Từ $9$ chữ số  $\{ 1; 2 ; 3;...; 9 \}$ liệu có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $15$ chữ số thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây:

- $2$ chữ số $1$ và $2$ mỗi chữ số xuất hiện đúng $5$ lần.
- Các chữ số còn lại xuất hiện không quá $1$ lần.
- Các chữ số lớn hơn $2$ không có $2$ số nào đứng cạnh nhau.

Welcome back.
Lúc này không post các bài functional equations nữa hả anh?
======
Xếp các chữ số 1 và 2: $\frac{10!}{5!5!}$
Chọn 5 chữ số còn lại và xếp chúng vào 11 khoảng trống : $C_7^5\cdot A_{11}^5$
Số các số thỏa yêu cầu là :
$\frac{10!}{5!5!}\cdot C_7^5\cdot A_{11}^5=293388480$

1/ Áp dụng nguyên lý bù trừ :
$$\begin {align*}
2^{C_6^2}-C_6^1\cdot 2^{C_5^2}+C_6^2\cdot 2^{C_4^2}-C_6^3\cdot 2^{C_3^2}\\+C_6^4\cdot 2^{C_2^2}-C_6^5\cdot 2^{C_1^2}+C_6^6\cdot 2^{C_0^2}\\
=
2^{15}-6\cdot 2^{10}+15\cdot 2^6-20\cdot 2^3\\+15\cdot 2^1-6\cdot 2^0+1\cdot 2^0=\boldsymbol {27449}
\end{align*}$$

1/ Một xã ở vùng quê có 6 thôn. Chính quyền địa phương muổn xây dựng 1 hệ thống đường giao thông 2 chiều  nối 6 thôn này. Hỏi có bao nhiêu cách xây dựng hệ thống đường sá trên sao cho không có thôn nào bị cô lập.
2/ Gieo cặp xúc xắc khác nhau ( một xanh, một đỏ) 6 lần, biết rằng các cặp số không xuất hiện là: (1,2),(2,1),(2,5),(3,4), (4,1), (4,5) và (6,6). Hỏi xác suất sau 6 lần gieo mà mỗi xúc xắc xuất hiện đầy đủ các mặt của chúng. Thí dụ :(1,1),(2,3),(4,4),(3,2),(5,6),(6,5) là một kết quả thỏa mãn.

Ở phần nguyên lý bù trừ tại sao phải cộng 3 vậy ạ!!

Số các số 5 chữ số không có ràng buộc gì :$3^5$
Số các số 5 chữ số lập từ nhiều nhất 2 chữ số đã cho : $C_3^1\cdot 2^5$
Số các số 5 chữ số  lập từ nhiều nhất 1 chữ số đã cho : $C_3^2\cdot1^5$
Theo nguyên lý bù trừ, số các số thỏa yêu cầu là :
$3^5-C_3^1\cdot 2^5+C_3^2\cdot1^5=150$

Có 6 chiếc ghế được xếp thành 1 hàng ngang. Số cách xếp 6 học sinh gồm 3 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C ngồi vào hàng ghế sao cho mỗi học sinh ngồi 1 ghế và học sinh lớp C không ngồi cạnh học sinh lớp B là:

A. 120 B.720 C.144 D.216

You're right. The answer is E. None of these

Có bao nhiêu cách bỏ $k$ viên bi khác nhau vào $q$ hộp khác nhau sao cho có đúng $r$ hộp có đúng 1 viên bi tức là có đúng $r$ hộp có đúng 1 viên bi và $q-r$ hộp còn lại chứa ít nhất $2$ viên bi hoặc không có viên bi nào?

Wow, "super khủng"!

