Đến nội dung

DBS nội dung

Có 167 mục bởi DBS (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#735650 $\sum \cos A+\sum \cot A \geq \dfrac{...

Đã gửi bởi DBS on 10-11-2022 - 08:19 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
$\sum \cos A+\sum \cot A \geq \dfrac{3}{2} + \sqrt{3}$



#732217 $\dfrac{2}{3}\leq a^2b+b^2c+c^2a\leq...

Đã gửi bởi DBS on 26-12-2021 - 21:32 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=2$ và $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{2}{3}\leq a^2b+b^2c+c^2a\leq \dfrac{10}{9}$$




#732133 $P_{max}=sinA+sinB-cosC$

Đã gửi bởi DBS on 19-12-2021 - 08:45 trong Bất đẳng thức và cực trị

$P=\sin A+\sin B-\cos C =\sin A+\sin B+\cos(A+B)=\sin A+\sin B+\cos A\cos B-\sin A\sin B\leq \frac{2\sin A+2\sin B+\cos^2 A+\cos^2B-2\sin A\sin B}{2}=\frac{2(\sin A+\sin B)+2-(\sin A+\sin B)^2}{2}\leq \frac{3}{2}$.

Đẳng thức xảy ra khi $\angle A=\angle B=\frac{\pi}{6};\angle C=\frac{2\pi}{3}$.

Dạ cho mình hỏi là làm sao để chọn ra được điểm rơi như thế ạ?

Và có cách nào để tổng quát bài toán này lên được không ạ?




#732108 $P_{max}=sinA+sinB-cosC$

Đã gửi bởi DBS on 17-12-2021 - 20:26 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $\Delta ABC$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$P=sinA+sinB-cosC$$.

 

Ps: Câu này không quá khó mà sao em bị lú, làm không được nhỉ :v




#731899 $$abc+k\bigg[\big(a-b\big)^2+\big(b-c\big)...

Đã gửi bởi DBS on 05-12-2021 - 20:05 trong Bất đẳng thức và cực trị

Dễ thấy $k\geq 0$ vì nếu $k<0$ thì ta chỉ cần chọn $a,b,c$ sao cho $abc+2<a+b+c$ thì ta có ngay điều vô lí.

Thay $a=0;b=c$ ta có $2kb^2+2\geq 2b,\forall b\geq 0$.

Cho $b=2$ thì $k\geq \frac{1}{4}$.

Ta sẽ chứng minh nếu $k=\frac{1}{4}$ thì bất đẳng thức đúng với mọi $a,b,c\geq 0$.

Đặt $f(a,b,c)=2abc+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+4-2(a+b+c)$.

Xét 2 trường hợp:

+) $a,b,c\geq 3$: Dễ dàng chứng minh được $abc+2\geq a+b+c$.

+) Tồn tại một số trong ba số $a,b,c$ nhỏ hơn 3: Giả sử $a\leq 3$.

Ta có $f(a,b,c)-f\left(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}\right)=\frac{3}{2}(b-c)^2-\frac{a(b-c)^2}{2}\geq 0$.

Đặt $\frac{b+c}{2}=t$ thì ta chỉ cần chứng minh $f(a,t,t)\geq 0\Leftrightarrow t^2(2a+1)-t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0$.

Xét VT là tam thức bậc hai đối với $t$. Ta có $\Delta' =-2a(a-1)^2\leq 0,\forall a\geq 0\Rightarrow t^2(2a+1)-2t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0,\forall a,t\geq 0$.

Từ đó $f(a,b,c)\geq f(a,t,t)\geq 0$ nên bất đẳng thức đúng với $k=\frac{1}{4}$.

Vậy $k_{min}=\frac{1}{4}$.

Nếu mình nhìn không nhầm thì hình như bạn chưa chứng minh giá trị $k=\frac{1}{4}$ đó là nhỏ nhất đúng ko?




#731890 $$abc+k\bigg[\big(a-b\big)^2+\big(b-c\big)...

Đã gửi bởi DBS on 05-12-2021 - 10:48 trong Bất đẳng thức và cực trị

Tìm số thực $k$ bé nhất sao cho với mọi bộ ba số thực không âm $a,b,c$, ta luôn có:

$$abc+k\bigg[\big(a-b\big)^2+\big(b-c\big)^2+\big(c-a\big)^2\bigg]+2\geq a+b+c$$




#729917 $T=\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c...

Đã gửi bởi DBS on 26-08-2021 - 10:24 trong Bất đẳng thức và cực trị

Mới nghĩ ra, không biết đúng không :<

$T=(\frac{3b+3c}{2a}+2)+(\frac{4a+3c}{3b}+1)+(\frac{12b-12c}{2a+3b}+8)-11=(4a+3b+3c)(\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}+\frac{4}{2a+3c})-11\geq (4a+3b+3c).\frac{16}{4a+3b+3c}-11=5$




#729916 $T=\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c...

