Em nhập biểu thức 41^{42}^{43} thì màn hình báo lỗi invalid equation là sao 

là sai về mặt cấu trúc  
gõ như này nhé 41^{42^{43}}

Bài 5:

Với $6$ điểm không tồn tại $3$ điểm thẳng hàng, ta luôn có thể tạo thành tam giác từ $3$ điểm bất kì.

Xét số điểm xanh là $3+k$ và số điểm đỏ là $3-k$ (với $k\in [-3;3]$ )

Với $k=0$ và $k\in [-3;3]$ thì ta luôn có $2$ tam giác đơn sắc khác màu.

Với $k\neq 0$ và $k\in [-3;3]$ thì ta luôn có một màu có số điểm $\geq 4$, điều này đồng nghĩa có nhiều hơn $2$ tam giác đơn sắc cùng màu.

Vậy số tam giác đơn sắc ít nhất được tạo thành bởi giả thiết bài toán là $2$.

Hình như bạn bị nhầm đề vì trong đề là tô màu cạnh chứ không phải điểm nên không thể chỉ ra có $\geq 4$ điểm đỏ-xanh là có 2 tam giác đâu nhé

Gọi $K,L$ lần lượt là giao điểm của $AH', GH'$ lên $XY$ 

Kẻ hình chữ nhật $AHMG$, lại có $AM=GH=GH'$ nên $AMH'G$ là hình bình hành. 

Ta có $\widehat{AXM}+\widehat{BAC}=\widehat{BPM}+\widehat{PBM}=90^{\circ}$

Suy ra $XM \perp AY$. Tương tự có $YM\perp AY$ nên $M$ là trực tâm của $\triangle AXY$

Sử dụng bổ đề (như trong hình) ta có $H'$ là trực tâm của $\triangle GXY$

Ta có $\widehat{EPF} = \widehat{H'PM}+\widehat{H'PF} = \widehat{H'XF}+\widehat{H'YE}=(\widehat{XH'L}-\widehat{XAL})+(\widehat{YH'L}-\widehat{YAL})$

$=\widehat{XH'Y}-\widehat{BAC}=\widehat{XH'K}+\widehat{YH'K}-\widehat{BAC}=90^{\circ}-\widehat{XGK}+90^{\circ}-\widehat{YGK}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{BAC}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-2\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{BOC}=\widehat{BPC}$

Do đó $\widehat{EPB}=\widehat{FPC}$

Bài 2:

a) Ta có $P$ là tâm vị tự biến $(K)$ thành $(O)$

Ta lại thấy $AP$ cắt $(K)$ tại $D$ nên $D$ là ảnh của $A$ qua phép vị tự tâm $P$ 

Suy ra $OA//KD$ nên tiếp tuyến tại $A$ và $D$ của $(O)$ và $(K)$ song song nhau. 

b) Ta có 2 bổ đề sau: 

Bổ đề 1: $PE,PF$ đi qua $X,Y$

Bổ đề 2: $IPBF$ và $IPCE$ nội tiếp

(Tự chứng minh vì nó là tính chất của đường tròn Mixtilinear)

Ta có $\stackrel\frown{AX}=\stackrel\frown{CX} \Rightarrow \stackrel\frown{AX}+\stackrel\frown{CP}=\stackrel\frown{PX}\Rightarrow \widehat{PEC}=\widehat{PBX}$

Từ đó ta được $\widehat{YAZ}=\widehat{PFE}=\widehat{PBX}=\widehat{PEC}=\widehat{AEX}=\widehat{AZX} \Rightarrow XZ//AY$

Tương tự thì $YZ//AX$ nên $AXZY$ là hình bình hành. Do đó $AZ$ đi qua trung điểm $XY$. 

