Cho số nguyên tố $p\equiv 3(mod 4)$. Giả sử tồn tại các số nguyên x, y, z, t sao cho: 

$x^{2p}+y^{2p}+z^{2p}=t^{2p}$

Chứng minh rằng p là ước chung của x,y,z,t.

Đề: Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn : x+y+z=1

CMR: $x(y-z)^{4}+y(z-x)^{4}+z(x-y)^{4}\leq \frac{1}{12}$

 Tìm tất cả hàm số f : R → R thỏa mãn:

Cho hàm số $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Tìm a,b để $max f(x)$ tại $x\in [-1;1]$ đạt giá trị nhỏ nhất

Cho các số thực dương a,b,c.CMR:

$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})\geq \frac{9}{abc+1}$

Đề bài: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. AH cắt BC tại D. Điểm E thuộc đoạn AD sao cho $\measuredangle BEC=90^{o}$.Gọi M là trung điểm EH. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của đường tròn đường kính AM với đường tròn Ơle. CMR P, Q, E thẳng hàng

Đường tròn tiếp xúc với BC tại đâu vậy nhỉ  

Đề chỉ có thế thôi bạn ạ

Đề bài:Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Điểm D thay đổi trên đoạn AH. Đường tròn đường kính AD cắt lại (O), AB, AC tại G, F, E. Gọi K là giao điểm của BE và CF. AK cắt lại (O) tại T. Đường tròn (J) tiếp xúc với BC và tiếp xúc với (O) tại G. Chứng minh rằng đường thẳng TJ luôn đi qua một điểm cố định.

Đề: Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp đường tròn (O) vừa ngoại tiếp đường tròn (I). AC giao BD tại P. Chứng minh rằng O,I,P thẳng hàng. 

 Bài 1: Cho tam giác ABC, đường cao BD,CE giao nhau tại trực tâm H. Gọi S,R là trung điểm BH,CH. SC giao BR tại Q, ES giao DR tại G. Chứng minh rằng A,Q,G thẳng hàng. 

 Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H. M là trung điểm BC. Tia MH cắt (O) tại E. Đường thẳng qua qua A song song với BC cắt (O) tại D. DE giao OH tại T. Chứng minh rằng TA tiếp xúc với (O). 

Cho dãy số $(U_{n})$ : $U_{0}=20, U_{1}=100,U_{n+1}= 4U_{n}+5U_{n-1}+20$ với mọi số tự nhiên n lớn hơn 2.

Tìm số nguyên dương h bé nhất sao cho : $U_{n+h}-U_{n} \vdots 1998$ với mọi số nguyên dương n

Cho tam giác nhọn ABC với đường tròn nội tiếp (I). Gọi ($O_{a}$) là đường tròn có tâm nằm trên đường cao kẻ từ A, đi qua A và tiếp xúc trong với đường tròn (I) tại $A_{1}$, các điểm $B_{1}$, $C_{1}$ được xác định tương tự.

a) CMR AA1, BB1, CC1 đồng quy tại P.

b) Gọi ($J_{a}$), ($J_{b}$), ($J_{c}$) lần lượt là đường tròn đối xứng với đường tròn bàng tiếp góc A, B, C của tam giác ABC qua trung điểm BC, CA, AB. CMR P là tâm đẳng phương của 3 đường tròn nói trên. 

 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. Gọi ($O_{1}$), ($O_{2}$), ($O_{3}$) lần lượt là đường tròn tiếp xúc với (O) và (I) tại D,K; tại E, M; tại F, N.

CMR:

a) DK, EM, FN đồng quy tại P.

b) Trực tâm tam giác DEF thuộc OP. 

 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), có trực tâm H. Gọi N là trung điểm OH. Gọi D, E là hình chiếu của N lên AC, AB. CMR đường thẳng Ole của tam giác ADE đi qua trung điểm ON. 

 Tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Gọi F là điểm Toricelli của tam giác. FA, FB, FC cắt lại (O) tại X, Y, Z. CMR OF chia đôi đoạn nối trực tâm của hai tam giác ABC và XYZ. 

Đề : Đường tròn tâm O bàng tiếp góc A của tam giác ABC tiếp xúc BC tại M. Lấy các điểm D,E trên AB,AC sao cho DE // BC. Đường tròn (K) nội tiếp tam giác ADE tiếp xúc DE tại N, OD cắt BK tại F, OE cắt CK tại G. CMR: MN chia đôi FG.

 ĐỀ: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, n ≥ 2, có thể sắp xếp lịch thi đấu một vòng tròn một lượt cho n đội bóng trong:

1) n−1 vòng nếu n chẵn;

2) n vòng nếu n lẻ.

Biết rằng một vòng là tập hợp các trận đấu mà mỗi đội đấu với nhau đúng một trận nếu n chẵn, và có đúng một đội không thi đấu nếu n lẻ. Hai vòng đấu khác nhau khi không có bất kì hai trận đấu nào của mỗi vòng có cùng hai đội chơi. Lịch thi đấu vòng tròn một lượt là lịch thi đấu mà hai đội bất kì đấu với nhau đúng một trận. 

Trong một giải đấu tennis, có $2^{n}$ người chơi tham gia (n là số nguyên dương). Hai người bất kì thi đấu với nhau đúng một trận. Chứng minh rằng có thể tìm được n+1 người và sắp xếp thành một hàng dọc sao cho mỗi người trong hàng đều thắng tất cả những người đứng sau. 

 Đường tròn tâm O bàng tiếp góc A của tam giác ABC tiếp xúc với BC tại M. Hai điểm D, E lần lượt thuộc cạnh AB, AC sao cho DE//BC. Đường tròn ($O_{1}$) nội tiếp tam giác ADE tiếp xúc với DE tại N. OD cắt B$O_{1}$ tại F, OE cắt C$O_{1}$ tại G. CMR MN chia đôi FG.  

Đề bài: Điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$. $A_1$ là hình chiếu của $P$ lên $BC$, $A_2$ là trung điểm $AA_1$, $PA_2$ cắt $BC$ tại $A_3$. $A_4$ đối xứng với $A_1$ qua $A_3$. CMR: $PA_4$ luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi. 

Câu 1: Cho hình chữ nhật có AD=2AB và M là trung điểm trên cạnh AD sao cho $\widehat{ABM}$. CMR: MC=BC

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}$ = 60 độ. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho AB+BM=AC+CM.Tính số đo góc CAM

Câu 3:Cho tam giác ABC có góc ABC tù.Đường trung trực của AB cắt AC tại M, đường trung trực của cạnh AC cắt AB tại N( B nằm giữa A và N).Cho MN=BC và MN vuông góc với BC. Tính số đo góc ABC