Đến nội dung

nmlinh16 nội dung

Có 159 mục bởi nmlinh16 (Tìm giới hạn từ 07-11-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#746413 Tìm tổng số nghiệm cho hệ phương trình sau:$\left\{\...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 15-10-2024 - 18:52 trong Số học

Bài 1: Ta có thể thay $37$ bởi bất kỳ số nguyên tố $p$ nào

 

Ta có $1 \equiv ad-bc \equiv (a^2 + bc)d - b(a+d)c \equiv a(ad-bc) \equiv a \pmod p$,

$1 \equiv ad-bc \equiv a(d^2 + bc) - b(a+d)c \equiv d(ad-bc) \equiv d \pmod p$,

Suy ra $b \equiv (a+d)b \equiv 2b \pmod p$, nên $b \equiv 0 \pmod p$. Tương tự, $c \equiv 0 \pmod p$.

Vậy nghiệm duy nhất modulo $p$ của hệ trên là $(a,b,c,d) = (1,0,0,1)$.

 

Tại sao lại nghĩ ra lời giải này? Thực ra các đẳng thức trên không phải do tự nhiên mò ra mà có nguồn gốc từ phép nhân ma trận trong đại số tuyến tính. Nếu đặt $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ thì hệ phương trình đã cho trở thành $A^2 \equiv A \pmod p$ và $\det(A) \equiv 1 \pmod p$. Điều kiện $\det(A) \equiv 1 \pmod p$ nói rằng $A$ là ma trận khả nghịch modulo $p$ nên từ $A^2 \equiv A \pmod p$ suy ra $A \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ bằng các nhân hai vế với ma trận nghịch đảo $A^{-1} \equiv \begin{pmatrix} d & -b \\ - c & a \end{pmatrix} \pmod p$. 




#746407 Tính lim $ \lim_{x\to+\infty}\frac{1...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 15-10-2024 - 04:43 trong Dãy số - Giới hạn

Có vẻ đề phải là $x \to 0^+$, như vậy sẽ hợp lý hơn.




#746250 CHỐNG LẠI TÌNH TRẠNG ĐỘC NGỮ – TRONG TOÁN HỌC NÓI RIÊNG

Đã gửi bởi nmlinh16 on 28-09-2024 - 16:32 trong Nghiên cứu Toán học

[Dịch từ ghi chú của GS. Jean-Louis Colliot Thélène, Viện Toán Orsay, Đại học Paris-Saclay. Bài gốc: https://www.imo.univ...textinction.pdf ]
 
Một số lượng nhất định các tạp chí toán học đang ra sức xóa bỏ các ngôn ngữ khác ngoài tiếng Anh.
Điều này thậm chí thường được quyết định bởi nhà xuất bản mà không hề thông báo cho các trưởng ban biên tập. Dường như gần đây Springer Nature đã có động thái theo hướng này.
Gợi ý [của tôi] đối với các tạp chí đi theo hướng này [revues éradiquantes]:
  1. Không gửi bản thảo vào các tạp chí này.
  2. Từ chối viết phản biện, kể cả ngắn, cho các tạp chí này, và từ chối đề xuất tên của những người phản biện khác. Hành động này sẽ có hiệu quả, vì sẽ khiến ban biên tập (thường không bao gồm phản biện) chất vất ngược lại nhà xuất bản.
  3. Viết thư cho các thành viên trong ban biên tập để hỏi liệu họ có biết về chuyện nhà xuất bản hoặc trưởng ban đã đưa ra quyết định về tính độc ngữ, và liệu họ có thông qua quyết định đó.
  4. Yêu cầu thư viện của bạn hủy đăng ký [các tạp chí này].
 
Dưới đây tôi đưa ra một danh sách tổng quan chưa đầy đủ, gồm những tạp chí đồng ý nhận bản thảo bằng nhiều ngôn ngữ – vì thế được khuyến khích – cũng như các tạp chí đang có xu hướng xóa bỏ điều này [revues éradicantes] – vì thế cần bị cấm [bannir].
Tôi bắt đầu với một điểm tích cực, gồm những tạp chí độc lập với Wall Street:
  • Annals of Mathematics (Đại học Princeton và Viện nghiên cứu cao cấp Hoa Kỳ): Bản thảo phải được viết bằng tiếng Anh, tiếng Pháp hoặc tiếng Đức [Submissions must be written in English, French, or German].
  • Acta Mathematica: Các ngôn ngữ được chấp nhận là tiếng Anh, tiếng Pháp và tiếng Đức [ Allowable languages are English, French and German]. 
  • Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure: Tạp chí khoa học của trường Sư phạm Paris (ASENS) đăng các bài báo toán học bằng tiếng Pháp, tiếng Anh, tiếng Đức hoặc tiếng Ý [Les Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure (ASENS) publient des articles de mathématique en français, anglais, allemand ou italien].
  • Proceedings of the London Mathematical Society Papers: Bài báo được gửi đến tập chí có thể viết bằng tiếng Anh hoặc tiếng Pháp [Papers submitted to this journal may be written in either English or French].
  • Journal für die reine und angewandte Mathematik (de Gruyter): Bản thảo của bài báo nên là tiếng Anh, tiếng Pháp hoặc tiếng Đức [Manuscripts of articles should be in English, French or German].
  • Duke Mathematical Journal: Các bài báo viết bằng tiếng Pháp cần kèm theo một phần Tóm tắt bằng cả tiếng Anh và tiếng Pháp [ Papers written in French should include versions of the abstract in both English and French].

