Đến nội dung

DaiphongLT nội dung

Có 201 mục bởi DaiphongLT (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#742005 $AK\perp BC$

Đã gửi bởi DaiphongLT on 04-11-2023 - 19:43 trong Hình học

Mấy hôm nay ngồi chơi chơi với cái Geogebra thì đột nhiên nghĩ ra 1 bài toán khá lạ,đăng lên cho mọi người thảo luận:

 

Bài toán:Cho $\Delta ABC$ nhọn,đường cao $BE,CF$,$M$ là trung điểm $BC$.Giả sử $(BME),(CMF)$ có giao điểm 2 tiếp tuyến chung ngoài là $K$ và $K$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.Chứng minh $AK\perp BC$

Chứng minh bài toán sau: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O), S$ là điểm chính giữa cung $BAC$ của $(O), M$ trung điểm $BC. K$ thuộc $(O)$ sao cho $AK \perp BC,$ đường cao $BE, CF.$ Giả sử $AK=SM,$ khi đó $K$ là tâm vị tự ngoài của $(BME)$ và $(CMF)$
Gợi ý: Kẻ đường kính $AA'.SM, A'M$ cắt $(O)$ tại $T, N,$ chứng minh $K$ là tâm $(NMT)$ để suy ra $K, O_1,O_2, S$ thẳng hàng, để ý $KC$ tiếp xúc $(CMF), KB$ tiếp xúc $(BME)$ là được
Sau đó áp dụng bài toán trên vào bài toán ban đầu sẽ có đpcm




#741998 Chứng minh tâm (KHL) đối xứng với O qua A

Đã gửi bởi DaiphongLT on 04-11-2023 - 14:15 trong Hình học

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Đường cao BD,CE cắt nhau tại H, DE cắt (O) tại K,L CMR tâm (KHL) đối xứng với O qua A

Gọi $B', C'$ đối xứng với $B, C$ qua $CA, AB.$ Khi đó $B',L,H,K,C'\in \odot$
Gọi $O',O_1$ đối xứng với $O$ qua $A, AB$ thì $O'O_1//AB,$ cho $T$ trung điểm $HC',$ vì $C'$ thuộc $(AHB)$ nên $O_1T \perp HC$ hay $O_1T//AB$
Từ đó $\Rightarrow \overline{O',O_1,T}$ hay $O'$ thuộc trung trực $HB',$ tương tự có đpcm




#741900 Chứng minh $P$ nằm trên đường tròn Pedal của $O$ đối với...

Đã gửi bởi DaiphongLT on 29-10-2023 - 09:24 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O),$ một đường tròn bất kì đi qua $B, C$ cắt $CA, AB$ tại $E, F. H$ là giao điểm của $BE$ và $CF, AH$ cắt $BC$ và $(O)$ lần lượt tại $D$ và $I. M$ là trung điểm $BC, L$ là giao điểm của $IM$ với $(O).$ Gọi $K$ là điểm liên hợp đẳng giác của $H$ trong tam giác $ABC. J$ nằm trên $AH$ sao cho $JK \perp AL.$ Đường thẳng qua $J$ song song với $OA$ cắt $EF$ tại $P.$ Chứng minh $P$ nằm trên đường tròn Pedal của $O$ đối với tam giác $DEF.$
geogebra-export (3).png




#741897 Chứng minh $OP$ đi qua điểm Kosnita

Đã gửi bởi DaiphongLT on 29-10-2023 - 06:05 trong Hình học

Ta đưa về mô hình tâm nội tiếp bởi vì $O_aO$ là phân giác góc $\angle O_bO_aO_c$

Đưa về bài toán sau:

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. $AI,BI,CI$ giao $BC,AC,AB$ tại $X,Y,Z$. $G$ là trực tâm của $\Delta XYZ$. $O_a,O_b,O_c$ là điểm đối xứng của $I$ qua $BC,AC,AB$. Chứng minh $IG$ đi qua điểm đồng quy của $AO_a,BO_b,CO_c$

 

Bổ đề: Cho $\Delta ABC$, điểm $P$ bất kỳ trong mặt phẳng. $AP,BP,CP$ giao $BC,AC,AB$ tại $D,E,F$. $Q$ bất kỳ trên mặt phẳng. $DQ,EQ,FQ$ giao $EF,FD,DE$ tại $D_1,E_1,F_1$. $PD_1,PE_1,PF_1$ giao $BC,AC,AB$ tại $A_1,B_1,C_1$. Chứng minh rằng $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy trên $PQ$

 

Chứng minh:

