Bài 1: Ta có thể thay $37$ bởi bất kỳ số nguyên tố $p$ nào
Ta có $1 \equiv ad-bc \equiv (a^2 + bc)d - b(a+d)c \equiv a(ad-bc) \equiv a \pmod p$,
$1 \equiv ad-bc \equiv a(d^2 + bc) - b(a+d)c \equiv d(ad-bc) \equiv d \pmod p$,
Suy ra $b \equiv (a+d)b \equiv 2b \pmod p$, nên $b \equiv 0 \pmod p$. Tương tự, $c \equiv 0 \pmod p$.
Vậy nghiệm duy nhất modulo $p$ của hệ trên là $(a,b,c,d) = (1,0,0,1)$.
Tại sao lại nghĩ ra lời giải này? Thực ra các đẳng thức trên không phải do tự nhiên mò ra mà có nguồn gốc từ phép nhân ma trận trong đại số tuyến tính. Nếu đặt $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ thì hệ phương trình đã cho trở thành $A^2 \equiv A \pmod p$ và $\det(A) \equiv 1 \pmod p$. Điều kiện $\det(A) \equiv 1 \pmod p$ nói rằng $A$ là ma trận khả nghịch modulo $p$ nên từ $A^2 \equiv A \pmod p$ suy ra $A \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ bằng các nhân hai vế với ma trận nghịch đảo $A^{-1} \equiv \begin{pmatrix} d & -b \\ - c & a \end{pmatrix} \pmod p$.