Bài 6. Tìm tất cả các hàm số $\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn $( n-1)^{2} < f( n) f( f( n)) < n^{2} +n,\forall n\in \mathbb{Z}^{+}$

Sắp tới kì thi VMO rồi nên cũng không on mấy đâu hehe 

Giả sử $f(n)>n$, hay $f(n)\geq n+1$ suy ra $f(f(n))(n+1)\leq f(f(n))f(n)\leq n(n+1)\Rightarrow f(f(n))\leq n<f(n) \Rightarrow f(f(n))<f(n)$ (vô lí vì $f(f(n))>f(n)$)

Giả sử $f(n)<n$, hay $f(n)\leq n-1$ suy ra $f(f(n))(n-1) \geq f(f(n))f(n) \geq (n-1)^2 \Rightarrow f(f(n))\geq n>f(n)\Rightarrow f(f(n))>f(n)$ (vô lí vì $f(f(n))<f(n)$)

Suy ra $f(n)=n, \forall n\in\mathbb Z^+$.

TXĐ: $x\leq \sin C$ và $x\geq \sin A$

Viết đạo hàm ra thì thấy hàm đồng biến trên tập xác định của $x$. 

Lập bảng biến thiên thì ta thấy là trong khoảng $(-\infty , \sin C]$ thì hàm số chạy từ $1$ đến $+\infty$, còn trong khoảng $[\sin A, +\infty)$ thì hàm chạy từ $f(\sin A)$ đến $1$ nên ta có thể kết luận là \[f(x) \ge f(\sin A) = \sqrt {\frac{{\sin A - \sin B}}{{\sin A - \sin C}}}  - 1\]

Cái này còn 1 hàm $f(x)=-x-2$ nữa anh ơi  

à thì tại anh lười tính á chứ nếu tính lại thì sẽ có hàm đó thôi  . Cái chính vẫn là đưa ra hàm tuyến tính. 

Bài 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f(x+f(y)+xf(y))=x+xy+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Thay $y=0$ thì $f(x+f(0))=x$ suy ra $f$ là hàm toàn ánh

Do đó tồn tại $c\in\mathbb R$ sao cho $f(c)=0$

Thay $y=c$ ta được $f(x)=(c+1)x+c$, hay $f(x)=\alpha x+\beta$ với $\alpha , \beta$ là 2 hằng số bất kì.

Thay vào tìm được $\alpha =1$, $\beta = 1$ suy ra $f(x)=x, \forall x\in\mathbb R$, thỏa mãn phương trình hàm đề bài.

Thêm vài bài mừng 200 posts :v

Giả sử tồn tại hàm $xf(x+y)+yf(y-x)=f^2(x)+f^2(y)$ $<1>$

Gọi $(x,y)$ là phép thế $x,y$ vào hàm $<1>$

Ta có: 

$(0,0)\Rightarrow f(0)=0$

$(y,y)\Rightarrow yf(2y)=2f^2(y)$ @1

$(-y,y)\Rightarrow yf(2y)=f^2(-y)+f^2(y)$ @2

$(0,y)\Rightarrow yf(y)=f^2(y)$ @3

$(0,-y)\Rightarrow -yf(-y)=f^2(-y)$ @4

Từ (@1),(@2),(@3),(@4) $\Rightarrow yf(-y)=-yf(y)$

$\Rightarrow f(-y)=-f(y)\forall y\neq 0$

mà $f(0)=0$ $\Rightarrow f(-y)=-f(y),\forall y\in \mathbb{R}$

$(x,-y) \Rightarrow -xf(y-x)-yf(x+y)=f^2(x)+f^2(-y)$ @5

Lấy $<1>$ - @5 vế theo vế, ta được:

$(x+y)(f(y-x)+f(x+y))=2f^2(y)$ @6

Thay x=y vào @6, ta được:

$yf(2y)=f^2(y)$ @7

@1 kết hợp với @7 

$\Rightarrow f(y)=0$

Thử lại thấy thỏa mãn, vậy đây là hàm cần tìm

(Cách này ra chỉ 1 TH  )

Thay $y$ bởi $x$ vào (6) của ban được cái y hệt như cái (1) nên không rút gọn được

Nhưng em tưởng phương trình sai phân thuần nhất ms làm đc vậy ạ?

Ta có $U_{n+2}=5U_{n+1}-6U_{n}-2$

$U_{n+3}=5U_{n+2}-6U{n+1}-2$

$\rightarrow$$U_{n+3}-6U_{n+2}+11U_{n+1}-6U_{n}=0$ có nghiệm 1;2;3.

