Giải phương trình
$$\frac{x^3+2x^2-3x+2}{x^2+2}=\sqrt{x^2-x+2}.$$
Có 16 mục bởi Khoinguyen2007 (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 03-12-2021 - 10:12 trong Đại số
Giải phương trình
$$\frac{x^3+2x^2-3x+2}{x^2+2}=\sqrt{x^2-x+2}.$$
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 30-11-2021 - 18:01 trong Số học
Ta có
$$x^4+2x^2=y^3 \Leftrightarrow (x^2+1)^2=(y+1)(y^2-y+1).$$
Đặt $d=gcd(y+1, y^2-y+1)=gcd(y+1, (y+1)(y-2)+3)=gcd(y+1, 3) \Rightarrow d|3 \Rightarrow d \in \{1, 3\}.$
Do $d|x^2+1$ mà không tồn tại $x$ để $x^2+1$ chia hết cho $3$ nên $d=1$
Từ đó ta có$\begin{cases} y+1=m^2\\ y^2-y+1=n^2 \end{cases}$
Mặt khác, ta có $y+1>0$ nên $y \ge 0$.
+) Với $y=0$, ta có $x=0$
+) Với $y>0$, ta có
$$(m^2-2)^2=(y-1)^2<y^2-y+1=n^2<(y+1)^2=m^4$$
Suy ra $n=m^2-1=y \Rightarrow y^2-y+1=y^2 \Rightarrow y=1$ (Ko thỏa mãn).
Vậy $x=0$, $y=0$ thỏa mãn phương trình
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 27-11-2021 - 16:09 trong Bất đẳng thức và cực trị
$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}$
ta có một đánh giá quen thuộc như sau: $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow \sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=\frac{3}{2}$
Đề bài là $\sum \frac{a}{a+b}$ mà.
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 25-11-2021 - 15:21 trong Số học
Từ giả thiết, ta có
+) $\left ( x+\dfrac{2}{x} \right )^2-2=x^2+\dfrac{4}{x^2}+2 \in \mathbb{Q}$
+) $x^3-\dfrac{8}{x^3} \in \mathbb{Q}$
Lại có $x^3-\dfrac{8}{x^3}=\left ( x-\dfrac{2}{x} \right )\left ( x^2+\dfrac{4}{x^2} +2\right ) \in \mathbb{Q}$.
Mà $x^3-\dfrac{8}{x^3} \in \mathbb{Q}$, $\left ( x^2+\dfrac{4}{x^2} +2\right ) \in \mathbb{Q}$ nên $x-\dfrac{2}{x} \in \mathbb{Q}$
Từ đó ta có $x-\dfrac{2}{x} + x+\dfrac{2}{x} = 2x \in \mathbb{Q}$, suy ra $x\in \mathbb{Q}$.
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 24-11-2021 - 07:47 trong Đại số
Từ phương trình dễ thấy $a, b, c$ là các số chẵn.
Khi đó ta có $(a+1)^4-(40a+1)=a(a-2)(a^2+6a+18) \geqslant 0.$
suy ra $(a+1)^4 \geqslant 40a+1$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=0$ hoặc $a=2$.
Chứng minh tương tự, ta được $(b+1)^4 \geqslant 40b+1$ và $(c+1)^4 \geqslant 40c+1$
Vậy $$(a+1)^4(b+1)^4(c+1)^4 \geqslant (40a+1)(40b+1)(40c+1).$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $(a, b, c)=(0,0,0), (2, 2, 2), (2, 0, 0)$ và các hoán vị
KL: $(a, b, c)=(0,0,0), (2, 2, 2), (2, 0, 0)$ và các hoán vị
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 22-11-2021 - 21:56 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực thay đổi $x, y, z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=4xy+yz+zx.$$
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 22-11-2021 - 10:02 trong Số học
Tìm tất cả các số nguyên tố $p, q$ thỏa mãn $\dfrac{2^{p-1}-1}{q}$ là số chính phương.
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 20-11-2021 - 10:56 trong Đại số
Cho bốn số thực phân biệt $a, b, c, d$ thỏa mãn
$$(a^2+b^2-69)(a+b)=(b^2+c^2-69)(b+c)=(c^2+d^2-69)(c+d).$$
Chứng minh rằng
$$a^3+b^3+c^3+d^3=3(abc+bcd+cda+dab).$$
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 14-11-2021 - 16:38 trong Số học
Cho hai số nguyên dương $a, b$ thỏa mãn $q^2+r=2269$, trong đó $q, r$ lần lượt là thương và dư trong phép chia $ab$ cho $a+b$. Tìm tất cả giá trị có thể của $|a-b|$.
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 09-11-2021 - 17:14 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho bốn số thực không âm $a, b, c, d$ thỏa mãn $a+b+c+d=3$. Chứng minh rằng
$$a+ab+abc+abcd \leqslant 4.$$
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 06-11-2021 - 21:00 trong Bất đẳng thức và cực trị
Câu này khá giống đề thi thử Archimedes, không biết đề có vấn đề hay không, câu trong đề là chứng minh $\frac{8}{3\sqrt{4a^2+3b^2+2c^2}+\sqrt{2b^2+2bc+5c^2}}-\frac{1}{\sqrt{a^2+2bc+6}} \leqslant \frac{1}{3}.$
Chính là nó đó bạn
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 06-11-2021 - 20:53 trong Bất đẳng thức và cực trị
(Thi thử Archimedes 2020) Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{8}{3\sqrt{4a^2+3b^2+2c^2}+\sqrt{2b^2+2bc+5c^2}}-\frac{1}{\sqrt{a^2+2bc+6}} \leqslant \frac{1}{3}. $$
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 04-11-2021 - 20:14 trong Số học
Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn $$3x^2=y(y+2)=z^3-1.$$
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 31-10-2021 - 19:24 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực dương $a, b, c, d$. Chứng minh rằng
$$\frac{a^3+b^3}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{b^3+c^3}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{c^3+d^3}{\sqrt{c^2-cd+d^2}}+\frac{d^3+a^3}{\sqrt{d^2-da+a^2}} \geqslant 2(a^2+b^2+c^2+d^2).$$
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 04-05-2021 - 10:29 trong Số học
Bài 121:tìm các cặp số nguyên tố (p,q) sao cho $p^2-q^2-1$ là số chính phương
Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 25-04-2021 - 21:22 trong Số học
Bài 120: tìm bộ ba số nguyên tố (p;q;r) sao cho pqr=p+q+r+200
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học