Ta có :
$$\begin{align*}
[x^n]&(1-x)^{-10}(1-x^{11})^{10}\\
&=[x^n]\sum_{k=0}^\infty\binom{k+9}{k}x^k\sum_{l=0}^{10}\binom{10}{l}(-1)^lx^{11l}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{k+9}{k}[x^{n-k}]\sum_{l=0}^{10}\binom{10}{l}(-1)^lx^{11l}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n-k+9}{n-k}[x^{k}]\sum_{l=0}^{10}\binom{10}{l}(-1)^lx^{11l}\\
&=\sum_{k=0}^{\left\lfloor{n/11}\right\rfloor}\binom{n-11k+9}{n-11k}[x^{11k}]\sum_{l=0}^{10}\binom{10}{l}(-1)^lx^{11l}\\
&=\sum_{k=0}^{\min\{\left\lfloor{n/11}\right\rfloor,10\}}\binom{n-11k+9}{n-11k}\binom{10}{k}(-1)^k\\
\end{align*}$$Do $\binom{s}{r}=0 $ nếu  $r>s$ nên biểu thức cuối có thể viết gọn lại:
$\boldsymbol {\sum_{k\geq0}\binom{n-11k+9}{n-11k}\binom{10}{k}(-1)^k}$
- Kết quả trùng khớp Thầy ạ.

Tính số nghiệm nguyên của :
$x_1+x_2+...+ x_9+x_{10}=n $
biết rằng $0\leq x_i\leq 10,\; n>0$

Sau một thời gian lên bờ xuống ruộng, xin trình bày lời giải của một học sinh có chỉ số IQ không cao, chính là em đây!
$$\begin {align}
[x^{3n-4}]&(1+x+x^2+x^4)^n=[x^{3n-4}]x^{3n}(x^{-3})^n(1+x+x^2+x^4)^n\\&=[x^{3n-4}]x^{3n}(x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x)^n\\
&=[x^{-4}](x^{-3}+x^{-2}+x^{-1}+x)^n\\
&=[y^4](y^3+y^2+y+y^{-1})^n\\
&=[y^4](y^{-1}+y+y^2+y^3)^n\\
&=[y^4]((y^{-1}+1+y+y^2+y^3)-1)^n\\
\displaystyle &=\sum_{q=2}^n (-1)^{n-q} \binom{n}{q}[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^q\\
&=\sum_{q=2}^n (-1)^{n-q} \binom{n}{q} [y^4]\dfrac{(1-y^5)^q}{y^q(1-y)^q}\\
\displaystyle &=[y^4]\sum_{q=2}^n \sum_{r=0}^q\sum_{s=0}^\infty
(-1)^{n-q+r}\binom{n}{q}\binom{q}{r}\binom{q-1+s}{q-1}y^{s+5r-q}\\
&\boldsymbol {\displaystyle =\sum_{q=2}^n \sum_{r=0}^q
(-1)^{n-q+r}\binom{n}{q}\binom{q}{r}\binom{3+2q-5r}{q-1}}\end{align} $$
Chú thích :
$(4): \text{Đặt $y=x^{-1}$}$
$(7): \text {do $[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^0=[y^4](y^{-1}+1+y+y^2+y^3)^1=0$}$
$(10): \text {do $ s=q-5r+4\ge 0$ }$
Thử vài giá trị $n$ :
$n=2:\, \displaystyle \sum_{r=0}^2
(-1)^{r}\binom{2}{r}\binom{7-5r}{1}=7-2\cdot 2=3$
$n=3:\,\displaystyle \sum_{q=2}^3 \sum_{r=0}^q
(-1)^{3-q+r}\binom{3}{q}\binom{q}{r}\binom{3+2q-5r}{q-1}$
$\displaystyle =\sum_{r=0}^3(-1)^{r}\binom{3}{r}\binom{9-5r}{2}
-3\sum_{r=0}^2 (-1)^{r}\binom{2}{r}\binom{7-5r}{1}$
$=(36-3\cdot 6)-3(7-2\cdot 2)=9$

$\newcommand{\fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
Bài này mình tình cờ đọc được trong một paper nào đó không nhớ rõ lắm. Trong đó họ ký hiệu $\|1,2,3,6;n\|$ để chỉ số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+2x_2+3x_3+6x_6=n$
Theo như công thức khủng bố trong đó thì mình tóm tắt lại thành:
$$ \|1,2,3,6;n\| = \fl{\dfrac{2n^3+36n^2+191n+8n(n+2\!\!\mod 4)-8n(n\!\!\mod 4)+9n(-1)^n+432}{432}}$$
Hay với $n\equiv 0\pmod 6$ thì
$$=\fl{\dfrac{(n+6)^3}{216}}$$
Và khi thay $n$ thành $6n$ thì ta có đáp án là $\mathbf{(n+1)^3}$

Nice result. You're truly amazing!