Springer Nature

Kể từ khi Springer trở thành Springer Nature, có vẻ như quy tắc “only English” đã áp dụng với gần như tất cả tạp chí mà nhà xuất bản này kiểm soát.

Springer Nature đã cập nhật một cách gần như đồng bộ trang “gửi bài viết” bằng việc không cho lựa chọn nào khác ngoài tiếng Anh.

Với phần lớn tạp chí, điều này là ngầm định (“English Language Editing”): Inventiones mathematicaeMathematische AnnalenMathematische ZeitschriftResearch in Number TheoryRendiconti del Circolo matematico di Palermo Series 2.

Ngoại lệ: Publications mathématiques de l’IHÉS (phân phối bởi Springer), gồm hướng dẫn gửi bài bằng tiếng Pháp, tiếng Anh và tiếng Đức.

Với một số tạp chí khác, quy tắc “only English” được tuyên bố một cách tường minh, chẳng hạn: Geometric and Functional Analysis (GAFA), Research in the Mathematical SciencesAbhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg

Springer LNM, Lecture Notes in Mathematics (tiếng Anh-Mỹ)
 
Elsevier
Hướng dẫn đăng bài cho tác giả bởi các tạp chí xuất bản bởi Elsevier thường khác đồng đều, tuy nhiên vẫn có một vài biến số.
  • Journal de Mathématiques Pures et Appliquées: Bài báo phải được viết bằng tiếng Pháp hoặc tiếng Anh [Articles must be written in either French or English].
  • Journal of Algebra (12/03/2022): Tiếng Anh, tiếng Pháp hoặc tiếng Đức [English, French and German also accepted].
  • Journal of Number Theory (12/03/2022): Tiếng Anh, tiếng Pháp hoặc tiếng Đức đều được chấp nhận [English, French and German also accepted].
  • Advances in mathematics (12/03/2022): Chỉ tiếng Anh [only English] (dù trước đây họ đã hứa sẽ thay đổi điều này trên trang đăng bài).

 

EMS Press, Nhà xuất bản của hội toán học Châu Âu

NXB này công bố hoặc phân phối nhiều tạp chí khác nhau. Hướng dẫn đăng bài cho tác giả thay đổi một chút theo từng tạp chí. Một số không hề nhắc đến ngôn ngữ được phép dùng.

 

Chấp nhận nhiều ngôn ngữ

  • L’Enseignement mathématique: Bài báo để đăng cần được viết bằng tiếng Anh, tiếng Pháp cũng được chấp nhận [Papers to be considered for publication must be written in English, French is also accepted].
  • Elemente der Mathematik: Tiếng Anh, tiếng Đức, tiếng Pháp hoặc tiếng Ý [English, German, French or Italian]. 
  • Rendiconti del Seminario Matematico della Universit di Padova: Bản thảo để đăng có thể viết bằng tiếng Anh, tiếng Ý hoặc tiếng Pháp [Manuscripts presented for publication can be written in English, Italian, or French].

 

Không có thông tin về ngôn ngữ được dùng

  • Journal of the European Mathematical Society
  • Commentarii Mathematici Helvetici
  • Algebraic Geometry (Foundation Compositio Mathematica)
  • Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (Kyoto)
  • Groups, Geometry and Dynamics 
  • Journal of noncommutative geometry
  • Rendiconti Lincei - Matematica e Applicazioni 
  • Revista matemática iberoamericana

Bài báo được xem xét để đăng phải được viết bằng tiếng Anh

  • Annales de l’institut Henri Poincaré 
  • EMS Surveys in Mathematical Sciences
  • Portugaliae Mathematica
  • Quantum Topology
  • EMS Newsletter (các bài báo từ tác giả ở các nước không nói tiếng Anh sẽ được gửi cho biên tập để hiệu đính tiếng Anh) [Articles from authors outside the English speaking countries will be sent to the Newsletter’s English copy editor for a language check].

 

Cambridge University Press

  • Forum of Mathematics, Pi, Sigma: Ngôn ngữ được khuyến nghị là tiếng Anh, tuy nhiên các bài báo bằng ngôn ngữ khác sẽ được xem xét dưới toàn quyền của ban biên tập [The preferred language of papers in Forum of Mathematics is English but papers in other languages will be considered at the discretion of the Editors].
  • Compositio mathematica: Không nói gì về ngôn ngữ được phép dùng ở phần hướng dẫn cho tác giả, tuy nhiên ta có dòng “Chúng tôi đề xuất rằng các tác giả mà tiếng mẹ đẻ không phải tiếng Anh nhờ một người nói tiếng Anh như tiếng mẹ đẻ kiểm tra lại bản thảo trước khi gửi.” [We suggest that authors whose first language is not English have their manuscripts checked by a native English speaker before submission].