Gọi các điểm như hình vẽ

Ta có $F(PI,AJ)=F(PX,C_1B_1)=P(FX,C_1B_1)=P(FX,YZ)$

Mà $F(PI,AJ)=F(CE,AB_1)=F(EC,B_1A)=P(EF,E_1D)=E(PF,E_1D)=E(PF,YF_1)=F(PE,YF_1)=F(PX,YZ$

Nên $X,Y,Z$ thẳng hàng

Dùng Desargue cho $\Delta QEF$ và $\Delta PC_1B_1$ nên $P,Q,G$ thẳng hàng

Áp dụng định lý Pappus cho bộ $(B,C_1,F)$ và bộ $(C,B_1,E)$ nên $P,H,G$ thẳng hàng

Suy ra $H,P,Q$ thẳng hàng

DPCM

attachicon.gif 368114034_1069878864427730_7888921593160612058_n.png

 

 

Quay lại bài toán

Gọi $A_1,A_2,G_x$ là giao của $AO_a,AX,XG$ và $BC,YZ,YZ$

Theo hàng điểm có $YZ$ là phân giác $\angle AG_xI$

Và $A_1A_2$ vuông góc $BC$

Nên $\angle A_2G_xA_1=\angle A_2XA_1=\angle AG_xA_2=\angle A_2G_xI$

Nên $A_1,G_x,I$ thẳng hàng

Áp dụng bổ đề có dpcm

attachicon.gif Screenshot 2023-10-29 022104.png

Lời giải ngắn gọn thật :mellow: , mình đã biết trước một số kết quả nên cách làm không tự nhiên lắm




#741855 Chứng minh $OP$ đi qua điểm Kosnita

Đã gửi bởi DaiphongLT on 27-10-2023 - 07:28 trong Hình học

Tiếp tục về mô hình này, mình có phát hiện được 2 bài toán sau:
Bài 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O), K$ là điểm Kosnita của tam giác $ABC. X, Y, Z$ lần lượt đối xứng với $K$ qua $BC, CA, AB.$ Gọi $H$ là trực tâm $\Delta XYZ.$ Chứng minh $KO=KH$
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ trực tâm $H, K$ là điểm Kosnita của tam giác $ABC. X$ là giao điểm của $AH$ với $(O), BK, CK$ lần lượt cắt $(BHC)$ tại $Y, Z. BX, CX$ lần lượt cắt $(BHC)$ tại $U, V.$ Chứng minh $YZ, BC, UV$ đồng quy
Bài 4 (Sưu tầm): Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ các đường phân giác $AD,BE,CF$ đồng quy tại $I.$ Chứng minh $OI$ đi qua tâm Euler của tam giác $DEF$
 




#741840 Chứng minh $OP$ đi qua điểm Kosnita

Đã gửi bởi DaiphongLT on 26-10-2023 - 09:07 trong Hình học

Lời giải:
Bổ đề 1: Cho tam giác $ABC, P$ bất kì. Đường thẳng qua $P$ vuông góc $PA,PB,PC$ cắt $BC, CA, AB$ tại $X,Y,Z.$ Khi đó $X, Y, Z$ thẳng hàng (Bổ đề khá quen thuộc)
Bổ đề 2: Cho $\Delta ABC$ và $\Delta XYZ.$ Khi đó các đường thẳng lần lượt qua $X$ vuông góc $BC,$ qua $Y$ vuông góc $CA,$ qua $Z$ vuông góc $AB$ đồng quy khi và chỉ khi các đường thẳng qua $A$ vuông góc $YZ,$ qua $B$ vuông góc $ZX,$ qua $C$ vuông góc $XY$ đồng quy (Hệ quả trực tiếp của định lí Carnot)
Gọi $K$ là điểm Kosnita của $\Delta ABC. D, E, F$ là hình chiếu của $K$ lên $BC,CA,AB. H$ là trực tâm $\Delta DEF, N$ là tâm Euler của $\Delta ABC$
$O'$ đối xứng với $O$ qua $BC,$ $A_a$ là tâm $(AOO').$ Định nghĩa $B_b, C_c$ tương tự, khi đó ta dễ thấy $\widehat{ANA_a}=90^{\circ}$ nên theo bổ đề 1 suy ra $\overline{A_a, B_b, C_c}$
Xét $I_{O}^{R^2}:(A_a)\leftrightarrow AO_a,$ để ý rằng $AO_a, BO_b, CO_c$ đồng quy tại $K$ do đó các đường tròn $(A_a), (B_b), (C_c)$ đồng trục với trục đẳng phương là $OK$ nên $\overline{A_a, B_b, C_c}\perp OK$
Áp dụng bổ đề 2 và hai tam giác $KEF$ và $NC_cB_b$ khi đó ta cũng có được $KH\perp \overline{A_a, B_b, C_c}$
Từ đây ta suy ra $\overline{O,K,H}$
Dễ chứng minh được 2 tam giác $DEF$ và $XYZ$ vị tự với nhau, do đó $OP$ đi qua $H$
Kết hợp hai kết quả trên, ta suy ra điều phải chứng minh
P/s: Lời giải của mình chưa được chỉnh chu, thiên về phần gợi ý khá nhiều, có một số kết quả chứng minh cũng khá dài, khi nào có thời gian mình sẽ hoàn thiện lời giải bài toán này sau
Một kết quả khác cũng rất hay là $\overline{HO}=3\overline{HK}$geogebra-export (1).png