Help me, please!
Đã 3 ngày rùi không ai giúp mình cả .Thế thì cố gắng thui!
Theo đề bài ta có phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
x_1+2x_2+3x_3+6x_4 &=6n \\
x_i :\text { nguyên,không âm}&
\end{matrix}\right.$$ có hàm sinh là :
$$\begin {align*}
G(x)&=\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^6)}\\
&=\frac{(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x^2+x^4)(1+x^3)}{(1-x^6)^4}\\
\Rightarrow \left [ x^{6n} \right ]G(x)&=\left [ x^{6n} \right ]\left ( 1+4x^6+x^{12} \right )\sum_{k\geq 0}\binom{k+3}{3}x^{6k}\\
&=\boldsymbol {\binom{n+3}{3}\left [ \left [ n\geq 0 \right ] \right ]+4\binom{n+2}{3}\left [ \left [ n\geq 1 \right ] \right ]+\binom{n+1}{3}\left [ \left [ n\geq 2 \right ] \right ]}
\end {align*}$$Trong đó :
$$\left [ \left [ P \right ] \right ]=
\begin{cases}
1, &\text{nếu $P$ đúng;}\\
0, &\text{ngược lại.}
\end{cases}$$

Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau, không chứa số 0 và số 9 đồng thời chia hết cho 11 và 101.

Theo gợi ý của thầy Thanh ta có :
Qui tắc chia hết cho 1111: Nếu tổng của các nhóm 4 chữ số của số A chia hết cho 1111 thì số A chia hết cho 1111.
Như vậy, một số thỏa đề bài sẽ có 2 nhóm 4 chữ số và có tổng là $9999$.
Xét các cặp chữ số: $(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$:
Số hoán vị các cặp chữ số ở trong nhóm :$4!$
Số hoán vị 2 chữ số :$2^4$
Vậy số các số thỏa yêu cầu là :
$4!\cdot 2^4=\boldsymbol {384}$

Bài khó phết! Hic, cố gắng lắm thì chỉ thỏa điều kiện 1...

Và đây là một cách tiếp cận khác:
Ta xem mỗi dãy số tăng không nghiêm ngặt tương đương với một véc tơ ghi số lần xuất hiện các mặt của con xúc xắc. Chẳng hạn như dãy số $\left \{ 1,2,2,2,3,4,5,5,6,6 \right \}$ tương ứng với véc tơ $\left \langle 1,3,1,1,2,2 \right \rangle$. Sự tương ứng này là duy nhất, hay nói cách khác, ánh xạ từ tập các dãy số đến tập các véc tơ là song ánh. Do đó, kết quả bài toán đã cho cũng chính là số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+...+x_6=10$ và bằng $\boldsymbol {C_{15}^5=3003}$.

Bài này thầy mình giao cho, có vẻ như là sử dụng phương pháp đếm theo hai cách mà mình chưa biết đếm sao để ép n lên ấy. Với lại chắc có 10 màu nên thầy mình mới ghi vậy đó... Còn chia kẹo thì kinh điển rồi mà

- Bạn gì đó ơi, xin bạn vui lòng post bài giải của thầy để mọi người học hỏi nhé.
- Theo ý bạn nói thì mình hiểu là bạn đã nắm vững và thông thạo bài toán chia kẹo Euler. Vậy xin mời bạn hãy sử dụng kết quả bài toán chia kẹo Euler để giải bài toán này nhé :
https://diendantoanh...ng-nghiêm-ngặt/

Gieo 1 con xúc xắc 10 lần. Các số xuất hiện tạo thành dãy số, hỏi có bao nhiêu dãy số tăng không nghiêm ngặt?