 

Một vài tạp chí khác

  • Journal of Algebraic Geometry (Tsinghua University), phân phối bởi American Mathematical Society for University Press, Inc.: “Khuyến khích tác giả gửi bản thảo viết bằng tiếng Anh.” [Authors are encouraged to submit manuscripts written in English].
  • Only English: IMRN, International Mathematical Research Notices (Oxford University Press) Xứng đáng bị lên án [mérite la palme] vì dòng: Xin hãy chú ý rằng, thật đáng tiếc khi tạp chí từ nay không thể công bố các bài báo được gửi viết bằng các ngôn ngữ ngoài tiếng Anh [Please note that regrettably the journal is no longer able to publish articles submitted in languages other than English].
  • Only English: Open Mathematics, trước đây là Central European Journal of Mathematics
  • Only English: Cambridge Journal of Mathematics (Cambridge, Hoa Kỳ) (International Press) Không để tâm đến việc thông báo trên trang, nhưng phản hồi [tác giả gửi bài] rằng “không chấp nhận các bài báo viết bằng bất kỳ ngôn ngữ nào ngoài tiếng Anh” [cannot accept papers written in any language but English].

 

Danh sách được cập nhật bởi J.-L. Colliot-Thélène ngày 12/03/2022.

Xin hãy thông báo cho tôi về các tạp chí khác như trên [revue éradiquante], cũng như các chỉnh sửa cần thiết trong danh sách trên.

 




#746186 CMR: lcm([L1 : K],[L2 : K]) = [L1L2 : K]

Đã gửi bởi nmlinh16 on 23-09-2024 - 04:07 trong Đại số đại cương

Phản ví dụ: $K = \mathbb{Q}$, $F = \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}, \omega]$ (với $\omega = \frac{1 + \sqrt{-3}}{2}$ là căn bậc ba nguyên thủy của $1$), $L_1 = \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$ và $L_2 = \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}\omega]$. Khi đó $[L_1:K] = [L_2:K] = 3$ nhưng $L_1L_2 = F$ và $[F:K] = 6$.




#746000 Phân phối giả ngẫu nhiên: Tính tỉ lệ sát thương chí mạng theo tham số

Đã gửi bởi nmlinh16 on 01-09-2024 - 18:26 trong Xác suất - Thống kê

Trong nhiều trò chơi điện tử, đòn đánh chí mạng thường được vận hành theo cơ chế phân phối giả ngẫu nhiên (pseudo random distribution) như sau.
Cho trước hai số thực $a,b \in [0,1]$. Ban đầu, nhân vật có giá trị đệm là $a$. Mỗi khi nhân vật tấn công, sinh một số ngẫu nhiên $p \in [0,1]$.
  • Nếu $p$ lớn hơn giá trị đệm thì đòn đánh không chí mạng và cộng thêm $b$ vào giá trị đệm.
  • Nếu $p$ nhỏ hơn hoặc bằng giá trị đệm thì đòn đánh có chí mạng, và đưa giá trị đệm về $a$.
Câu hỏi: Tính tỉ lệ chí mạng theo $a$ và $b$.

 




#745523 Chứng minh rằng nếu c|a và c|b thì c|(a,b)

Đã gửi bởi nmlinh16 on 25-06-2024 - 15:11 trong Số học

Mình lại nghĩ lý luận theo số mũ của ước số nguyên tố chung là dễ nhất.

Cách này dễ hiểu để giải thích cho học sinh THCS nhưng mình thấy không thuận logic. Vì định lý về sự phân tích duy rất ra thừa số nguyên tố là một định lý khó và để chứng minh nó thì cần dùng bổ đề Gauss (nếu $a | bc$ và $\gcd(a,b) = 1$ thì $a|c$), và bổ đề Gauss chứng minh bằng đẳng thức Bézout.




#745510 Chứng minh rằng nếu c|a và c|b thì c|(a,b)

Đã gửi bởi nmlinh16 on 23-06-2024 - 19:43 trong Số học

Chỉ có cách dùng đẳng thức Bézout: Nếu $d$ là ƯCLN của $a$ và $b$ thì tồn tại $x,y \in \mathbb{Z}$ sao cho $d = ax+by$. 




#744984 vấn đề về hàm tử biểu diễn được của phạm trù

Đã gửi bởi nmlinh16 on 13-05-2024 - 20:14 trong Toán học hiện đại

Cho $V$ là một không gian vectơ và $f: k^n \to V$ là một ánh xạ tuyến tính tùy ý. Gọi $(e_1,\ldots,e_n)$ là cơ sở chính tắc của $k^n$ và đặt $v_i:=f(e_i)$ với $i=1,\ldots,n$. Thế thì ta kiểm tra được $\Phi(V)(v_1,\ldots,v_n) = f$ (vì hai ánh xạ tuyến tính này bằng nhau khi tính tại từng phần tử cơ sở $e_i$).




#744885 Tìm ví dụ về "Mọi đẳng xạ đều là song xạ, nhưng một song xạ không nhất th...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 07-05-2024 - 08:15 trong Toán học hiện đại

Trong phạm trù các vành có đơn vị (cấu xạ là đồng cấu vành bảo toàn phần tử đơn vị), phép nhúng $\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}$ là một song cấu nhưng không phải một đẳng cấu.

