Tìm tất cả hàm số: f: R→R  liên tục trên R thỏa mãn: f(x×y) = f(x)×f(y) ∀x,y∈R

Tìm hàm f: R^* -> R thỏa f(x.y) = f(x) +f(y) V x,y C R^*

Giải 

Đặt f(x) = ln|g(x)| Ta có : f(x.y) = ln|g(x.y)| ;  f(x) +f(y) = ln|g(x)| + ln|g(y)| = ln|g(x).g(y)|

f(x.y) = f(x) +f(y)  <=>  ln|g(x.y)| = ln|g(x).g(y)|   <=> g(x.y) = g(x).g(y) -> g(x) = |x|^c (c là hằng)

Từ đó: f(x) = ln|x|^c = c.ln|x| = log_a|x| với a = e^(1/c)  (a là hằng số)

Vậy hàm số thõa mãn f(x.y) = f(x) +f(y) V x,y C R^* là f(x) = log_a|x| (với a là hằng số bât kì  và 0 < a   /  1) 

 

Các bạn xem thêm g(x.y) = g(x).g(y) tại đây

Tìm tất cả hàm số: f: R* →R  liên tục trên R^* thỏa mãn: 

 

$f(x\times y)=f(x)+f(y) \forall x,y \in R^{*}$

 

Tìm tất cả hàm số: f: R* →R  liên tục trên R^* thỏa mãn: f(x×y) = f(x) + f(y)   ∀x,y∈ R*

Mình biết một hàm số thõa yêu cầu của đề bài là f(x) = $\mid x\mid ^{\alpha }$ với $(\alpha > 0)$. Khi đó ta có:

f(x.y) = $\mid x.y\mid ^{\alpha }=\mid x\mid ^{\alpha }.\mid y\mid ^{\alpha }$ =f(x).f(y) . Không biết có bạn nào đưa ra được lời giải cho bài toán này không ?

Tìm tất cả hàm số: f: R→R  liên tục trên R thỏa mãn: f(x×y) = f(x)×f(y) ∀x,y∈R

 

 

mình không biết giải nhưng mình biết một hàm số thõa mãn đề bài của bạn là f(x) = $a^{x}$. (0 <a ) Khi đó

$f(x+y)=a^{x+y}=a^{x}a^{y}=f(x)\times f(y)$

Hy vong bạn nào đó đưa ra được lời giải.

Lâu rồi mình đăng lên chưa ai giải, bây giừo hết hạn cấm post mình mới vô được mình xin giải bài này nhé:

 

4x -10y = 15xy -3   <=>  3(4x - 10y) = 3(15xy - 3)   <=>   12x - 30y = 45xy - 9  <=>  45xy - 9 - 12x + 30y = 0

<=>  45xy + 30y - 12x - 8 - 1 = 0   <=>   45xy + 30y - 12x - 8 = 1  <=>   (3x+2)15y-(3x+2)4 = 1

<=>   (3x + 2)(15y - 4) = 1   ->   15y - 4 C Ư(1)    ->   15y - 4 = + 1  <=>  y = 1/3 hoặc  y = 1/5 

với nghiệm y = 1/3 ta loại do y C Z , tương tự y = 1/5 ta cũng loại vì y  C Z. 

Vậy phuong trình Đi-ô-phăng 4x -10y = 15xy -3 không thể có nghiệm nguyên.

cmr pt Đi-ô-phăng :

 

4x - 10y = 15xy - 3

 

không có nghiệm với x,y là các số nguyên

Giưới thiệu các bạn cách 2 nhé:

Ap dụng BĐT Cô-si cho 5 số dương ta có: a⁵ + a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ >  5a²bcd

T/tự :                    b⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ + a⁵ >  5b²cda

                            c⁵ + c⁵ + d⁵ + a⁵ + b⁵ >  5c²dab

                             d⁵ + d⁵ + a⁵ + b⁵ + c⁵ >  5d²abc

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên được:

  5(a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵) >  5abcd(a+b+c+d) <=> a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ >  abcd(a+b+c+d)

<=> (a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵)/(a+b+c+d) > abcd (đpcm)

dấu đẳng thức xảy ra khi a⁵ = b⁵ = c⁵ = d⁵

<=>  a = b = c = d

Cho a,b,c > 0. Chứng minh bất đẳng thức :

 

$\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$

 

dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi  a = b =c

 

 

Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh bất đẳng thưc sau:

 

$\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}}{a+b+c+d}\geqslant abcd$

 