#741776 Chứng minh $OP$ đi qua điểm Kosnita

Đã gửi bởi DaiphongLT on 18-10-2023 - 01:04 trong Hình học

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O). O_a, O_b, O_c$ lần lượt là tâm của $(OBC), (OCA), (OAB). XYZ$ là tam giác Cevian của $O$ đối với $\Delta O_aO_bO_c. P$ là trực tâm $\Delta XYZ.$ Chứng minh $OP$ đi qua điểm Kosnita của $\Delta ABC.$  
Định nghĩa điểm Kosnitahttps://vi.wikipedia...Định_lý_Kosnita




#741737 Chứng minh tứ giác ANMK nội tiếp

Đã gửi bởi DaiphongLT on 15-10-2023 - 20:19 trong Hình học

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).Gọi E là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của AD và BC, G là giao điểm của AC và BD. Gọi giao điểm MN với EF là H(M,N lần lượt là trung điểm AC,BD )gọi giao điểm HA với (O) là K.Chứng minh tứ giác ANMK nội tiếp.

Vì $O$ là trực tâm $\Delta GEF$ nên dễ thấy $EF$ là trục đẳng phương của $(OG)$ và $(O). H \in EF$ nên $\overline{HN}.\overline{HM}=\overline{HA}.\overline{HK} \Rightarrow \square .$




#741695 Chứng minh bốn điểm $B$, $Q$, $L$ và $C...

Đã gửi bởi DaiphongLT on 12-10-2023 - 03:51 trong Hình học

Gọi $O$ là tâm đường tròn $(ABC), P'$ đối xứng với $P$ qua $MN$
Dễ thấy $NP=NB, MP=MC$ nên biến đổi góc dễ có $P' \in (O) \Rightarrow AP'//MN \Rightarrow \overline{P',P,D}$
$\widehat{NPB}=\widehat{MPC}\Rightarrow LP\perp BC.$ Gọi $MN \cap BC=S,$ dễ thấy $SP'$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $\overline{SL}.\overline{SQ}=SP^2={SP'}^2=\overline{SB}.\overline{SC}\Rightarrow \square .$




#741559 Tiếp tuyến chung trong khác $AH$ của $\left ( I_{1...

Đã gửi bởi DaiphongLT on 29-09-2023 - 05:44 trong Hình học

Cho tam giác $ABC$ nhọn($AB<AC$);đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$;$M$ là trung điểm $BC$.Gọi $\left ( I_{1} \right ),\left ( I_{2} \right ),\left ( J_{1} \right ),\left ( J_{2} \right )$ lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác $AHB,AHC,MBF,MCE$;$K$ là giao của các tiếp tuyến chung trong của $\left ( J_{1} \right ),\left ( J_{2} \right )$.Chứng minh rằng tiếp tuyến chung trong khác $AH$ của $\left ( I_{1} \right ),\left ( I_{2} \right )$;$HK$ và $BC$ đồng quy.

 

 

 

P\s:Lâu không quay lại diễn đàn :wacko:  :wacko:

https://artofproblem...unity/c6h487427
Dùng bổ đề này lầ được




#741558 Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I. (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F,...Chứng...

Đã gửi bởi DaiphongLT on 29-09-2023 - 05:14 trong Hình học

Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp (I). (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. EF cắt (ABC) tại P,Q. DQ cắt (ABC) tại H. Chứng minh AH vuông IP

Gọi $M$ trung điểm $BC.$ Dễ thấy $P,Q,D,M\in \odot$
Do đó $(PH,BC)=-1,$ gọi $AH \cap EF=J$ thì $(PJ,EF)=-1$ hay $P,J$ liên hợp với đường tròn $(I)$
Mà $P$ thuộc đối cực của $A$ đối với đường tròn $(I)$ nên $P,A$ liên hợp với đường tròn $(I)$
Từ đó $AJ \perp IP.$




#741030 Chứng minh $(SMN)$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Đã gửi bởi DaiphongLT on 13-08-2023 - 16:46 trong Hình học