Thật vậy, dễ thấy đây là một đơn cấu. Để chỉ ra rằng nó là toàn cấu, giả sử ta có một vành $A$ và các đồng cấu vành $f,g: \mathbb{Q} \to A$ sao cho $f|_{\mathbb{Z}} = g|_{\mathbb{Z}}$. Với $n$ là số nguyên khác $0$, ta có $$f(\tfrac{1}{n})f(n) = f(n)f(\tfrac{1}{n}) = f(1) = 1_A,$$ nên $f(n)$ khả nghịch và nghịch đảo của nó là $f(n)^{-1} = f(\tfrac{1}{n})$. Tương tự, $g(n)$ khả nghịch và nghịch đảo của nó là $g(\tfrac{1}{n})$. Mà $f(n) = g(n)$ nên $f(\tfrac{1}{n}) = g(\tfrac{1}{n})$. Do đó, với mọi số hữu tỉ $x = \tfrac{m}{n}$, ta có $$f(\tfrac{m}{n}) = f(m)f(\tfrac{1}{n}) = g(m)g(\tfrac{1}{n}) = g(\tfrac{m}{n}),$$  hay $f=g$.

Cuối cùng, $\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}$ không phải là đẳng cấu vì không có cấu xạ nào đi từ $\mathbb{Q}$ vào $\mathbb{Z}$.




#744713 CMR: $a^y + b^y + c^y \geq 3$

Đã gửi bởi nmlinh16 on 29-04-2024 - 00:39 trong Bất đẳng thức và cực trị

Nếu $y$ không phải là số nguyên thì sao bạn? Chẳng hạn $y = \frac{3}{2}$

Bài này phải giả sử $x$, $y$ hữu tỉ, vì THCS chưa học lũy thừa với số mũ thực.




#744621 Đạo hàm yếu của hàm Dirichlet là gì?

Đã gửi bởi nmlinh16 on 22-04-2024 - 00:06 trong Giải tích

Trên mỗi đoạn $[a,b]$, ta có $\int_a^b \varphi(t) v(t) \, dt = -\int_a^b \varphi'(t) 1_{\mathbb{Q}}(t) \, dt = 0 = \int_a^b \varphi(t) \cdot 0\, dt$ với mọi hàm thử $\varphi$ (tức là hàm khả vi vô hạn thỏa mãn $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$), nên theo định nghĩa của hàm suy rộng, ta có $v(t) = 0$.




#744552 Xác định chân trị mệnh đề $B = \forall x \in \mathbb R...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 14-04-2024 - 15:54 trong Toán rời rạc

Mệnh đề đúng: Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta lấy $y = 2-x$, thế thì "$x+y = 3$" là một mệnh đề sai, vì thế "$(x+y = 3) \Rightarrow (x-y \ge 1)$" là một mệnh đề đúng. Như vậy $y = 2-x$ là một bằng chứng cho mệnh đề "$\exists y \in \mathbb{R} (x+y = 3) \Rightarrow (x-y \ge 1)$'', nên mệnh đề này đúng. Vì $x$ tùy ý nên mệnh đề đã cho đúng.




#744534 Có bao nhiêu cách tô màu các đỉnh của n-đa giác đều bằng k màu sao cho 2 cách...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 11-04-2024 - 01:42 trong Tổ hợp và rời rạc

"Phép vị tự quay tam đa giác" nghĩa là gì? Tôi giả định câu hỏi ở đây là "phép quay một góc $\frac{2 i\pi}{n}$ quanh tâm đa giác, với $i \in \mathbb{Z}$".

 

Những bài đếm này giải bằng cách dùng bổ đề Burnside, tất nhiên có thể trình bày theo ngôn ngữ sơ cấp như sau.

 

Ký hiệu $S = S_k(n)$ là giá trị cần tìm, và xét bài toán mới:

Đánh số $n$ đỉnh của đa giác lần lượt là $1,2,\ldots,n$, và xét tập hợp $A = \{1,\ldots,k\}^n$ các bộ $(a_1,\ldots,a_n)$, với $a_i \in \{1,\ldots,k\}$. Với $1 \le i \le n$, ký hiệu $T_i: A \to A$ là ánh xạ cho bởi $T_i(a_1,\ldots,a_n) = (a_{i+1},\ldots,a_{i+n})$, ở phép cộng được hiểu là phép cộng modulo $n$ (nói cách khác là $T_i(a_1,\ldots,a_n) = (a_{i+1},a_{i+2},\ldots,a_n,a_1,\ldots,a_i)$.

Ta đếm số cặp $(a,i)$ thỏa mãn $a \in A$, $i \in \{1,\ldots,n\}$ và $T_i(a) = a$ theo hai cách.