Đã gửi bởi DBS on 26-08-2021 - 10:10 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$T=\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12(b-c)}{2a+3c}$$




#729869 $\left\{\begin{matrix} x^2y+2x^2+3y=15...

Đã gửi bởi DBS on 22-08-2021 - 20:11 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2y+2x^2+3y=15 & \\ x^4+y^2-2x^2-4y=5 & \end{matrix}\right.$




#729846 $P=\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}...

Đã gửi bởi DBS on 21-08-2021 - 14:21 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn $c=min\left \{ a,b,c \right \}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$




#729792 $\begin{cases} x^3-y^3=9y^3+36y+63 \\ x^2-y^2+x...

Đã gửi bởi DBS on 17-08-2021 - 21:10 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^3-y^3=9y^2+36y+63 \\ x^2-y^2+x=4y \end{cases}$

Ps: Em gõ đề có chút sai sót, mọi người thông cảm ạ :(




#729424 $x^2+y^2+z^2\geq2\sqrt2(x+y+z)$

Đã gửi bởi DBS on 06-08-2021 - 08:01 trong Bất đẳng thức và cực trị

Với a,b,c là các số thực dương ta có:

$x= \frac{b-c}{a}$ 

$y= \frac{c-a}{b}$ 

$x= \frac{a-b}{c}$ 

Do đó x+y+z=0 

Mặt khác $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 0$ với mọi x,y,z

Suy ra đpcm (do vế phải của bất đẳng thức $\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=0

Thay vào suy ra a=b=c

Lời giải của bn có vẻ sai rồi nha




#729384 $T=ax+by+ab$

Đã gửi bởi DBS on 05-08-2021 - 09:36 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho bốn số $x,y,a,b$ thoả mãn $x^2+y^2=1$ và $a+b=2$. Tìm GTLN của biểu thức:

$$T=ax+by+ab$$.




#729329 \[a^{2}+ b^{2}= 1\Rightarrow\sqrt{...

Đã gửi bởi DBS on 03-08-2021 - 09:42 trong Bất đẳng thức và cực trị

Chúng ta có thể thấy ngay chọn $a,b<0$ và $a^2+b^2=1$ thì hiển nhiên $a+4b-2<0$ mà không cần dùng công cụ gì cả.

Nếu thế thì em nghĩ với mọi $a,b<0$ thì BĐT trên luôn đúng
Sau đó xét TH $a,b\geq 0$ rồi làm tương tự như trên kia :3




#729326 $Min: P=a+b+c+\frac{8}{abc}$

Đã gửi bởi DBS on 03-08-2021 - 08:05 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2\geq 2(ab+bc+ca)$.

Tìm GTNN của biểu thức: $$P=a+b+c+\frac{8}{abc}$$




#729325 \[a^{2}+ b^{2}= 1\Rightarrow\sqrt{...

Đã gửi bởi DBS on 03-08-2021 - 07:59 trong Bất đẳng thức và cực trị

Ở dấu tương đương thứ $3$ hình như không đúng lắm vì $a+4b-2$ chưa chắc dương.

Thử $a<0$ và $b=-\sqrt{1-a^2}$ thì không bình phương hai về được. ?

Em vừa dùng Wolfram để giải hệ bất phương trình: $\begin{cases} a^2+b^2=1 \\ a+4b-2<0 \end{cases}$ thì chỉ có một trường hợp $x=0$ và $y=-1$ thoả mãn, nhưng trong trường hợp này BĐT trên luôn đúng.

 

Chị có thể tham khảo tại link này.




#729140 \[a^{2}+ b^{2}= 1\Rightarrow\sqrt{...

Đã gửi bởi DBS on 26-07-2021 - 08:50 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bất đẳng thức trên tương đương với:
$\Leftrightarrow (\sqrt{5-4a}+2\sqrt{5-4b})^2\geq 17$
$\Leftrightarrow (5-4a)+4(5-4b)+4\sqrt{25-20(a+b)+16ab}\geq 17$
$\Leftrightarrow \sqrt{25-20(a+b)+16ab}\geq a+4b-2$
$\Leftrightarrow 25-20(a+b)+16ab\geq (a+4b-2)^2$
$\Leftrightarrow a^2+16b^2-8ab+16a+4b\geq 21$
$\Leftrightarrow (a-4b)^2+4(4a+b)\leq 21$
Lại có: $a^2+b^2=1\Rightarrow 17a^2+17b^2=17\Rightarrow (a-4b)^2+(4a+b)^2=17$
$\Rightarrow -(4a+b)^2+4(4a+b)\leq 4\Leftrightarrow (4a+b-2)^2\geq 0$ (luôn đúng).

 

Nguồn: AoPS :>




#729125 $\sum_{cyc} \sqrt[4]{a^4+3}\geq...