Lời giải:
Gọi $DE, DF$ cắt $SC, SB$ tại $L, K$
$U, V$ là điểm đối xứng của $D$ qua $F, E$
$X, Y$ là điểm đối xứng của $M, N$ qua $AB, AC$
$BX, MU$ giao $CY, NV$ tại $H, G$
Ta có: $\angle HBA=\angle HCA$ nên $H$ thuộc $(ABC)$
Lại có: $\angle BHA=180 - \angle ACB=180-\angle XFA$ nên $X,F,H,A$ đồng viên
Tương tự $H,A,Y,E$ đồng viên
Mà $BD^2=BF.BA=BX.BH$ nên $\angle BHD=\angle XDB$
Tương tự $\angle CHD=\angle YDC$
Nên $H,X,D,Y$ đồng viên
Suy ra $\angle XDF=\angle YDE$ hay $\angle MUK=\angle NVL$
Suy ra $U,V,D,G$ đồng viên
Lại có $\angle MGN=\angle FDE=180-\angle MSN$ nên $G,M,N,S$ đồng viên
Bởi vì $MN//UV$ nên $(SMN)$ tiếp xúc với $(A,AD)$
Xứng đáng skin op
attachicon.gif Screenshot 2023-08-11 184617.png

Hay hay:))




#740951 Chứng minh $(SMN)$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Đã gửi bởi DaiphongLT on 07-08-2023 - 09:05 trong Hình học

Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $AD$. $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ lên $CA, AB$. $S$ là một điểm bất kì nằm trên đường tròn $(O)$. $SB, SC$ cắt $EF$ lần lượt tại $M, N$. Chứng minh $(SMN)$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
geogebra-export (1).png




#734744 Chứng minh rằng $(PQR)$ tiếp xúc $(O)$.

Đã gửi bởi DaiphongLT on 01-09-2022 - 21:21 trong Hình học

$\textbf{Bài toán}$ Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$. $OI$ cắt $BC,CA,AB$ tại $X,Y,Z$. Đường thẳng qua $X,Y,Z$ vuông góc với $IA,IB,IC$ cắt nhau tạo thành tam giác $PQR$. Chứng minh rằng $(PQR)$ tiếp xúc $(O)$.