 

Cách thứ nhất:

Với mỗi $a \in A$, gọi $O(a):=\{T_1(a),\ldots,T_n(a)\}$ là quỹ đạo của $a$. Dễ thấy hai phần tử $a,b \in A$ có cùng quỹ đạo khi và chỉ khi tồn tại $i \in \{1,\ldots,n\}$ sao cho $T_i(a) = b$. Số quỹ đạo chính là là $S$. Ta phân hoạch $A$ thành $S$ quỹ đạo phân biệt $A_1,\ldots,A_S$.

 

Mặt khác, ký hiệu $i_a \in \{1,\ldots,n\}$ là chỉ số $i$ nhỏ nhất sao cho $T_i(a) = a$ (một chỉ số $i$ như vậy tồn tại vì $T_n(a) = a$). Thế thì $T_j(a) = T_i(a)$ khi và chỉ khi $i_a | j-i$. Nói riêng, ta có $i_a | n$, $|O(a)| = i_a$, và số $s_a$ các chỉ số $i$ thỏa mãn $T_i(a) = a$ chính là $s_a = \frac{n}{i_a}$. Từ đó suy ra với mọi $j \in \{1,\ldots,S\}$, ta có $$\sum_{a \in A_j} s_a = |A_j| \cdot \frac{n}{|A_j|} = n.$$ Vậy số cặp $(a,i)$ cần tìm là $$\sum_{a \in A} s_a = \sum_{j=1}^S \sum_{a \in A_j} s_a = nS.$$

 

Cách thứ hai:

Với mỗi $i \in \{1,\ldots,n\}$, một phần tử $a = (a_1,\ldots,a_n) \in A$ thỏa mãn $T_i(a) = a$ khi và chỉ khi $a_{j+i} = a_j$ với mọi $j \in \{1,\ldots,n\}$ (phép cộng được hiểu là phép cộng modulo $n$). Nếu đặt $d = \gcd(i,n)$ thì điều này tương đương với $a_t = a_{d+t} = a_{2d+t} = \cdots = a_{n-d + t}$ với mọi $1 \le t \le d$. Vậy số phần tử $a \in A$ thỏa mãn $T_i(a) = a$ là $k^d = k^{\gcd(n,i)}$.

Với mỗi ước $d|n$, số chỉ số $i \in \{1,\ldots,n\}$ thỏa mãn $\gcd(n,i) = d$ là $\varphi\left(\frac{n}{d}\right)$, vì một chỉ số $i$ như vậy thì có dạng $dt$, với $t \in \left\{1,\ldots,\frac{n}{d} \right\}$ và nguyên tố cùng nhau với $\frac{n}{d}$. 

Vậy số cặp $(a,i)$ cần tìm là $$\sum_{i=1}^n k^{\gcd(n,i)} = \sum_{d|n} \varphi\left(\frac{n}{d}\right) k^d.$$

 

Kết luận: tổng cần tính ban đầu là $$S_k(n) = S = \frac{1}{n} \sum_{d|n} \varphi\left(\frac{n}{d}\right) k^d.$$




#744450 Từ bài toán tổng các bình phương đến giả thuyết Milnor

Đã gửi bởi nmlinh16 on 31-03-2024 - 05:54 trong Nghiên cứu Toán học

Gửi các thành viên của diễn đàn bài viết giới thiệu giả thuyết Milnor của mình, với xuất phát điểm là bài toán sơ cấp về tổng các bình phương.

 

 

File gửi kèm




#744290 Giới hạn của dãy các tập hợp có độ đo Lebesgue bằng 0

Đã gửi bởi nmlinh16 on 21-03-2024 - 17:36 trong Giải tích

Bạn chỉ dùng được định lý hội tụ bị chặn nếu $(X_k)$ đúng là hội tụ về $X$ (theo nghĩa $\limsup X_k = \liminf X_k = X$) và khi các tập $(X_k)$ nằm trong một tập có độ đo hữu hạn (điều kiện áp dụng định lý là hàm chỉ thị phải khả tích, tức là độ đo của tập đó phải hữu hạn!). Còn trong trường hợp tổng quát khi $\limsup X_k \supsetneq \liminf X_k$ thì bạn chỉ có bất đẳng thức để so sánh thôi: dùng bổ đề Fatou.




#744284 Giới hạn của dãy các tập hợp có độ đo Lebesgue bằng 0

Đã gửi bởi nmlinh16 on 21-03-2024 - 05:29 trong Giải tích

Giới hạn của dãy tập hợp $X_k$ là $\{0\}$, còn $X_\infty$ thì không có liên hệ gì với dãy $(X_k)$, nên không có gì mâu thuẫn ở đây cả.




#744260 Tồn tại hai dãy hữu hạn số tự nhiên $a_0,\ldots,a_n$ và $...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 19-03-2024 - 23:08 trong Số học

Em xin góp một chứng minh ạ. Ở đây em sẽ coi số tự nhiên không bao gồm số $0$.
Đặt $r=ad-bc>0$, ta chứng minh tồn tại hai số tự nhiên $p,q$ thỏa mãn $aq-bp=1$ và $0<pd-qc<r$. Nếu ta chỉ ra được sự tồn tại của hai số tự nhiên trên, bài toán chỉ còn quy nạp theo $r$ là xong.