Đã gửi bởi DBS on 25-07-2021 - 15:56 trong Bất đẳng thức và cực trị

Áp dụng BĐT Holder, ta có: $(1+3)(1+3)(1+3)(a^4+3)\geq (a+3)^4$

$\Rightarrow \sqrt[4]{a^4+3}\geq \frac{a+3}{\sqrt[4]{64}}$

Chứng minh các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:

$\sqrt[4]{a^4+3}+\sqrt[4]{b^4+3}+\sqrt[4]{c^4+3}\geq \frac{a+b+c+9}{\sqrt[4]{64}}$

Hơn nữa, áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta được:

$a+b+c+9=(a+b+c)+3+3+3\geq 4\sqrt[4]{27(a+b+c)}$

$\Rightarrow \sqrt[4]{a^4+3}+\sqrt[4]{b^4+3}+\sqrt[4]{c^4+3}\geq \frac{4\sqrt[4]{27(a+b+c)}}{\sqrt[4]{64}}=\sqrt[4]{108(a+b+c)}$




#729122 $\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2...

Đã gửi bởi DBS on 25-07-2021 - 10:44 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $$\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqslant c\leqslant \min\left \{ a\sqrt{2};b\sqrt{3} \right \} \\ a+c\sqrt{3} \geqslant \sqrt{6} \\ b\sqrt{3}+c\sqrt{10}\geq 2\sqrt{5} \end{cases}$$.

 

Chứng minh rằng: $$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{3}{c^2}\leqslant \frac{118}{15}$$.




#729098 $\sum_{cyc} \sqrt[4]{a^4+3}\geq...

Đã gửi bởi DBS on 24-07-2021 - 08:33 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$$\sqrt[4]{a^4+3}+\sqrt[4]{b^4+3}+\sqrt[4]{c^4+3}\geq \sqrt[4]{108(a+b+c)}$$




#729074 $Q=\frac{1}{x}+\frac{1}{y^2...

Đã gửi bởi DBS on 22-07-2021 - 08:40 trong Bất đẳng thức và cực trị

Đề bài mới sửa lại ah? Với gt cũ $x^{3}+y^{3}+z=2\sqrt{3}+1$ em thử xem có làm đc ko

Uk, em mới sửa lại đề ạ, viết nhầm :)

Mà với giả thiết cũ $x^{3}+y^{3}+z=2\sqrt{3}+1$ thì em nghĩ rất khó chứng minh, mà cứ thử sức xem sao :D




#729063 $Q=\frac{1}{x}+\frac{1}{y^2...

Đã gửi bởi DBS on 21-07-2021 - 16:31 trong Bất đẳng thức và cực trị

$\dfrac{1}{z^3}+\dfrac{1}{\sqrt{27}}+\dfrac{1}{ \sqrt{27}}\ge \dfrac{1}{z}$.

$\begin{aligned}P+\dfrac{2}{3\sqrt{3}}&\ge \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z}\ge 
\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y^2+z} \\  &=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{1+2\sqrt{3}-x^3}\ge 1+
 \dfrac{2}{\sqrt{3}}.\end{aligned}$

$\min P=1+\dfrac{4}{3\sqrt{3}}$.

$(x,y,z)\sim (1,\sqrt[4]{3},\sqrt{3})$

Ý bn có phải là như này?

 

$\dfrac{1}{z^3}+\dfrac{1}{\sqrt{27}}+\dfrac{1}{ \sqrt{27}}\ge \dfrac{1}{z}$.
 
$\begin{aligned}P+\dfrac{2}{3\sqrt{3}}&\ge \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z}\ge \dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y^2+z} \\ &=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{1+2\sqrt{3}-x^3}\ge 1+ \dfrac{2}{\sqrt{3}}.\end{aligned}$
$\min P=1+\dfrac{4}{3\sqrt{3}}$.
 
$(x,y,z)\sim (1,\sqrt[4]{3},\sqrt{3})$



#729054 $Q=\frac{1}{x}+\frac{1}{y^2...

Đã gửi bởi DBS on 21-07-2021 - 10:29 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $x^3+y^2+z=2\sqrt{3}+1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$Q=\frac{1}{x}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^3}$$




#729043 Chứng minh rằng $IJ$ hoặc cùng phương hoặc vuông góc với tia phân g...

Đã gửi bởi DBS on 20-07-2021 - 20:20 trong Hình học phẳng

Cho góc $\widehat{xOy}$. Các đoạn $AB,CD$ có độ dài bằng nhau và theo thứ tự thuộc các tia $Ox, Oy$. Gọi $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của $AC,BD$. Chứng minh rằng $IJ$ hoặc cùng phương hoặc vuông góc với tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.




#729004 $P=\sqrt{2(x^2+y^2)}+4\sqrt{x}+4\sqrt...

Đã gửi bởi DBS on 19-07-2021 - 09:24 trong Bất đẳng thức và cực trị

Bài này sai đề. Sửa lại là tìm $\max P$ 

À, đề gốc là tìm $maxP$ ấy, mà em quên, quen với $min$ rồi :)