Đến nội dung

Khoinguyen2007 nội dung

Có 16 mục bởi Khoinguyen2007 (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)


Sắp theo                Sắp xếp  

#731876 $$\frac{x^3+2x^2-3x+2}{x^2+2}=\sqrt...

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 03-12-2021 - 10:12 trong Đại số

Giải phương trình

$$\frac{x^3+2x^2-3x+2}{x^2+2}=\sqrt{x^2-x+2}.$$




#731837 Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^4+2x^2=y^3$

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 30-11-2021 - 18:01 trong Số học

 Ta có

$$x^4+2x^2=y^3 \Leftrightarrow (x^2+1)^2=(y+1)(y^2-y+1).$$

Đặt $d=gcd(y+1, y^2-y+1)=gcd(y+1, (y+1)(y-2)+3)=gcd(y+1, 3) \Rightarrow d|3 \Rightarrow d \in \{1, 3\}.$

Do $d|x^2+1$ mà không tồn tại $x$ để $x^2+1$ chia hết cho $3$ nên $d=1$

Từ đó ta có$\begin{cases} y+1=m^2\\ y^2-y+1=n^2 \end{cases}$

Mặt khác, ta có $y+1>0$ nên $y \ge 0$.

+) Với $y=0$, ta có $x=0$

+) Với $y>0$, ta có

$$(m^2-2)^2=(y-1)^2<y^2-y+1=n^2<(y+1)^2=m^4$$

Suy ra $n=m^2-1=y \Rightarrow y^2-y+1=y^2 \Rightarrow y=1$ (Ko thỏa mãn).

Vậy $x=0$, $y=0$ thỏa mãn phương trình




#731794 Tìm min của $\sum \frac{a}{a+b}$

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 27-11-2021 - 16:09 trong Bất đẳng thức và cực trị

$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}$

ta có một đánh giá quen thuộc như sau: $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=\frac{3}{2}$

Đề bài là $\sum \frac{a}{a+b}$ mà.




#731768 Cho số thực x khác 0 thoả mãn $x+\frac{2}{x}$ và $x^{3}...

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 25-11-2021 - 15:21 trong Số học

Từ giả thiết, ta có

+) $\left ( x+\dfrac{2}{x} \right )^2-2=x^2+\dfrac{4}{x^2}+2 \in \mathbb{Q}$

+) $x^3-\dfrac{8}{x^3} \in \mathbb{Q}$

Lại có $x^3-\dfrac{8}{x^3}=\left ( x-\dfrac{2}{x} \right )\left ( x^2+\dfrac{4}{x^2} +2\right ) \in \mathbb{Q}$.

Mà $x^3-\dfrac{8}{x^3} \in \mathbb{Q}$,  $\left ( x^2+\dfrac{4}{x^2} +2\right ) \in \mathbb{Q}$ nên $x-\dfrac{2}{x} \in \mathbb{Q}$

Từ đó ta có $x-\dfrac{2}{x}  + x+\dfrac{2}{x} = 2x \in \mathbb{Q}$, suy ra $x\in \mathbb{Q}$.




#731749 $(a+1)^{4}(b+1)^{4}(c+1)^{4}=(40a+1)(40b+1)(40c+1)$

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 24-11-2021 - 07:47 trong Đại số

Từ phương trình dễ thấy $a, b, c$ là các số chẵn.

Khi đó ta có $(a+1)^4-(40a+1)=a(a-2)(a^2+6a+18) \geqslant 0.$

suy ra $(a+1)^4 \geqslant 40a+1$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=0$ hoặc $a=2$.