 

Thật vậy, theo Định lý Bezout, tồn tại hai số tự nhiên $u,v$ với $0<u<a,0<v<b$ thỏa mãn $av-bu=1$. 

Nếu $\dfrac{u}{v}=\dfrac{c}{d}$ thì $u=c,v=d$ và $r=1$. Trường hợp này mệnh đề hiển nhiên đúng.

 

Nếu $\dfrac{u}{v}>\dfrac{c}{d}$ thì $0<ud-vc$ và $a(ud-vc)=(bc+r)u-(bu+1)c=ru-c<ru$ nên

\[0<ud-vc<r.\]

Do đó trường hợp này ta chọn $p=u,q=c$ là xong.

 

Nếu $\dfrac{u}{v}<\dfrac{c}{d}$ hay $vc-ud>0$. Khi đó gọi $k$ là số tự nhiên duy nhất thỏa mãn

\[k-1<\dfrac{vc-ud}{r}<k.\]

Chọn $p=u+ka, q=v+kb$ thì $aq-bp=av-bu=1$ và

\[pd-qc=ud+kad-vc-kbc=kr-(vc-ad).\]

Khi đó theo cách chọn $k$ ta có $0<pd-qc<r$.

 

Phát biểu ở đề bài vẫn đúng với $(a,b) = (1,0)$ hoặc $(c,d) = (0,1)$. Tất nhiên 2 trường hợp này không khó :)




#744249 Tồn tại hai dãy hữu hạn số tự nhiên $a_0,\ldots,a_n$ và $...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 19-03-2024 - 18:24 trong Số học

Cho $a, b, c, d$ là các số tự nhiên sao cho $ad - bc > 0$ và $\gcd(a,b) = \gcd(c,d) = 1$. Chứng minh rằng tồn tại hai dãy hữu hạn các số tự nhiên $a_0,\ldots,a_n$ và $b_0,\ldots,b_n$ sao cho $a_0 = a, b_0 = b, a_n = c, b_n = d$ và $a_i b_{i+1} - a_{i+1}b_i = 1$ với mọi $i = 0,1,\ldots,n-1$.

 

Đây là một bài toán nhỏ mà mình gặp khi nghiên cứu toric geometry.




#744230 Tìm 1 ví dụ về toán dựng hình.

Đã gửi bởi nmlinh16 on 18-03-2024 - 17:25 trong Hình học

https://diendantoanh...hối-lập-phương/




#744226 Về định nghĩa của điểm hữu tỷ

Đã gửi bởi nmlinh16 on 18-03-2024 - 16:23 trong Toán học hiện đại

Vấn đề này mình đã từng trình bày ở một bài nói về Galois descent. Về cơ bản đây là câu chuyện $F$-form của một $k$-đa tạp, và $F$-form thì nói chung không duy nhất.

 

Về câu hỏi 1: Trực giác của bạn gặp vấn đề ở chỗ "đa tạp affine = tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức". Thực ra phát biểu như vậy chưa đủ chính xác trong hường hợp này. Chính xác thì "đa tạp affine = lớp đẳng cấu của tập nghiệm của hệ phương trình đa thức", nghĩa là hai hệ phương trình cùng định nghĩa một đa tạp affine nếu ta có một phép đổi biến từ hệ này sang hệ kia và ngược lại. Chẳng hạn, hệ phương trình rỗng trên 1 biến thì định nghĩa đường thẳng affine (vành tọa độ là $k[T]$), còn hệ gồm 1 phương trình $T_2 = T_1^2$ thì định nghĩa đường parabol phẳng (vành tọa độ là $k[T_1,T_2]/(T_2 - T_1^2)$). Về mặt đa tạp thì hai hệ phương trình này cùng định nghĩa một đa tạp (phép đổi biến là $T \mapsto (T,T^2)$ và $(t_1,t_2) \mapsto t_1$ (với $t_1,t_2$ lần lượt là ảnh của $T_1$ và $T_2$ trong $k[T_1,T_2]/(T_2 - T_1^2)$.

Vấn đề khi chuyển từ $k$ xuống $F$ nằm ở đây: ta có thể dùng một phép đổi biến với hệ số trong $k$ để đưa một hệ về một hệ khác (nghĩa là hai đa tạp đẳng cấu trên $k$), nhưng không nhất thiết là ta có thể chọn phép đổi biến với hệ số trong $F$ (nghĩa là hai đa tạp có thể không đẳng cấu trên $F$).

 

Để đơn giản, ta sẽ xét trường hợp $k/F$ là mở rộng Galois, chẳng hạn $F = \mathbb{R}$ và $k = \mathbb{C}$ như bạn đã xét ở trên. Ta gọi $X$ và $Y$ lần lượt là các đa tạp con của $\mathbb{A}^2$ (với tọa độ $T_1,T_2$) được định nghĩa bởi các phương trình $T_1^2 + T_2^2 - 1 = 0$ và$T_1^2 + T_2^2 + 1 = 0$. Khi đó ta có đẳng cấu $X \cong Y$ cho bởi phép đổi biến $(T_1,T_2) \mapsto (iT_1,iT_2)$ với hệ số trong $\mathbb{C}$. Từ đó ta có sonh ánh $X(\mathbb{C}) \cong Y(\mathbb{C})$. Nhưng đẳng cấu này không định nghĩa trên $\mathbb{R}$. Các tập hợp $X(\mathbb{R})$ và $Y(\mathbb{R})$ không tương ứng với nhau qua song ánh $X(\mathbb{C}) \cong Y(\mathbb{C})$. Lí do: tác động Galois khác nhau! Song ánh $X(\mathbb{C}) \cong Y(\mathbb{C})$ không tương thích với tác động của $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ trên các đa tạp $X$ và $Y$.