attachicon.gif Screenshot (1889).png

Gọi $(I)$ tiếp xúc $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$. Đầu tiên xét phép nghịch đảo cực $I$, phương tích $r^2$ (với $r$ là bán kính của đường tròn $(I)$), ta dễ chứng minh được $OI$ là đường thẳng Euler của tam giác $DEF$
Đổi mô hình bài toán về mô hình trực tâm như sau: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $AD, BE, CF$ đồng quy tại trực tâm $H$. $X, Y, Z$ lần lượt là giao điểm của $OH$ với $EF, FD, DE$. Đường thẳng qua $X, Y, Z$ lần lượt vuông góc với $HD, HE, HF$ cắt nhau tạo thành tam giác $GKJ$. Chứng minh $(GKJ)$ tiếp xúc $(DEF)$.
Vai trò của tam giác $DEF$ trong bài toán này chính là tam giác $ABC$ ở bài toán gốc. Do đó $OI$ ở bài toán gốc có vai trò như $OH$ ở bài toán này.
Chứng minh: Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BC, CA, AB$. 
Ta có $\Delta JKG \sim MNP$ (các cạnh tương ứng song song) do đó $MJ, NK, PG$ đồng quy. Gọi điểm đồng quy là $S$
Bổ đề: Gọi $OM$ cắt $(DEF)$ tại $X$. Khi đó $PY, XH, NZ$ đồng quy tại một điểm nằm trên đường tròn Euler của tam giác $ABC$. Chứng minh bổ đề này không khó, chủ yếu là liên hệ các dây cung đặc biệt và dùng định lí Pascal nhiều lần, mình xin phép không chứng minh
Quay lại bài toán, gọi $PY, XH, NZ$ đồng quy tại $T$. Ta sẽ chứng minh $\Delta PYG\sim \Delta NZK$
Thật vậy: Gọi giao điểm $OH$ với $CA, AB$ là $Q, R$, ta có $\widehat{PYG}=\widehat{PYQ}$ $+$ $\widehat{GYQ}$ $=$ $\widehat{PTN}+\widehat{NZQ}$ $+$ $\widehat{AQR}$ $=$ $\widehat{BAC}$ $+$ $\widehat{NZQ}$ $+$ $180^{\circ}$ $-$ $\widehat{BAC}$ $-$ $\widehat{ARQ}$ $=$ $\widehat{NZQ}+\widehat{KZQ}=\widehat{NZK}$ $(1)$
Tiếp theo ta sẽ chứng minh $\frac{PY}{NZ}=\frac{YG}{ZK}$ $(2)$
Ta có $\frac{YG}{ZK}=\frac{sin\widehat{YXG}.XY}{sin\widehat{YGX}}.\frac{sin\widehat{ZKX}}{XZ.sin\widehat{ZXK}}=\frac{XY}{XZ}.\frac{sin\widehat{ABC}}{sin\widehat{ACB}}=\frac{XY}{XZ}.\frac{AC}{AB}=\frac{YF}{FD}.\frac{DE}{EZ}.\frac{AC}{AB}$
Do đó ta cần chứng minh $\frac{PY}{NZ}=\frac{YF}{FD}.\frac{DE}{EZ}.\frac{AC}{AB}$ hay $\frac{PY}{YF}.\frac{EZ}{NZ}=\frac{DE}{DF}.\frac{AC}{AB}$
Ta có $\frac{PY}{YF}.\frac{EZ}{NZ}=\frac{sin\widehat{ARQ}.RY}{sin\widehat{FPY}}.\frac{sin\widehat{BFD}}{sin\widehat{ARQ}.RY}.\frac{sin\widehat{AQR}.ZQ}{sin\widehat{DEC}}.\frac{sin\widehat{ZNQ}}{sin\widehat{AQR}.ZQ}=\frac{sin\widehat{ACB}}{sin\widehat{ABC}}.\frac{sin\widehat{EXH}}{sin\widehat{FXH}}=\frac{AB}{AC}.\frac{HE.sin\widehat{XEH}}{XH}.\frac{XH}{HF.sin\widehat{XFH}}=\frac{AB}{AC}.\frac{HE}{HF}.\frac{sin\widehat{ABC}}{sin\widehat{ACB}}=\frac{AB}{AC}.\frac{HE}{HF}.\frac{AC}{AB} = \frac{HE}{HF}$
Do đó ta cần chứng minh $\frac{HE}{HF}=\frac{DE}{DF}.\frac{AC}{AB}\Leftrightarrow \frac{HE}{DE}.\frac{DF}{HF}=\frac{AC}{AB}$ (hiển nhiên đúng). Vì vậy ta có $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có được $\Delta PYG\sim \Delta NZK$ $(g-g)$ $\Rightarrow \widehat{PGY}=\widehat{ZKN}$ hay $GKJS$ nội tiếp. Ở Mặt khác $GK//PN$ nên ta có đpcm.
$P/s:$ bài này của anh Nguyễn Duy Phước, mọi người có thể tham khảo bài toán này và trường hợp tổng quát hơn ở đây:https://artofproblem...165960p16088122
geogebra-export.png




#734658 tgABC nt(O) trực tâm H đg cao AD.CH cắt (AHB) tại M, N đntt. DM cắt (AHB) tại...

Đã gửi bởi DaiphongLT on 27-08-2022 - 21:49 trong Hình học

Gợi ý: - Kẻ đường cao $BE, CF$, gọi $I$ là giao điểm của trung trực $HD$ với $EF$. Chứng minh $IH$ tiếp xúc $(HMN)$. Dùng bổ đề 1 ở link này: https://diendantoanh...-trung-trực-ai/
           - Chứng minh $AP$ vuông góc $ID$, bằng cách gọi hình chiếu của $A$ lên $ID$ và $XY$ là $S, T$. Chứng minh $AS, AT$ đẳng giác trong $\widehat{AXY}$. Phần này chỉ biến đổi góc
           - Gọi $DE, DF$ cắt $CH, BH$ tại $J, L$. $R$ là tâm $(DJL)$, $N$ là tâm Euler của tam giác $ABC$. $AN$ cắt $BC$ tại $Q$. $U$ là trung điểm $AQ$. Chứng minh $D, R, U, K$ thẳng hàng. Dùng bổ đề hình thang và vị tự tâm $A$ tỉ số $\frac{1}{2}$. Sau đó dùng lại bổ đề 1 ở link trên là được
P/s: Có lẽ bài này là kết hợp của đề chọn đt tỉnh Đồng Nai năm 2022 và chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hoà 2021


 




#734657 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Đã gửi bởi DaiphongLT on 27-08-2022 - 21:19 trong Hình học

Bài 41: Cho tam giác $ABC$, $L$ là điểm Lemoine. $E, F$ nằm trên $CA, AB$ sao cho $LE//AB$ và $LF//AC$. Đường thẳng qua $L$ song song $EF$ cắt $CA, AB$ tại $M, N$.
$a)$ Chứng minh $MNCB$ nội tiếp đường tròn $(K)$
$b)$ Chứng minh giao điểm hai tiếp tuyến tại $M, N$ của $(K)$ nằm trên $EF$
 




#734616 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Đã gửi bởi DaiphongLT on 25-08-2022 - 02:05 trong Hình học

Giờ nhìn hình các bạn làm khiếp thật, bỏ hình lâu quá nên giờ chẳng thể làm bài nào của các bạn cả. Mạn phép các bạn mình đăng một bài, lục lại vở cũ thấy ngày xưa mình có làm bài toán sau.