$\rightarrow$ $u_{n}=A.2^{n}+B.3^{n}+C$

À dị là em nhầm rồi vì của anh là phương trình tuyến sai phân cấp 2, còn của em là cấp 3 mất rồi :Đ. Anh cx sửa lại tí là cái hàm phụ $v_n=u_n-2$ mới được giải theo như trên.

Xét phương trình đặc trưng $\lambda ^2-5\lambda +6=0$ suy ra có 2 nghiệm $\lambda=2$ và $\lambda =3$

Suy ra $u_n=A.2^n+B.3^n$

Bạn cần có thêm dữ kiện $u_0, u_1$ chẳng hạn để tìm $A,B$, từ đó mới lập được CTTQ hoàn chỉnh.

Những bài tiếp theo: 

$\boxed{23}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R^{\geq 0} \to\mathbb R^{\geq 0}$ thỏa mãn $f(xf(y))+f(f(y)) = f(x)f(y)+2, \forall x,y \in\mathbb R^{\geq 0}$

$\boxed{24}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(xy)=f(\frac{x^2+y^2}{2})+(x-y)^2, \forall x,y\in\mathbb R$

$\boxed{25}$ Tìm tất cả hàm liên tục $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(\sqrt{x^2+y^2})= f(x)+ f(y), \forall x,y\in\mathbb R$

Bài 10: [IMO 1966] Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác, còn $\alpha, \beta, \gamma$ tương ứng là ba góc đối diện với ba cạnh trên. Chứng minh rằng, nếu $a+b=tan(\frac{\gamma}{2})(a*tan(\alpha)+b*tan(\beta))$, thì tam giác đang xét là tam giác cân.

Xét tam giác $\triangle ABC$, $a=BC, b=AC, c=AB$ và giả sử $a\geq b$. Dễ thấy $f(x)=\tan x$ đồng biến trên $(0,\pi)$ nên theo bất đẳng thức Chebyshev ta có $2(a+b)= 2\tan {\frac{C}{2}}(a\tan A +b\tan B)\ge \tan {\frac{C}{2}}(a+b)(\tan A+\tan B) \Rightarrow \tan {\frac{C}{2}}(\tan A+\tan B) \leq 2 \Rightarrow \tan {\frac{C}{2}} (\sin A \cos B + \sin B \cos A) \leq 2\cos A\cos B \Rightarrow \tan {\frac{C}{2}} \sin{(A+B)} \leq \cos{(A+B)} +\cos{(A-B)} \Rightarrow cos(A-B)-\cos C\ge 2(\sin\frac{C}{2})^2 \Rightarrow cos(A-B)\geq 2(\sin\frac{C}{2})^2 + \cos C = 1$

Suy ra $\cos{(A-B)}=1\Rightarrow A-B=0 \Rightarrow A=B$

Do đó tam giác $ABC$ cân tại A

Một số bài tiếp theo 

$\boxed{19}$ Tìm tất cả hàm liên tục $f,g,h:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa $$f(x+y)=g(x)+h(y), \forall x,y\in\mathbb R$$

$\boxed{20}$ Tìm tất cả hàm liên tục $f:\mathbb R\to \mathbb R$ thỏa $$f(x+y)+f(x-y) = 2(f(x)+f(y)), \forall x,y\in\mathbb R$$

$\boxed{21}$ Tìm tất cả hàm liên tục tại 0 thỏa $$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y), \forall x,y\in\mathbb R$$

$\boxed{22}$ Tìm tất cả hàm $f:\mathbb R^+ \to\mathbb R^+$ là $f$ là ánh xạ biến cấp số cộng $x$, $x+y$, $x+2y$ thành cấp số nhân $f(x)$, $f(x+y)$, $f(x+2y)$ và thỏa mãn $$f(x+y)^2=f(x)f(x+2y), \forall x,y\in\mathbb R^+$$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $(a^{2}-a+1)(b^{2}-b+1)(c^{2}-c+1)=1$. Chứng minh rằng $(a^{2}+ab+b^{2})(b^{2}+bc+c^{2})(c^{2}+ca+ba^{2})\leq27$

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp delta rằng $(a^2+ab+b^2)\leq 3(a^2-a+1)(b^2-b+1)$. Tương tự cho $b^2+bc+c^2, c^2+ca+a^2$, nhân vế theo vế và ta có đpcm.

