $a_...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 16-01-2024 - 05:28 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

À dạ, do em nói sai. Vì $-6 \leq \det A \leq 6$, kết hợp chia hết cho 4 mới được vậy ạ

ok, vậy thì được




#743036 Cho ma trận $A = (a_{ij})_{5x5}$ với $a_...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 16-01-2024 - 02:39 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bạn không thể dùng tính chia hết cho $4$ để kết luận $|\det(A)| \le 4$ được, nếu $\det(A) = 8$ thì sao?




#743034 Cho ma trận $A = (a_{ij})_{5x5}$ với $a_...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 16-01-2024 - 02:10 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Em xin gửi một đoạn cách giải của em cho bài 1 ạ. Phần sau chứng minh, em có sử dụng code để tìm ra ma trận thỏa mãn. Nếu anh chị nào có ý tưởng chứng minh phần này thì cho em xin gợi ý ạ. 

Xuất phát từ bài toán, cho $A = (a_{ij})_{nxn}$ với $a_{ij} \in \{-1;1\}$. Ta chứng minh được $\det(A) \vdots 2^{n-1}$. Từ đó, đối với $n=3$, $|\det A| \leq 4$. 
Quay lại bài toán, khai triển Laplace tại dòng 1, ta có: $$|\det A | = |a_{11} A^{*}_{11} + a_{12} A^{*}_{12} + a_{13} A^{*}_{13} + a_{14} A^{*}_{14}|  \leq |a_{11} A^{*}_{11}| + |a_{12} A^{*}_{12}| + |a_{13} A^{*}_{13}| + |a_{14} A^{*}_{14}| = 16$$

 

Một trong các trận thỏa mãn $\det = 16$ và  $\det = -16$ là

 

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$

 

$\det(A)$ chia hết cho $2^{n-1}$ thì $\det(A) = 0$ hoặc $|det(A)| \ge 2^{n-1}$. Bạn kết luận "$\le$" là bị ngược.




#743031 Cho ma trận $A = (a_{ij})_{5x5}$ với $a_...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 16-01-2024 - 01:19 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Đây là hệ quả của một kết quả tổng quát hơn, gọi là bất đẳng thức Hadamard.

Nói ngắn gọn thì nếu ma trận vuông $A$ có các cột $v_1,\ldots,v_n \in \mathbb{R}^n$ thì $\det(A)$ là thể tích (có dấu) của hình hộp $n$-chiều dựng trên các vectơ $v_1,\ldots,v_n$, nên $|\det(A)|$ không vượt quá tích độ dài của chúng (đẳng thức xảy ra khi các vectơ này đôi một trực giao, hay hình hộp mà chúng dựng lên là hình hộp chữ nhật). Bất đẳng thức này có thể được chứng minh bằng phép trực giao hóa Gram-Schmidt (nói nôm na là từ đỉnh của vectơ $v_1$, ta kẻ vuông góc xuống siêu phẳng ($(n-1)$-chiều) xác định bởi các vectơ $v_2,\ldots,v_n$, rồi cứ tiếp tục như vậy.

 

Trong bài toán trên, các cột của $A$ đều là các vectơ có độ dài $\sqrt{n}$, nên $|\det(A)| \le (\sqrt{n})^n = n^{n/2}$. Lần lượt thay $n=4$ và $n=5$, ta có các bất đẳng thức cần chứng minh.




#743028 Tại sao nhiều bài toán BĐT thế ?

Đã gửi bởi nmlinh16 on 15-01-2024 - 23:14 trong Kinh nghiệm học toán

Theo mình nghĩ thì việc học toán hình học không gian, bất đẳng thức cũng giống như việc tập gym, calisthenics: nó đều không có tác dụng đáng kể nào vào đời sống. Nhưng nó sẽ là công cụ hữu hiệu trong những việc suy luận sau này cũng giống như việc tập thể hình giúp khả năng đối kháng, tự vệ cũng cao hơn vậy. Nếu gym giúp cho cơ bắp phát triển thì toán lại giúp cho đầu óc minh mẫn. Cái sai một số người gặp ở đây chính là việc coi những thứ này như là mục đích chính chứ không phải là phương tiện.

Xin lỗi chứ tôi là người làm toán chuyên nghiệp và tôi thấy việc học những thứ đó hoàn toàn vô dụng với công việc của tôi, cũng như không giúp đầu óc tôi minh mẫn hơn.




#742889 Xác định $\det(A+I)$ biết $A^{2021}= -I$

Đã gửi bởi nmlinh16 on 04-01-2024 - 00:36 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Ma trân không phải là số thực. Tích của hai ma trận khác $0$ có thể bằng $0$, nên bạn không thể lập luận là $MN = 0$ khi và chỉ khi $M = 0$ hoặc $N = 0$ được.