Hiện giờ em chưa nghĩ ra cách nào gọn hơn, cho nên buộc phải sử dụng pp truyền thống casework thôi! (Không biết có mắc sai sót không nữa...):
Trong lời giải, sẽ sử dụng các chữ cái để biểu diễn các trường hợp xảy ra. Thí dụ : kết quả $ \left \{1,1,1,1,1,1 \right \} $ là 1 thí dụ của trường hợp $AAAAAA$ trong khi đó kết quả $ \left \{2,3,5,5,6,6 \right \} $ là 1 thí dụ của trường hợp $AABBCD$..vv.. Ta có :
$$\begin {matrix}
AAAAAA&\left (  \frac{6}{6^6}\right )  \cdot \left (\frac{1}{6^6}\right )  & =\frac{6}{6^{12}} \\
AAAAAB &\left (  \frac{6\cdot5\cdot C_{6}^{1}}{6^6}\right )  \cdot\left (  \frac{6}{6^6}\right )  & =\frac{1080}{6^{12}} \\
AAAABB &\left (  \frac{6\cdot5\cdot C_{6}^{2}}{6^6}\right ) \cdot\left ( \frac{C_{6}^{2}}{6^6}\right )  & =\frac{6750}{6^{12}}\\
AAAABC & \left ( \frac{6\cdot5\cdot 4\cdot (6\cdot5)}{6^6}\right ) \cdot\left ( \frac{C_{6}^{2}}{6^6}   \right )&=\frac{54000}{6^{12}} \\
AAABBB&\left (  \frac{C_ {6}^{2}\cdot C_{6}^{3}}{6^6}\right )  \cdot  \left ( \frac{C_ {6}^{3}}{6^6} \right ) &=\frac{6000}{6^{12}} \\
AAABBC &\left (  \frac{6\cdot5\cdot4\cdot C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{1}}{6^6}\right )  \cdot\left (\frac { C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{1}}{6^6}\right )  &=\frac{432000}{6^{12}} \\
AAABCD&\left ( \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot C_{6}^{3}}{6^6}\right ) \cdot\left ( \frac{6\cdot5\cdot4}{6^6} \right ) &=\frac{864000}{6^{12}} \\
AABBCC&\left (  \frac{6\cdot5\cdot4\cdot \frac {C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{2}}{3!}}{6^6}\right ) \cdot\left ( \frac {C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{2}}{6^6}\right )
&=\frac{162000}{6^{12}} \\

AABBCD &
\left ( \frac{6\cdot5\cdot4\cdot 3\cdot\frac {C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{2}\cdot C_{2}^{1}}{2\cdot2}}{6^6}\right ) \cdot\left ( \frac {C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{2}\cdot C_{2}^{1}}{6^6}\right ) &=\frac{2916000}{6^{12}}\\
AABCDE &
\left ( \frac{6\cdot5\cdot4\cdot 3\cdot2\cdot\frac {C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{1}\cdot C_{3}^{1}\cdot C_{2}^{1}}{4!}}{6^6}\right ) \cdot\left ( \frac {C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{1}\cdot
C_{3}^{1}\cdot C_{2}^{1}}{6^6}\right ) &=\frac{3888000}{6^{12}}  \\
ABCDEF&\left ( \frac {6!}{6^6}\right ) \cdot\left ( \frac {6!}{6^6}\right ) &=\frac {518400}{6^{12}}
\end{matrix}$$
Cộng tất cả các giá trị ở cột bên phải, ta được XS cần tìm là:
$$\frac{8848236}{6^{12}}=\boldsymbol {\frac {737353}{181398528}=0,0040648235...} $$
Ghi chú: Ở cột giữa, thừa số thử nhất là XS lần tung thứ nhất, thừa số thứ hai là XS lần tung thứ hai mà các mặt xúc xắc giống lần tung thứ nhất.