Dấu "=" xảy ra  <=>  a = b = c = d

cmr pt Đi-ô-phăng: x³ = 5(6y - x + 1)  không có nghiệm nguyên  

cmr pt Đi-ô-phăng :    4x⁴ = 5y³ + 6   không có nghiệm nguyên

 

 

Giải

 

x² + y³ = x⁵   <->  y³ = x⁵-x² = x²(x³-1) Vì (x³, x³-1) = (x³​, x³-(x³-1)) = (x³​, 1) = 1  -> (x³, x³-1) = 1  -> (x², x³-1) = 1

Từ y³  = x²(x³-1) mà (x², x³-1) = 1 suy ra x² = m³, x³-1 = n³ 

Khi x³-1 = n³ ta có x³-1 = n³  <=> x³= n³ + 1 mà n³ < n³ + 1 < (n + 1)³  -> n³ < x³ < (n + 1)³  -> n < x < n +1  ->  x = n + 1 dấu '=' khi n³ + 1 = (n + 1)³ <-> n³ + 1 = n³ + 3n² + 3n + 1  <->  3n² + 3n = 0  <->  3n(n + 1) = 0  <-> n = 0 hoặc n = -1 

Với n = 0  -> x = n + 1 = 0 + 1 = 1  -> y³ = x²(x³-1) = 1²(1³-1) = 0 -> y = 0

Với n = -1  -> x = n + 1 = -1 + 1 = 0  -> y³ = x²(x³-1) = 0²(0³-1) = 0  ->  y = 0

Vậy pt Đioophang chỉ có hai nghiệm nguyên đó là: (1;0) và (0;0)

Bạn chỉ đúng rồi bạn à. Mình bị nhầm đề đã fix lại rồi nhé

Cmr phương trình Đi-ô-phăng :

 

$x^{2}+y^{3}=x^{5}$

 

chỉ có 2 nghiệm nguyên  x  = 0 ; y = 0 và x =1 ; y = 0

Cmr pt Đi-ô-phăng:

 

$x^{4}+4x=y^{2}$

 

có nghiệm nguyên duy nhất  x = y = 0

Giưới thiệu thêm cách khác nhé các bạn:

x² + y = xy² <-> x² = xy²-y = y(xy-1)

-> x³ = xy(xy-1) do (xy,xy-1) = (xy, xy-(xy-1)) = (xy,1) = 1 nên x³ = xy(xy-1) 

<-> xy = m³ , xy - 1 = n³ -> n³ + 1 = m³ mà n³ < n³ + 1 < (n+1)³ -> n³ < m³ < (n+1)³ -> m = n+1 dấu "=" khi n³ + 1 = (n +1)³ <-> 3n² + 3n = 0 <-> n = 0 hoặc n = -1

Với n = 0 -> m = 1 -> x³ = m³n³ = 0 -> x = 0 thay vào ta pt có: 0² + y = 0.y² = 0 -> y = 0 

Với n = -1 -> m = 0 -> x³ = m³n³ = 0 -> x = 0 tương tự trên ta có y = 0 

Vậy pt Đi-ô-phăng có duy nhất nghiệm x =y = 0

Bạn nhầm rồi bài này không phải tổng bằng tích đâu bạn ơi bạn xem kĩ lại đề đi nếu tổng bằng tích thì dễ rồi x+y =xy kéo theo (x-1)(y-1)=1 kéo theo x=y =0 hoặc x = y =2

Cmr pt đi-ô-phăng:

 

$x^{2}+y=xy^{2}$

 

có nghiệm nguyên duy nhất x = y = 0

Chứng minh rằng pt Đi-ô-phăng:

 

$x^{2}y^{2}+x+y=0$

 

có một nghiệm nguyên duy nhât x = y = 0

Chứng minh rằng pt Đi-ô-phăng:

 

$x^{3}-xy^{2}+y^{3}=0$

 

có nghiệm nguyên duy nhất x = y = 0

Chứng minh BĐT Nesbit cho 5 biến:

Cho a,b,c,d,e > 0. Chứng minh:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\geqslant\frac{5}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c = d = e

Bài toán : Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA. Đoạn thẳng AN cắt BP,DM lần lượt tại T và S. Đoạn thẳng CQ cắt BP,DM lần lượt tại H và K. Chứng minh rằng:

S_STHK = S_AMS + S_BNT + S_CPH + S_DQK

(S ₉ = S ₁+ S ₃ + S ₅  +S ₇ ) (Như hình vẽ bên)