#742631 CMR: $W_{1}\cup W_{2}\cup...\cup W_...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 21-12-2023 - 16:34 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Khẳng định chỉ đúng trên trường vô hạn:

https://www.mathcoun...oper-subspaces/




#742600 Chứng minh $f \circ u \sim g \circ u, x \to a$

Đã gửi bởi nmlinh16 on 20-12-2023 - 01:11 trong Giải tích

Có lẽ phải có điều kiện $f(0) = g(0)$ nữa.




#742557 Một số tự nhiên được gọi là số “đẹp” nếu nó có thể phân tích được thành tích...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 18-12-2023 - 03:16 trong Số học

Một cách để đoán ra được đáp án này 

 

Vậy tập hợp các số $x_i$ chỉ bao gồm các số $2$ và $3$, và có không quá hai số $2$.

là giải bài toán liên tục trước.

 

Đầu tiên, ta tìm các số thực dương $x_1,\ldots,x_n$ với tông $x_1 + \cdots + x_n = a$ không đổi (ở đây là $a = 2020$), sao cho tích $x_1 \cdots x_n$. Bằng bất đẳng thức AM-GM, ta thấy điều này đạt được khi $x_1 = \cdots = x_n = \frac{a}{n}$, và khi đó $x_1 \cdots x_n = \left(\frac{a}{n}\right)^n$.

Ta liên tục hóa thêm một lần nữa: tìm số thực $x > 0$ sao cho hàm $f(x) = \left(\frac{a}{x}\right)^x$ đạt giá trị lớn nhất. Đặt $g(x) = \ln (f(x))$ và khảo sát hàm số $g$, ta thấy $g$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = \frac{a}{e}$.

Vậy ta phán đoán rằng tích $x_1 \cdots x_n$ đạt giá trị lớn nhất khi $x_1,\ldots,x_n$ "gần nhau nhất có thể" (hay đôi một hơn kém nhau không quá $1$ đơn vị), và chúng đều gần $e$ nhất có thể (hay nhận giá trị $2$ và $3$).

 

Khi đã đoán ra được đáp án trên thì ta chứng minh như @perfectstrong.




#742553 Trên $x,y \in C^{1}[0,1]$, cho M là tập hợp các đa t...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 17-12-2023 - 23:14 trong Giải tích

Một cơ sở cho $M$ là $\{t, t^2, t^3\}$. Tính các tích vô hướng $\langle{t^i,t^j\rangle}$ với $1 \le i,j \le 3$, rồi áp dụng phép trực giao hóa Gram-Schmidt.




#742532 Sự thú vị của con số 1/998001

Đã gửi bởi nmlinh16 on 16-12-2023 - 16:26 trong Toán học lý thú

@hxthanh tính đúng rồi.

Kết luận này của em

 

(chú ý là nó không phải số thập phân vô hạn tuần hoàn $0.(000001002\ldots 997999)$.

Bằng cách tính các tổng tương tự như vậy (thay $x = 1/10^k$, với $k \in \mathbb{N}^\ast$), ta có thể tìm được các số tương tư $998001$.

là sai.




#742521 Chứng minh ánh xạ song tuyến tính, liên tục theo từng biến nhưng không liên t...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 16-12-2023 - 01:52 trong Giải tích

$B$ liên tục theo biến $p$ khi cố định $q$:

Vì $q$ là hàm đa thức nên liên tục, vì thế bị chặn trên $[0,1]$, hay tồn tại $C > 0$ để $|q(t)| \le C$ với mọi $t \in [0,1]$, từ đó $$|B(p,q)| \le \int_0^1 |p(t)|C\,dt = C\|p\|$$ với mọi $p \in X$, hay ánh xạ tuyến tính $p \mapsto B(p,q)$ liên tục.

$B$ không là ánh xạ song tuyến tính liên tục:

Với mọi $n$ nguyên dương, xét $p_n(t) = t^n$, $q_n(t) = t^n$. Thế thì $$\|p_n\| = \|q_n\| = \int_0^1 t^n\,dt = \frac{1}{n+1}.$$ Mà $$B(p_n,q_n) = \int_0^1 t^{2n}\,dt = \frac{1}{2n+1},$$ suy ra $$\lim_{n \to +\infty} \frac{|B(p_n,q_n)|}{\|p_n\|  \|q_n\|} = \lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)^2}{2n+1}  = +\infty,$$ vì thế không tồn tại hằng số $C > 0$ sao cho $$|B(p,q)| \le C \|p\| \|q\|$$ với mọi $p,q \in X$, nên $B$ không là ánh xạ song tuyến tính liên tục.