Cho $a,b,c\geq 0$ . CMR:

$(1+a)(1+b)(1+c)(1+\sqrt[3]{abc})^3\geq ((1+\sqrt{ab})(1+\sqrt{bc})(1+\sqrt{ac}))^2$

Cho tứ diện ABCD. R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp. CMR:            $R\geq 3r$
 

Cho tam giác nhọn ABC. M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB.Các đường trung trực của AB và AC cắt AM lần lượt tại D,E và cắt nhau tại O. CE cắt BD tại F. Chứng minh các cặp góc bằng  nhau:   $\widehat{AFB}=\widehat{AFC}$ và  $\widehat{BFC}=\widehat{BOC}$

Cho dãy số {$u_{n}$} xác định bởi:$\left\{\begin{matrix} u_{n} & = & 2022\\ u_{n+1} & = &\frac{u_{n}}{n.u_{n}^{2}+1} \end{matrix}\right.$. CMR dãy {$\frac{1}{n.u_{n}}$} có giới hạn hữu hạn và tim giới hạn đó.

    Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Trên đoạn OA lấy điểm J không trùng với A và O, đường thẳng qua J vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC, BC lần lượt tại M, N, Q. Các đường thẳng BN và CM cắt nhau tại K, đường thẳng AK cắt BC tại P. Gọi I là trung điểm của BC.

1. CMR: tứ giác MNIP nội tiếp.
2. Gọi L là trực tâm của tam giác ABC, H là trực tâm của tam giác AMN. CMR: 3 điểm H, K, L thẳng hàng.

 

$$a_1 = 1; \, a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2} \, \forall n \ge 1; \lim a_n = ?$$

Ta có: $a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}^2}$

=>$a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{a_{n}^2}\geq 0$

=>($a_{n}$) là DS tăng.

Giả sử ($a_{n}$) có giới hạn hữu hạn. lim$a_{n}$=x(x>1).

Ta có x=x+$\frac{1}{x^2}$=>Vô nghiệm

=> lim$a_{n}$=$+\infty$

Tính $lim\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{2^i}$

Ta có dãy:

 $u_{1}=\frac{1}{2}$

 $u_{n}=u_{n-1}.\frac{1}{2}$

=> Là CSN vs q=$\frac{1}{2}$

=>$\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{2^i}=\frac{1}{2^1}+...+\frac{1}{2^n} khi n\rightarrow \infty$=1-$(\frac{1}{2})^n$

=>lim$\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{2^i}$=lim(1-$(\frac{1}{2})^n$)=1

Cho số thực. Xét dãy số được xác định bởi:

-x1=a

-$x_{n+1}=1+ln(\frac{x_{n}^2}{1+lnx_{n}})$ với n=1,2,...

CMR: Dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 

Tìm tất cả các đa thức f(x) với hệ số thực thỏa mãn $xf(x-1)=(x-4)f(x)$ với mọi số thực x

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1-16xyz}{4}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x+y+z+4xyz}{1+4xy+4yz+4zx}$

Đặt 2x=cosA, 2y=cosB, 2z=cosC.

Đưa về biến đổi lượng giác.

...

Tìm đc min là $\frac{13}{28}$ tại x=y=z=$\frac{1}{4}$

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện $a\geq bc^2, b\geq ca^2, c\geq ab^2$.

Tìm GTLN của biểu thức $P = abc(a-bc^2)(b-ca^2)(c-ab^2)$.

Cho a,b,c là các số nguyên dương. CMR: Nếu $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ là một số nguyên thì abc là lập phương của 1 số nguyên.

Theo Cosi ta có: $a^2+b^2+c^2+1\geq\frac{1}{2} (a+b)^2 + \frac{1}{2} (c+1)^2$  

                            $(a+1)(b+1)(c+1)\leq\frac{(a+b+c+3)^3}{27}$

                           $\rightarrow P\leq \frac{1}{a+b+c+1}-\frac{27}{(a+b+c+3)^3}$

Đặt t=a+b+c+1, t>1.

Xét HS f(t)= $\frac{1}{t}-\frac{27}{(t+2)^3}$ với $t\in (1;+\infty )$

Sử dụng BBT ta được max f(t)=f(4)=$\frac{1}{8}$

=> P $\leq \frac{1}{8}$

Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

Ta có:

  $\sum_{cyc}^{}a(b+c).\sum_{cyc}^{}\frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq(\sum_{cyc}^{}\frac{\sqrt{a(b+c)}}{a\sqrt{a(b+c)}})^{2}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}=(ab+bc+ac)^{2}$

Chia hai vế cho 2(ab+bc+ca) và sử dụng BĐT Cauchy ta được đpcm.

Cho a,b,c>0;abc=1.CMR:

$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac{3}{2}$

 

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $xy=yz=zx$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=\frac{4z(z^2-xy)-(x^2+y^2)(2z-x-y)}{(x+y)z^2}$$.

Cho a,b,c mà sao điều kiện là x,y,z vậy. Bn xem lại nha

CMR nếu $x\geq y\geq z>0$ thì $\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Chứng minh rằng với 4 số thực tùy ý  x,y,z,t, bất đẳng thức sau luôn đúng: $3(x+y+z+t)^{2}\geq 8(xy+xz+xt+yz+yt+zt)$

Code 1:

Số Fibonacci đc xác định bởi công thức sau:

F[0]=0;

F[1]=1;

F[N]=F[N-1]+F[N-2];

Yêu cầu: Hãy viết chương trình tính số Fibonacci thứ N(N<=500)

Input: Cho trong tập tin FB.INP gồm 1 dòng là số tự nhiên N.

Output: Ghi vao tập tin FB.OUT số Fibonacci thứ N.

VD:

 FB.INP

6

FB.OUT

8

 program songtorutgon;

À sai dấu là $\leq$ nha

Cho 4 số thực x,y,z,t thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}\geq 1; z^{2}+t^{2}\geq 1$.Chứng minh rằng:

$$\sqrt{(x+z)^{2}+(y+t)^{2}}+\sqrt{(x-z)^{2}+(y-t)^{2}}\leq 2\sqrt{2}$$

Đặt S=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}$

Ta có :

S=$\frac{a^{2}}{a(b+c)}+\frac{b^{2}}{b(c+d)}+\frac{c^{2}}{c(d+e)}+\frac{d^{2}}{d(e+a)}+\frac{e^{2}}{e(a+b)}$

>=$\frac{(a+b+c+d+e)^{2}}{a(b+c)+...e(a+b)}$(bđt c-s)

Mặt khác ta có:

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2})\geq ab+ac+bc+bd+cd+ce+de+da+ea+eb$(Bđt AM-GM cho từng cặp số)

=>$2(a+b+c+d+e)^{2}\geq 5a(b+c)+5b(c+d)+...+5e(a+b)$

=>$\frac{(a+b+c+d+e)^{2}}{a(b+c)+...e(a+b)}$>=5/2

=>s>=5/2(đpcm)

Dấu "=" <=> a=b=c=d=e.