Bài 8: [IMO 1987] Chứng minh rằng không tồn tại hàm $f$ nào từ tập hợp các số nguyên không âm vào chính nó thoả mãn $f(f(n))=n+1987$ với mọi $n$.

Gợi ý: Cho $A=f(\mathbb N)\cup[1,1987]$ và $B=(\mathbb N\cup[1,1987])\setminus A$. Chứng minh $|A| = |B|$

$$f^{2}\left ( x \right )\text{
vs }\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=f\left ( x \right )^{2}
$$
Như mình được học lóm thì:
$f^{2}\left ( x \right )=\left ( f\circ f \right )\left ( x \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )$
trong khi đó :
$f\left ( x \right )^{2}=\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=f\left ( x \right )\cdot f\left ( x \right )$
Thí dụ :
Nếu $f\left ( x \right )=2x$ thi :
$f^{2}\left ( x \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )=2\cdot 2x=4x$ và :
$f\left ( x \right )^{2}=\left ( f\left ( x \right ) \right )^{2}=f\left ( x \right )\cdot f\left ( x \right )=2x\cdot 2x=4x^{2}$

Thực ra tùy nguồn thôi: 

Ở Việt Nam, phần lớn file hồi xưa coi $f^2(x)=[f(x)]^2=f(x)f(x)$ còn $f(f(x))$ được giữ nguyên, cũng vì khá là ít bài liên qua đến hàm hợp bậc cao.

Còn ở nước ngoài, họ chế phần lớn những bài về hàm nên họ có thống nhất khá là chung là $f^n(x)=f(f^{n-1}(x))$ còn $f(x)^2=[f(x)]^2=f(x)f(x)$

Tìm các đa thức P(x) thỏa mãn đk:

$P(x)P(y)=P^2(\frac{x+y}{2})-P^2(\frac{x-y}{2})$

với mọi x,y$\epsilon R$

P.S: cho mik hỏi $P^2(x)$ với $(P(x))^2$ có giống nhau ko v

Với đa thức hằng thì $P(x)=0$ thỏa

Với đa thức không hằng, đặt $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$

Gọi $n=deg P(x), n\geq 1$

Xét số hạng của bậc lớn nhất thì ta thấy $VT=a_n^2x^ny^n$, $VP=a_n^2(\frac{x+y}{2})^{2n}-a_n^2(\frac{x-y}{2})^{2n}$

Đồng nhất hệ số ta được $x^ny^n=\frac{1}{2^{2n}} xy(C_{2n}^1 x^{2n-2}+C_{2n}^3 x^{2n-4}y^2+...+C_{2n}^{2n-3} x^2y^{2n-4}+ C_{2n}^{2n-1} y^{2n-2})$

Dễ dàng thấy chỉ có $n=1$ thỏa do đó $P(x)=ax$

Thay lại vào phương trình đa thức thì $a=2$, do đó $P(x)=2x$.

Bài 2: [IMO 2002] Hãy xác định tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho: $(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$ với mọi $x,y,z,t\in \mathbb{R}$

Hướng làm: Mình cần nhẩm được nghiệm không hằng cho bài này để tiện hơn cho việc suy nghĩ bước đi tiếp theo. Nhìn vào phương trình hàm đề bài ta nghĩ ngay đến đẳng thức Cauchy-Scwarz: $(x^2+z^2)(y^2+t^2)=(xy-zt)^2+(xt+yz)^2$. Do đó mình suy ra được luôn hàm $f(x)=x^2$ là một hàm không hằng thỏa, còn sau đó có hàm không hằng nào đó thỏa nữa thì tùy hướng đi của mỗi người. Còn hàm hằng thì hiễn nhiên mọi người sẽ tìm được là $f(x)=0$ và $f(x)=\frac 12$

Cho $x=y=z=t=0$ thì $4f(0)^2=2f(0) \Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(0)=\frac 12$

+) Với $f(0)=\frac 12$ thì cho $y=z=0$ và thay $t$ bởi $x$ ta được $[f(x)+\frac 12]^2=1$ thì được 2 hàm $f(x)=\frac{1}{2}$ (thỏa) và $f(x)=-\frac{3}{2}$ (loại)