Chứng minh tương tự, ta được  $(b+1)^4 \geqslant 40b+1$ và  $(c+1)^4 \geqslant 40c+1$

Vậy $$(a+1)^4(b+1)^4(c+1)^4 \geqslant (40a+1)(40b+1)(40c+1).$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $(a, b, c)=(0,0,0), (2, 2, 2), (2, 0, 0)$ và các hoán vị

KL:  $(a, b, c)=(0,0,0), (2, 2, 2), (2, 0, 0)$ và các hoán vị




#731734 min, max $$P=4xy+yz+zx.$$

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 22-11-2021 - 21:56 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực thay đổi $x, y, z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=4xy+yz+zx.$$




#731723 $\dfrac{2^{p-1}-1}{q}$ là số chí...

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 22-11-2021 - 10:02 trong Số học

Tìm tất cả các số nguyên tố $p, q$ thỏa mãn $\dfrac{2^{p-1}-1}{q}$ là số chính phương.




#731707 $$a^3+b^3+c^3+d^3=3(abc+bcd+cda+dab).$$

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 20-11-2021 - 10:56 trong Đại số

Cho bốn số thực phân biệt $a, b, c, d$ thỏa mãn

$$(a^2+b^2-69)(a+b)=(b^2+c^2-69)(b+c)=(c^2+d^2-69)(c+d).$$

Chứng minh rằng

$$a^3+b^3+c^3+d^3=3(abc+bcd+cda+dab).$$




#731632 Tìm tất cả giá trị có thể của $|a-b|$.

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 14-11-2021 - 16:38 trong Số học

Cho hai số nguyên dương $a, b$ thỏa mãn $q^2+r=2269$, trong đó $q, r$ lần lượt là thương và dư trong phép chia $ab$ cho $a+b$. Tìm tất cả giá trị có thể của $|a-b|$.




#731562 $a+ab+abc+abcd \leqslant 4.$

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 09-11-2021 - 17:14 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho bốn số thực không âm $a, b, c, d$ thỏa mãn $a+b+c+d=3$. Chứng minh rằng

$$a+ab+abc+abcd \leqslant 4.$$




#731503 $\frac{8}{3\sqrt{4a^2+3b^2+2c^2}+...

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 06-11-2021 - 21:00 trong Bất đẳng thức và cực trị

Câu này khá giống đề thi thử Archimedes, không biết đề có vấn đề hay không, câu trong đề là chứng minh $\frac{8}{3\sqrt{4a^2+3b^2+2c^2}+\sqrt{2b^2+2bc+5c^2}}-\frac{1}{\sqrt{a^2+2bc+6}} \leqslant \frac{1}{3}.$

Chính là nó đó bạn




#731501 $\frac{8}{3\sqrt{4a^2+3b^2+2c^2}+...

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 06-11-2021 - 20:53 trong Bất đẳng thức và cực trị

(Thi thử Archimedes 2020) Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng

$$\frac{8}{3\sqrt{4a^2+3b^2+2c^2}+\sqrt{2b^2+2bc+5c^2}}-\frac{1}{\sqrt{a^2+2bc+6}} \leqslant \frac{1}{3}. $$




#731468 $3x^2=y(y+2)=z^3-1$

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 04-11-2021 - 20:14 trong Số học

Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn $$3x^2=y(y+2)=z^3-1.$$




#731404 $\sum \frac{a^3+b^3}{\sqrt{a^2-ab+b^2...

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 31-10-2021 - 19:24 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số thực dương $a, b, c, d$. Chứng minh rằng

$$\frac{a^3+b^3}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{b^3+c^3}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{c^3+d^3}{\sqrt{c^2-cd+d^2}}+\frac{d^3+a^3}{\sqrt{d^2-da+a^2}} \geqslant 2(a^2+b^2+c^2+d^2).$$




#726428 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 04-05-2021 - 10:29 trong Số học

Bài 121:tìm các cặp số nguyên tố (p,q) sao cho $p^2-q^2-1$ là số chính phương




#725957 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Đã gửi bởi Khoinguyen2007 on 25-04-2021 - 21:22 trong Số học

Bài 120: tìm bộ ba số nguyên tố (p;q;r) sao cho pqr=p+q+r+200