 

Nếu trình bày theo ngôn ngữ Galois descent thì cho một đa tạp affine trên $\mathbb{R}$ chính là cho một đa tạp affine trên $\mathbb{C}$ được trang bị một involution (ứng với tác động của phép liên hợp, i.e. phần tử không tầm thường của nhóm $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$). Nói cách khác là cho một $\mathbb{C}$-đại số hữu hạn sinh được trang bị một tác động của $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ (sao cho khi hạn chế lên $\mathbb{C}$ thì nó chính là tác động thông thường). Như vậy, khi bạn chọn một hệ tọa độ cho đa tạp affine $X$ (trên $\mathbb{C}$) của bạn, thì thực ra bạn đã chọn một phép nhúng $X \hookrightarrow \mathbb{C}^n$ nào đó, và như thế đã kéo theo việc chọn một tác động Galois. Chú ý rằng $X(\mathbb{R}) = X(\mathbb{C})^{\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})}$ nên tác động Galois khác nhau sẽ kéo theo tập các điểm hữu tỉ khác nhau. Trong ví dụ của bạn thì tác động Galois ứng với $\mathbb{R}$-form $\mathbb{R}[a,b]$ sẽ cố định các phần tử sinh $a$ và $b$ nhưng không cố định $ia$ và $ib$.

 

Hiện tượng hai vật đẳng cấu trên $\bar{F}$ nhưng không đằng cấu trên $F$ ($F$-form) là một vấn đề cơ bản và thú vị trong lý thuyết đối đồng điều Galois. Sau này bạn sẽ gặp thêm nhiều trường hợp khác như đa tạp Severi-Brauer, non-split torus, torsor, Hilbert 90...




#744157 Học toán ở nước ngoài hay VN cái nào tốt hơn?

Đã gửi bởi nmlinh16 on 14-03-2024 - 19:05 trong Kinh nghiệm học toán

Việc du học là rất nên, dù là lâu dài hay chỉ 2-3 năm. Nó sẽ giúp bạn mở rộng tầm nhìn toán học và networking. Mình vẫn hay nói là "nếu không đi du học thì không thể biết là ở trong nước hay nước ngoài tốt hơn, hãy trải nghiệm".




#743860 CMR không tồn tại axtt $f: \mathbb{M}_2 \to \ma...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 26-02-2024 - 20:15 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Ánh xạ tuyến tính $f(A) = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}A + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}A^T$ thỏa mãn điều kiện ở đề bài.




#743724 G.thích $(1+x)^{\dfrac{1}{3}} \s...

Đã gửi bởi nmlinh16 on 19-02-2024 - 21:04 trong Giải tích

Viết như lời giải trên đương nhiên là sai: Mình có thể viết $(1 + x)^{\frac{1}{3}} \sim 1 + x$ (vì $\lim_{x \to 0} \dfrac{(1 + x)^{\frac{1}{3}}}{1+x} = 1$), nhưng từ đó không thể suy ra giới hạn cần tính bằng $\lim_{x \to 0}\dfrac{1+x-1}{x} = 1$ được.

Để tính giới hạn trên, bạn có thể đổi biến $y = \sqrt[3]{1+x}$, rồi đưa về tính giới hạn $\lim_{y \to 1} \frac{y-1}{y^3 - 1}$.




#743641 Vấn đề về hạt nhân của cấu xạ trong phạm trù

Đã gửi bởi nmlinh16 on 17-02-2024 - 04:07 trong Toán học hiện đại

Khi đặt câu hỏi cụ thể như vậy thì bạn cần có ngữ cảnh. Giả thiết, kết luận của bài toán là gì? Và nếu có các khái niệm mà bạn nghĩ là lạ thì bạn phải định nghĩa ra. Điều đó sẽ tiết kiệm được thời gian quý giá của người trả lời và của chính bạn.

 

Tôi giả thiết rằng câu hỏi của bạn là ở trong một phạm trù tùy ý có vật $0$ và có đủ cấu xạ $0$ (một cấu xạ: $0: X \to Y$ được gọi là một cấu xạ $0$ nếu

  • $0 \circ f = 0 \circ f'$ với mọi cấu xạ $f,f': X' \to X$; và
  • $g \circ 0 = g' \circ 0$ với mọi cấu xạ $g,g': Y \to Y'$).

Hạt nhân của một cấu xạ $f: X \to Y$ là equalizer của $f$ và $0$, nghĩa là một cặp $(K,i)$, với $K$ là một vật và $i: K \to X$ là một cấu xạ, sao cho

  • $f \circ i = 0$; và
  • với mọi vật $K'$ và mọi cấu xạ $i': K' \to X$ sao cho $f \circ i' = 0$, tồn tại duy nhất cấu xạ $j: K' \to K$ thỏa mãn $i \circ j = i'$.