+) Với $f(0)=0$ : 

Ta để ý rằng nếu cho $x=t=0$ thì $f(y)f(z)=f(yz)$ (*) là một hàm nhân tính. Dễ dàng thấy thêm hàm hằng $f(x) =0, \forall x\in\mathbb R$ thỏa. Ta xét đến các hàm khác hằng. Nhìn vào hàm không hằng thỏa ta đã thử thì ta phải giải luôn phương trình hàm nhân tính ấy. Tuy nhiên nếu giải thẳng ra trên $\Bbb R\rightarrow \Bbb R$ luôn thì hàm ra được sẽ rất phức tạp cho việc thử lại. Do đó để khả thi hơn thì ta sẽ giải trên $\mathbb R^+\rightarrow \mathbb R^+$.

Muốn giải được hàm nhân tính thì ta phải có điều kiện $f$ là hàm tăng với mọi số thực dương (vì cách đặt ra hàm Cauchy cần ít nhất điều kiện yếu để được hàm tuyến tính)

Ta thấy khi $f(x)\geq 0$ với mọi $x\geq 0$ từ hàm nhân tính, ta sẽ coi $x,y$ là các số thực dương. Nếu thay $z$ bởi $y$ và $t$ bởi $x$ thì ta được $f(x^2+y^2) = [f(x) + f(y)]^2$ (**) $\geq f(x)^2=f(x)f(x)=f(x^2)$. Do đó $f$ là hàm tăng với mọi số thực dương $x,y$.

Do đó đặt $g(x)=\ln(f(e^x))$ thì ta sẽ được $g(x+y)=g(x)+g(y)$ là hàm tăng với mọi $x,y$ thực dương. Vì $g$ là hàm tăng nên $g$ tuyến tính do đó $g(x)=cx$ suy ra $f(x)=x^a$ với mọi $x$ thực dương, $a$ là hằng số bất kì.

Thay vào thì được $f(x)=x^2$, $\forall x\in\mathbb R^+$ 

Ta chỉ cần chứng minh thêm hàm chẵn thì sẽ ra được $f(x)=x^2, \forall x\in\mathbb R$

Thật vậy ta có thể dễ dàng chứng minh được bằng cách cho $x=y=0$ thì $f(z)f(t)=f(-zt)$ so với hàm nhân tính thì $f(xy)=f(-xy)$ suy ra hàm chẵn.

Như vậy kết luận các hàm thỏa là $f(x)=0$, $f(x)=\frac 12$, $f(x)=x^2$, $\forall x\in\mathbb R$.

P/s: Có một hướng khác cho việc đặt hàm phụ là đặt $f(x)=g(x)^2$ và khi thay vào (*) và (**) thì được tương ứng là $g(xy)=g(x)g(y)$ và $g(x+y)=g(x)+g(y)$. Đây là một bài phương trình hàm phụ rất quen thuộc mà mình muốn mọi người tự suy nghĩ để hoàn thiện nó. Phần còn lại giống hết bước kia.   

$M,N$ là điểm gì vậy bạn?

Chỉ cần bạn nắm được là vì là đa thức hệ số nguyên nên từ $P(1+\sqrt 2)=0$ thì $P(-1)=0$ thì do đó $P(1-\sqrt 2)=0$

Xin lỗi, anh quên đọc điều kiện. Nhưng kết luận của em là sai rồi. Định nghĩa của hội tụ không yêu cầu $n \ge 1$ gì cả. Chỉ cần là với mọi $\varepsilon > 0$, thì từ một chỉ số $N$ nào đó $|x_n - L| \le \varepsilon$.

Dạ tại em chưa có quen trường hợp đó nên lúc đó thằng $a_1$ em chỉ nghĩ là nó lớn hơn lim nên em làm vậy chứ định nghĩa em chưa để ý 

Thầy chủ nhiệm em đi ra đề đó anh 

Thế làm đc không em? :') 

Dãy $(a_n)$ tăng thì sao mà $a_2 \le \frac{1}{3}$ trong khi $a_2 \ge a_1 = \frac{5}{3}$ ?

Dạ em có ghi tăng với mọi $n\geq 2$ á anh.