Tung 6 con xúc xắc 2 lần. Hỏi xác suất để các mặt của 6 con xúc xắc tung lần hai giống như khi tung lần thứ nhất? 

Lời giải không thỏa đáng lắm, nhưng cứ post lên :=).
Trước hết, để áp dụng vào bài toán, em xin trình bày sơ lược về hàm sinh moment (MGF):
Hàm sinh moment (MGF) của một biến ngẫu nhiên $X$ là giá trị kỳ vọng của hàm $e^{tX}$.
$$M_X(t)=E[e^{tX}]$$
Xét phép thử tung con xúc xắc m lần, gọi $X_i$ là số xuất hiện ở lần tung thứ i với $i=1,2,...,m$ thì hàm phân phối XS của mỗi $X_i$ là :
$f(x)=\left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{1}{6}&x=1,2,...,6 \\
0 & \text{ngược lại }
\end{matrix}\right.$
và có mgf là :
$$M_{X_i}(t)=E(e^{tX_i})=\frac{1}{6}\left ( e^t+e^{2t}+...+e^{6t} \right )   $$
Vì các biến ngẫu nhiên $X_1,X_2,...,X_m$ là độc lập nên mgf của tổng n là :
$$M_{n}(t)=E[e^{tX}]=E[e^{t(X_1+X_2+...+X_m)}]=\prod_{i=1}^{m}E[e^{tX_i}]= \prod_{i=1}^{m}\left [ \frac{1}{6}\left ( e^t+e^{2t}+...+e^{6t} \right ) \right ]=\boldsymbol {\frac{1}{6^m}\left ( e^t+e^{2t}+...+e^{6t} \right )^m}\text{      (1)} $$
Thử vài giá trị vào $(1)$:
$$\begin {align*}
m=3,\, n=12:\\
M_{12}(t)&=\frac {1}{216}\bigg ( e^{3t}+3e^{4t}+6e^{5t}+10e^{6t}+15e^{7t}\\&+21e^{8t}+ 25e^{9t}+27e^{10t}+27e^{11t}+\boldsymbol {25e^{12t}}\\&+21e^{13t}+15e^{14t}
+10e^{15t}+6e^{16t}+ 3e^{17t}+e^{18t} \bigg )
\end{align*}$$
$\Rightarrow $ XS là $\boldsymbol {\frac {25}{216}}$

$$\begin {align*}
  m=5,\, n=12:\\
M_{12}(t)&=\frac {1}{7776}\bigg (  e^{5t}+5e^{6t}+ 15e^{7t}+35e^{8t}+70e^{9t}+126e^{10t}\\
&+205e^{11t}+\boldsymbol {305e^{12t}}+420e^{13t}+540e^{14t}+651e^{15t}+735e^{16t}\\
&+ 780e^{17t}+780e^{18t}+ 735e^{19t}+651e^{20t}+ 540e^{21t}+420e^{22t}\\
&+ 305e^{23t}+205e^{24t}+ 126e^{25t}+70e^{26t}+35e^{27t}+15e^{28t}+ 5e^{29t}+e^{30t}  \bigg )
\end {align*}$$
$\Rightarrow $ XS là $\boldsymbol {\frac {305}{7776}}$
...vv....

1, Cho tập hợp A={1, 2, 3,...100}. Chọn ngẫu nhiên ba số thuộc A. Tính xác suất để chọn được ba số có tổng bằng 90.

Gọi $x$ là số tổ hợp 3 số được chọn khác nhau đôi một, $y$ là số tổ hợp 3 số được chọn trong đó có 2 số giống nhau và $z$ là số tổ hợp cả 3 số được chọn là giống nhau. Ta có :
$\begin {align*}
\left\{\begin{matrix}
6x+3y+z &=C_{89}^2 \\
y+z &=\left \lfloor \frac{87}{2} \right \rfloor+1 \\
z&=1
\end{matrix}\right.\\
\Rightarrow x+y+z=631+43+1=675
\end {align*}$
XS cần tìm là :
$P=\frac{675}{C_{102}^3}=\frac{27}{6868}$

Vớt lên rồi thì giải đi em!
%2C{n%2C2%2C16}]]https://www.wolframalpha.com/input?i=Table[coefficient[(x^4%2Bx^2%2Bx%2B1)^n%2C+x^(3n-4)]%2C{n%2C2%2C16}]

Hic, cho đến giờ, em chưa có câu trả lời!

