Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Đường cao BD,CE cắt nhau tại H, DE cắt (O) tại K,L CMR tâm (KHL) đối xứng với O qua A

Từ lưới ô vuông kích thước 29x29, chúng ta cắt ra 99 hình vuông 2x2. CMR vẫn có thể cắt thêm được 1 hình 2x2 nữa

Cho các số thực a,b,c. Tìm hằng số k lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực a,b,c$a^2+b^2+c^2\geq k\sqrt{|(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)|}$

Cho số nguyên dương n và giả sử phương trình $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{\sqrt[7]{y}}=\frac{1}{n}$ có m cặp nghiệm nguyên dương (x,y) và m-1 là số chính phương. CMR n là số chính phương

Chuẩn hoá a+b+c=3 rồi đưa về bất đẳng thức 2 biến q,r thôi bạn.

Xác định tất cả các số nguyên dương a sao cho: Với mỗi số nguyên dương k, tồn tại số nguyên dương $n_k$ thoả mãn$2^k|n_k^{n_k}+a$

Từ giả thiết ta có$\\2=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\geq -2(ab+bc+ca) \\\Rightarrow ab+bc+ca \geq-1 (1)$

Đặt $a-b=x; b-c=y; c-a=z$ thì $x+y+z=0$. Ta có

$\\ xy= ab-ac-b^2+bc,\\ yz=bc-ab-c^2+ac,\\ zx=ac-a^2-bc+ab$, suy ra $ab+bc+ca=xy+yz+zx+2$ (2)

Từ (1) suy ra $xy+yz+zx\geq -3$

 Có $\\ P=x^3+y^3+z^3-(xy+yz+zx+2)=-(y+z)^3+y^3+z^3-yz+(y+z)^2-2 \\=-3yz(y+z)-yz+(y+z)^2-2$.

Không mất tính tổng quát, giả sử y và z nằm cùng phía với số 0 trên trục số, khi đó $yz\geq 0$

Kết hợp (2) và điều kiện $x+y+z=0$ ta suy ra $(y+z)^2\leq xy+3$. Sử dụng bất đẳng thức $yz\leq \frac{(y+z)^2}{4}$ ta nhận được $y+z\leq 2$ và $yz\leq 1$

Vì vậy $-3yz(y+z)-yz+(y+z)^2-2\geq -3yz.(2)+3yz-2 \geq -5$

Đẳng thức xảy ra khi $y=z=1,x=-2$ tức $(a,b,c)=(-1,1,0)$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -5, đạt được khi $(a,b,c)=(-1,1,0)$ hoặc $(0,-1,1)$ hoặc $(1,0,-1)$

Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [0;1] thoả$a+b+c\geq 1$ tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=$\sum \frac{24}{ab+1}-5(3a+3b+3c-7)^2$

Tìm tất cả các số nguyên n sao cho đa thức $1+x+x^2+...+x^{100}$ có thể viết được dưới dạng $P^2+nQ^2$ trong đó P và Q là những đa thức với hệ số hữu tỷ

Xét các số thực $a,b,c$ thay đổi trên đoạn $[1;2]$ sao cho $a^2+b^2+c^2=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  $P=4\left(\frac{b c^2}{a+b}+\frac{c a^2}{b+c}+\frac{a b^2}{c+a}\right)+ab+bc+ca$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a, AB=b, AD=c. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBD). Chứng minh rằng $aS_{HBD}+bS_{HSD}+cS_{HSB} \leq \frac{abc\sqrt{3}}{2}$

Tìm tất cả các hàm số $R\rightarrow R$ thoả$f(x+y(f(x))=f(1-xy)+f(x+y)$

Đặt $a_1,a_2,...,a_{2019}$ là các số nguyên dương và P(x) là đa thức với hệ số nguyên thoả, với mọi số nguyên dương n thì $P(n)|a_1^n+a_2^n+...+a_{2019}^n$. Chứng minh P(x) là đa thức hằng.

Cho P(x) là đa thức nguyên bậc 2 sao cho P(n) là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0. Chứng minh rằng P(x) được viết dưới dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất với các hệ số nguyên

Với a,b,c là các số không âm thoả $(a+1)(b+1)(c+1)=8$. CMR $abc(a+b+c)\leq 3$

Cho 3 số thực x,y,z thoả$x \geq y \geq z$ và$x+y+z=x^3+y^3+z^3=2$. Tìm giá trị lớn nhất của z

giới hạn của $(u_{2n})$ bằng dương vô cùng còn giới hạn của $(u_{2n-1})$ bằng âm vô cùng nên (u_n) có giới hạn riêng mà ad

Chứng minh mọi dãy số thực (u_n) luôn tồn tại giới hạn trên và giới hạn dưới

Giải phương trình$(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{x+1})^2=\frac{4(1+\sqrt{1+4x})}{x+\sqrt{x^2+3x+2}+1}$

Đặt ẩn phụ không hoàn toàn:

Đặt$\sqrt{2x^2+1}=t(t>0)$, Phương trình đã cho trở thành

$t^2+5x+10=(x+7)t \Rightarrow \Delta = (x+7)^2-4(5x+10) =(x-3)^2$

. Suy ra t=....