 

Bài 39: Cho tam giác $ABC$ (góc $B$ lớn hơn góc $C$) và $D$ là điểm trên $AC$ sao cho $\angle ABD =\angle C$. Đặt $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDI$ cắt $AI$ ở $E$ khác $I$. Đường thẳng đi qua $E$ và song song với $AB$ cắt $BD$ ở $P$. Đặt $J$ là tâm nội tiếp tam giác $ABD$, $A’$ là điểm đối xứng với $A$ qua $I$. Goị $Q$ là giao của $JP$ và $A’C$. Chứng minh rằng $QJ=QA’$.

Gọi $K$ là giao điểm của $AI$ và $BD$, ta có $\widehat{JED}=\widehat{ICD}=\frac{\widehat{ACB}}{2}=\frac{\widehat{ABD}}{2}=\widehat{JBD}$ hay $JBED$ nội tiếp. Do đó $E$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABD$ hay $(AK, JE)=-1$. Mặt khác $PE//AB$ nên $PJ$ sẽ đi qua trung điểm $AB$. Gọi trung điểm $AB$ là $H$. Ta có $\Delta ABJ \sim \Delta ACI (g-g)$ nên $\Delta AHJ \sim \Delta ACA' (c-g-c)$. Vì vậy $\widehat{AJH}=\widehat{AA'C}$ hay có đpcm.
geogebra-export.png




#734601 Cho (O) và dây cung AB.TT tại A,B cắt nhau tại P.(O') tx AB và tx trong (...

Đã gửi bởi DaiphongLT on 24-08-2022 - 02:26 trong Hình học

Cho (O) và dây cung AB khác đường kính. (O') tiếp xúc AB và tiếp xúc trong với (O) tại điểm nằm trên cung lớn AB. M là trung điểm cung AB nhỏ. T là điểm trên (O') sao cho ATB=90. TM cắt (O') tại S. Tiếp tuyển tại A,B của (O) cắt nhau tại P. CM S thuộc (P;PA)

Nếu mình không nhầm thì đề đúng của bài này là đề chọn đội tuyển của PTNK (là chứng minh $S$ thuộc đường tròn cố định), cách dựng điểm $S$ cũng khó đoán hơn. Còn chứng minh thì biến đổi góc, dùng phương tích bằng $MA^2$




#734600 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Đã gửi bởi DaiphongLT on 24-08-2022 - 00:39 trong Hình học

Bài 38: Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$, $E$ và $F$ lần lượt nằm trên $CA, AB$ sao cho $BF=CE$, $BE$ cắt $CF$ tại $K$. $I_1, I_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $KBF$ và tam giác $KCE$. Phân giác trong góc $\widehat{BAC}$ cắt $I_1I_2$ tại $L$. Chứng minh $LI_1=KI_2$.




#734596 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Đã gửi bởi DaiphongLT on 23-08-2022 - 20:24 trong Hình học

Bài 36. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I, Ia lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Gọi AA1 là đường kính của đường tròn (O). IaA1 cắt lại đường tròn (O) tại T, AI cắt BC tại E và đường thẳng qua I vuông góc với AE cắt AC tại P. Chứng minh rằng AT, EP và BI đồng quy

Gọi $G$ thuộc $AB$ sao cho $I_aG//IP$, ta có $\Delta AI_aG \sim \Delta AIP (g-g)$ nên $\frac{I_aG}{IP}=\frac{AI_a}{AI}=\frac{EI_a}{EI}$ hay $P, E, G$ thẳng hàng. Gọi $GI_a$ cắt $AA_1$ và $BC$ tại $J$ và $F$, $I_aA_1$ cắt $EJ$ tại $K$. Menelaus cho tam giác $JEA$ cát tuyến $A_1, K, I_a$ ta sẽ được $K$ trung điểm $EJ$. Biến đổi góc đơn giản dễ thấy $AEJF$ nội tiếp. Do đó $\widehat{EAF}=\widehat{EJI_a}=\widehat{KI_aJ}=\widehat{HA_1K}=\widehat{EIT}$ hay $A, T, F$ thẳng hàng. Để ý $(AE, II_a)=-1$ nên $BI, EP, AT$ đồng quy.
geogebra-export.png