Xét bài toán tương đương :"...Có bao nhiêu cách chọn ra 6 quả cầu sao cho trong các quả cầu được chọn có đủ cả 3 màu."
Hàm sinh cho số cách chọn 4 quả cầu vàng hoặc 4 quả cầu xanh: $\left[\binom{5}{1}x+\binom{5}{2}x^2 +\binom{5}{3}x^3+\binom{5}{4}x^4\right ]$ và cho số cách chọn 4 quả cầu đỏ: $\left[\binom{6}{1}x+\binom{6}{2}x^2 +\binom{6}{3}x^3+\binom{6}{4}x^4\right] $.
Hàm sinh cho số cách chọn các quả cầu là:
$$\begin {align*}
G(x)&=\left[\binom{5}{1}x+\binom{5}{2}x^2 +\binom{5}{3}x^3+\binom{5}{4}x^4\right ]^2\left[\binom{6}{1}x+\binom{6}{2}x^2 +\binom{6}{3}x^3+\binom{6}{4}x^4\right ]\\
&=150x^3+975x^4+3200x^5+6875x^6+10450x^7\\
&+11600x^8+9400x^9+5375x^{10}+2000x^{11}+375x^{12}\\
\Rightarrow [x^6]G(x)&=\boldsymbol {6875} \end{align*}$$

Hoặc dùng nguyên lý bù trừ :
$$\binom {16}{6}-\binom {10}{6}-2\binom {11}{6}+\binom {6}{6}=6875$$

Có 16 quả cầu đôi một khác nhau, trong đó có 5 quả cầu màu vàng, 5 quả cầu màu xanh, 6 quả cầu màu đỏ. Có bao nhiêu cách chọn ra 10 quả cầu sao cho trong các quả cầu còn lại có đủ cả 3 màu.

Xét bài toán tương đương :"...Có bao nhiêu cách chọn ra 6 quả cầu sao cho trong các quả cầu được chọn có đủ cả 3 màu."
Hàm sinh cho số cách chọn 4 quả cầu vàng hoặc 4 quả cầu xanh: $\left[\binom{5}{1}x+\binom{5}{2}x^2 +\binom{5}{3}x^3+\binom{5}{4}x^4\right ]$ và cho số cách chọn 4 quả cầu đỏ: $\left[\binom{6}{1}x+\binom{6}{2}x^2 +\binom{6}{3}x^3+\binom{6}{4}x^4\right] $.
Hàm sinh cho số cách chọn các quả cầu là:
$$\begin {align*}
G(x)&=\left[\binom{5}{1}x+\binom{5}{2}x^2 +\binom{5}{3}x^3+\binom{5}{4}x^4\right ]^2\left[\binom{6}{1}x+\binom{6}{2}x^2 +\binom{6}{3}x^3+\binom{6}{4}x^4\right ]\\
&=150x^3+975x^4+3200x^5+6875x^6+10450x^7\\
&+11600x^8+9400x^9+5375x^{10}+2000x^{11}+375x^{12}\\
\Rightarrow [x^6]G(x)&=\boldsymbol {6875} \end{align*}$$

Trong trò chơi Minesweeper, một số trên ô vuông biểu thị số lượng mìn có chung ít nhất một đỉnh với ô vuông đó.  Một ô vuông có số có thể không có mìn và các ô vuông trống không được xác định. Hỏi có bao nhiêu cách đặt mìn trong hình dưới đây :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \,\,\,&&\,\,\, &&\,\,\, &\\ \hline &3&&1&&2\\ \hline &&&&&\\ \hline \end{array}$$