 

Tôi sẽ lấy phản ví dụ cho khẳng định "nếu hạt nhân của $f$ bằng $0$ thì $f$ là đơn cấu" trong phạm trù $\mathbf{Set}_\ast$ các tập hợp định điểm (pointed set), nghĩa là

  • một vật của $\mathbf{Set}_\ast$ là một cặp $(X,x)$, với $X$ là một tập hợp và $x \in X$ (nói riêng, $X \neq \varnothing$); và
  • một cấu xạ $(X,x) \to (Y,y)$ trong $\mathbf{Set}_\ast$ là một ánh xạ $f: X \to Y$ thỏa mãn $f(x) = y$.

 

Nhận xét 1. $\{\ast\}$ (tập hợp có một phần tử duy nhất) là vật $0$ của phạm trù $\mathbf{Set}_\ast$.

Thật vậy, với mọi tập hợp định điểm $(X,x)$, cấu xạ duy nhất $\{\ast\} \to (X,x)$ trong $\mathbf{Set}_\ast$ là $\ast \mapsto x$. Vậy $\{\ast\}$ là vật đầu của $\mathbf{Set}_\ast$. Ngược lại, hiển nhiên có duy nhất một cấu xạ $(X,x) \to \{\ast\}$ trong $\mathbf{Set}_\ast$, đó là ánh xạ cho bởi $a \mapsto \ast$ với mọi $a \in X$.

 

Nhận xét 2. Với mọi vật $(X,x)$ và $(Y,y)$ của $\mathbf{Set}_\ast$, ánh xạ $\mathbf{0}: X \to Y$ cho bởi $a \mapsto y$ với mọi $a \in X$, là một cấu xạ $0$.

Thật vậy, với mọi cấu xạ $f: (X',x') \to (X,x)$, hợp thành $\mathbf{0} \circ f$ là ánh xạ cho bởi $a' \mapsto y$ với mọi $a' \in X'$.

Tương tự, với mọi cấu xạ $g: (Y,y) \to (Y',y')$, hợp thành $g \circ \mathbf{0}$ là ánh xạ cho bởi $a \mapsto y'$ với mọi $a \in X$, vì ta có $g(y) = y'$.

 

Nhận xét 3. Với mọi cấu xạ $f: (X, x) \to (Y,y)$, đặt $K:=f^{-1}(y)$ và ký hiệu bởi $i: K \hookrightarrow X$ phép bao hàm. Khi đó vật $(K,x)$ cùng với cấu xạ $i$ chính là hạt nhân của cấu xạ $f$.

Thật vậy, dễ thấy $x \in K$ và $i$ là một cấu xạ trong phạm trù $\mathbf{Set}_\ast$. Ngoài ra, từ định nghĩa của $K$, ta có $f(i(a)) = y$ với mọi $a \in K$, hay $f \circ i = \mathbf{0}: (K,x) \to (Y,y)$.

Giả sử $i': (K', x') \to (X,x)$ là một cấu xạ sao cho $f \circ i' = \mathbf{0}: (K',x') \to (Y,y)$, nghĩa là $f(i'(a')) = y$ với mọi $a' \in K'$. Từ định nghĩa của $K$, ta có $i'(a') \in K$ với mọi $a' \in K'$. Dễ thấy ánh xạ $j: K' \to K$ cho bởi $j(a') = i'(a')$ là cấu xạ duy nhất $(K',x') \to (K,x)$ thỏa mãn $i \circ j = i'$. Vậy $((K,x),i)$ là hạt nhân của cấu xạ $f$.

 

 

Bây giờ ta lấy $X = \{0,1,2\}$, $Y = \{0,1\}$ và xét các tập hợp định điểm $(X,0)$ cũng như $(Y,0)$.

 

Xét cấu xạ $f: (X,0) \to (Y,0)$ cho bởi $f(0) = 0$ và $f(1) = f(2) = 1$. Ta thấy hạt nhân của $f$ là $\{0\}$, tức là vật $0$ của phạm trù $\mathbf{Set}_\ast$.

Tuy nhiên $f$ không phải đơn cấu. Thật vậy, xét các cấu xạ $g,h: (Y,0) \to (X,0)$ lần lượt cho bởi $g(0) = 0$, $g(1) = 1$ và $h(0) = 0$, $h(1) = 2$. Ta có $g \neq h$ nhưng $f \circ g = f \circ h = \text{id}_Y$.




#743640 vấn đề về hàm tử biểu diễn được của phạm trù

Đã gửi bởi nmlinh16 on 17-02-2024 - 03:29 trong Toán học hiện đại

Có nhiều ví dụ khác về hàm tử biểu diễn được ở đây: https://en.wikipedia...unctor#Examples

 

Bài trên là do mình làm việc với lý thuyết phạm trù nhiều nên quen, chứ không lấy từ nguồn nào cả.

GFH1OqjWEAEBDQq.jpg