#734592 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Đã gửi bởi DaiphongLT on 23-08-2022 - 15:38 trong Hình học

Bài 33. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và điểm $P$ bất kỳ trên $(O)$. $J,K$ là tâm đường tròn $(BOP)$ và $(COP)$. $Y,Z$ là hình chiếu của $J,K$ lên $AC,AB$. Chứng minh $YZ$ đi qua 1 điểm cố định khi $P$ di chuyển trên $(O)$

Dựng hình bình hành $OZQD$ và $DKZU$, khi đó $OKQU$ cũng là hình bình hành. Vì $KO=KD$ nên $UZ=UQ$. Gọi $(U,UV)$ cắt $AB$ tại $P$, $E$ và $F$ là hình chiếu của $D$ lên $CA$ và $AB$.
Ta có $\Delta UZQ=\Delta KOD(c-c-c)\Rightarrow \widehat{ZPQ}=\widehat{OCD}=90^{\circ}-\widehat{DAC}=\widehat{AFE}\Rightarrow PQ//EF$, mặt khác $UD//KZ$ nên $DU$ vuông $AB$ hay $D, U, F$ thẳng hàng. Do đó $Z$ và $P$ đối xứng với nhau qua $DF$. Vì vậy nếu gọi $M$ trung điểm $ZQ$ thì ta có $FM//PQ//FE$ nên $F, M, E$ thẳng hàng
Gọi $N$ trung điểm $OD$, khi đó ta có $MNOZ$ là hình bình hành, do đó nếu ta gọi $DM$ cắt $OZ$ tại $O_1$ thì ta có $ZM$ là đường trung bình của tam giác $O_1OD$. Gọi $D_1, D_2$ lần lượt là điểm đối xứng của $D$ qua $CA, AB$, vì $M$ trung điểm $OD_1$ nên $O_1$ thuộc $D_1D_2$, định nghĩa $O_2$ tương tự $O_1$, ta cũng có $O_2$ thuộc $D_1D_2$, do đó $O_1O_2$ là đường thẳng Steiner của $D$ đối với tam giác $ABC$ hay $O_1O_2$ đi qua trực tâm tam giác $ABC$. Đến đây xét phép vị tự tâm $O$, tỉ số $\frac{1}{2}$, ta được $YZ$ đi qua tâm Euler của tam giác $ABC$
geogebra-export.png




#734587 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Đã gửi bởi DaiphongLT on 23-08-2022 - 13:16 trong Hình học

Bài 35. Cho hình bình hành $ABCD$ có $P$ là điểm bất kỳ trên $AB$. $DP,CP$ lần lượt cắt $CB$ và $AD$ tại $E,F$. $G$ là tâm vị tự trong của đường tròn nội tiếp hai tam giác $PAE$ và $PBF$. Chứng minh $PG$ đi qua điểm Nagel của tam giác $PCD$. 

d650ec45c07b7e8235d8e7cd3fe09201765acb31

Gọi $I, I'$ lần lượt là tâm nội tiếp tam giác $PAE$ và $PBF$. $M, N$ lần lượt là giao điểm của $PI', PI$ với $CD$, $S$ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác $PCD$ với $BC$, $T$ là điểm đối xứng của $S$ qua trung điểm $CD$
Dễ thấy $DM=DP$ và $CN=CP$. Khi đó $PD-PC=SD-SC$ hay $PD+SC=SD+PC$ nên $DM+TD=TC+CN$. Do đó $TM=TN$ hay $T$ trung điểm $MN$
Gọi $II'$ cắt $BC$ tại $K$, $PT$ cắt $II'$ tại $G'$ thì ta có $(II', G'K)=P(II', G'K)=P(NM,TK)=-1$. Mặt khác $K$ là tâm vị tự ngoài của $(I)$ và $(I')$ nên $G'$ là tâm vị tự trong. Do đó có đpcm
geogebra-export.png




#734577 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Đã gửi bởi DaiphongLT on 22-08-2022 - 21:30 trong Hình học

góp vui

Bài toán 6. Trên cạnh $\displaystyle AB$ của ngũ giác $\displaystyle ABCDE$ lấy điểm $\displaystyle F$ sao cho $\displaystyle \Delta ADE\sim \Delta ECF\sim \Delta DBC$. Chứng minh rằng $\displaystyle \frac{AF}{BF} =\frac{EF^{2}}{CF^{2}}$.

Gọi $K$ là giao điểm của $AD$ và $CF$, dễ thấy $K$ thuộc $(DEC)$, định nghĩa $L$ tương tự ta cũng có $L$ thuộc $(DEC)$ hay $D, E, K, L , C$ đồng viên
Ta có $\frac{AF}{BF}=\frac{sin \widehat{AKF}.KF}{sin \widehat{DAB}}.\frac{sin \widehat{DBA}}{sin \widehat{FLB}.FL}=\frac{DA}{DB}.\frac{DC}{DE}.\frac{EF}{CF}=\frac{EF}{FC}.\frac{EC}{CF}.\frac{EF}{CE}=\frac{EF^2}{CF^2}$




#734566 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Đã gửi bởi DaiphongLT on 22-08-2022 - 15:28 trong Hình học

 

$\textbf{Bài toán 32.}$ Cho $\Delta ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $AO$ cắt $EF$ tại $J$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. $JD$ cắt $HM$ tại $S$. 
a) Chứng minh rằng $OS$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta JDM$
b) Giả sử $(AJD)$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $K$. Gọi $I$ là điểm đối xứng với $A$ qua $(O)$, $G$ là giao điểm thứ hai của $(ADJ)$ và $(AEF)$. Chứng minh rằng $GI$ và $HK$ cắt nhau tại một điểm trên $EF$.
c) Gọi $N$ là giao điểm của đường trung bình đối diện cạnh $BC$ của $\Delta ABC$ với $AD$. $ON$ cắt $(ODM)$ tại điểm thứ hai $P$. Dựng hình bình hành $DMQP$. Chứng minh rằng $Q$ thuộc đường tròn Euler của $\Delta ABC$.

 

$a)$, Gọi $L, T$ là giao điểm của $EF$ với $BC, HM$. $K$ trung điểm $EF$. Ta có $HK//DJ$ nên $\widehat{TJD}=\widehat{TKH}=\widehat{HMD}$ nên $TJMD$ nội tiếp. Do đó biến đổi góc đơn giản ta được $OL$ vuông góc $TD$. Gọi $X$ là giao 2 tiếp tuyến tại $B, C$ của $(O)$ thì ta được $T, D, X$ thẳng hàng. Kẻ tiếp tuyến $LX, LY$ tới $(O)$, vì $(LD, BC)=-1$ nên $X, D, Y$ thẳng hàng. Mặt khác $L, Z, J, O, M, Y$ đồng viên (đường tròn đường kính $OL$) nên nếu gọi $G$ là giao điểm của $TD$ và $JM$ thì ta có được $GY.GZ=GM.GJ$ hay $G$ nằm trên trục đẳng phương của $(JDM)$ và $(O)$, mặt khác $LD.LM=LB.LC$ nên $L$ thuộc trục đẳng phương của $(JDM)$ và $(O)$. Vì vậy $LG$ là trục đẳng phương của $(JDM)$ và $(O)$, gọi $W$ là tâm $(JDM)$ thì ta có $OW$ vuông $LG$, mặt khác $WS$ vuông $LG$ (Brocard) nên $O, W, S$ thẳng hàng.
geogebra1-export.png

$b)$ Gọi $HM$ cắt $EF$ tại $T$, dễ thấy $A, T, K$ thẳng hàng, gọi $GI$ cắt $EF$ tại $S$, $AS$ cắt $(JMS)$ tại $U$, ta sẽ chứng minh $T, S, U, D$ đồng viên. Phần này đơn giản là chỉ biến đổi góc, sau đó sử dụng phép nghịch đảo cực $A$ phương tích $AH.AD$ là được

$c)$ Gọi $I, J, K$ trung điểm $PM, DA, AH$. Ta có $\Delta PDM\sim \Delta DGO (g-g)$ hay $\Delta PDI \sim \Delta DGJ (c-g-c)$. Do đó $\widehat{DQM}=\widehat{PDI}=\widehat{DGJ}=\widehat{MKD}$ nên có đpcm 
geogebra-export (1).png




#734546 Chứng minh đường tròn Euler của các tam giác $IBC,ICA, IAB$ đồng qu...

Đã gửi bởi DaiphongLT on 21-08-2022 - 02:29 trong Hình học

 

Cho tam giác $ABC$ có $l$ là tâm nội tiếp và $Fe$ là điểm Feuerbach của đường tròn nội tiếp và đường tròn Euler tam giác $ABC$. Chứng minh đường tròn Euler của các tam giác $IBC,ICA, IAB$ đồng quy tại điểm $Fe$.

 

Gợi ý: - Gọi $(I)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$, $M$ trung điểm $BC$. Chứng minh $\Delta F_eDM\sim \Delta AIO$ 
           - Gọi $BI$ cắt $EF$ tại $J$. Tính $\widehat{DJM}$ theo các góc của tam giác $ABC$ để chỉ ra $\widehat{DJM}=\widehat{IAO}$. Từ đó có được đpcm