1. Chứng minh rằng nếu $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=a$ thì $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=a$

2. Chứng minh rằng nếu $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=a, a_n>0 \forall n$ thì $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} =a$

Cũng gần đến ngày có điểm thi thptqg và thời gian điền nguyện vọng rồi, như các bạn đồng trang lứa (mặc dù hơi trễ) em vẫn đang nghĩ ngành nào là thích hợp với mình nhất.

Em vẫn muốn học toán, em muốn biết cách ứng dụng toán để nghiên cứu các mô hình kinh tế và các chỉ báo nên có lẽ em sẽ chọn ngành toán ứng dụng hoặc toán kinh tế.

Nhưng mà, có người lớn bảo em rằng người học các ngành toán sau này đi làm sẽ mất nhiều thời gian để lên được các chức cao hơn và đồng nghĩa với việc em sẽ mất vài năm (có khi là rất nhiều năm) thì mới có thể áp dụng những thứ mà em sẽ học vào công việc (  ). Trên mạng thì vẫn có nhiều các bài viết về tiềm năng hay cơ hội việc làm của ngành toán ứng dụng, toán kinh tế nhưng em muốn biết thêm về góc nhìn của các anh chị trong diễn đàn này. Mọi người cho em xin hỏi là mọi người có thấy những ngành ấy là thứ mà xã hội chúng ta cần không? Tiềm năng của người học ngành toán kinh tế so với các ngành kinh doanh, kinh tế khác sẽ hơn kém nhau ở giai đoạn nào không?  Em cám ơn ạ. 

Nói vậy nhưng mk nghĩ cách trên là sai

 

KGM(Ko được sai ngu) : $|\Omega| = C_{2020}^4$

 

Chọn 1 cạnh của đa giác có $2020$ cách

 

Tránh $4$ đỉnh tạo thành các cạnh của đa giác còn lại $2016$ đỉnh

 

Cần chọn $3$ cạnh còn lại của tứ giác hay đây chính là chia $2016$ cái kẹo cho $3$ bạn mà cả $3$ bạn đều có kẹo

 

Áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta có số cách là $C_{m+n}^{m-1} = C_{2019}^2$ cách

 

Gọi $A$ là ...

 

Xác suất cần tìm : $P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{2020.C_{2019}^2}{C_{2020}^4} = \dfrac{12}{2017}$

Ý tưởng hay quá nhưng công thức chia kẹo hơi kì nha )

Xét một cạnh AB bất kì, có $2020-4=2016$ đỉnh để chọn sao cho nối A, B với đỉnh đó không tạo thành cạnh đa giác (4 = 2 điểm của cạnh đang xét + 2 điểm kề cạnh ấy)

$2016$ đỉnh kia có thể tạo thành $2016-1=2015$ cạnh của đa giác

Đáp số: $2020*(2016C2-2015)$

Dùng nguyên lý bù trừ :
$3^5-3.2^5$$+3$$=\boldsymbol {150}$
Hoặc là :
Hàm sinh cho mỗi chữ số là $e^x-1$ nên ta có hàm sinh :
$f(x)=(e^x-1)^3
\Longrightarrow 5![x^5]f(x)=\boldsymbol {150}$

sao lại phải -3 ở nguyên lý bù trừ thế ạ

Khoảng cách từ M đến đường thẳng $0=ax+by+c$ là $d=\frac{|{ax_M+by_M+c}|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Nếu $M$ thuộc $f(x)$ thì $ax_M+by_M+c=0$ nên $d=0$

Chắc cũng có lý do để bạn kia cho rằng không có khoảng cách giữa điểm với khoảng cách phải không? Kể tớ đi

Warm up:
1/ Một hộp viết có 3 cây viết loại A, 3 cây loại B, và 4 cây loại C. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 8 cây viết biết rằng mỗi lần chỉ lấy 1 cây và các cây viết cùng loại thì giống nhau.

Số cách lấy ra 8 cây viết mà mỗi lần chỉ lấy 1 cây bằng số cách xếp 8 cây viết trong hộp bút thành một hàng ngang có thứ tự

TH1: trong hộp còn 2 cây A: $8C1*7C3*4C4$ cách

TH2: trong hộp còn 2 cây B: $8C1*7C3*4C4$ cách

TH3: trong hộp còn 1A, 1B: $8C2*6C2*4C4$

TH4: trong hộp còn 1A, 1C: $8C2*6C3*3C3$

TH5: trong hộp còn 1B, 1C: $8C2*6C3*3C3$

Đáp số: $2*(8C1*7C3*4C4) + 8C2*6C2*4C4 + 2*(8C2*6C3*3C3)$

Tổng quát lên thì em chịu lun 

Đúng phong cách của Hoang72, tỉ số từa lưa hột dưa :v

Giờ có hỏi sao Hoàng nhìn ra mấy tỉ số đó chắc chỉ có làm riết quen thôi nhỉ

Em không hiểu khúc

Ta xem giữa 2 lớp cắt liên tiếp tạo thành  hình lăng trụ có chiều cao $\frac{h}{n}$ thì thể tích lăng trụ lớp thứ k là $\frac{h}{n}.\left ( \frac{k}{n} \right )^{2}.S$

 Anh giải thích giúp em với  

Câu 2 vòng 1 không biết như này đúng không, mình chưa gặp trường hợp không có hàm nào thỏa

Thay x bởi $\frac{x}{f(y)}$ và y bởi $\frac{y}{2022}$:

$\frac{xf(x)}{f(y)}=\frac{y}{2022}+\frac{xf(x)y}{f(y)2022}$

$\implies xf(x)\bigg(\frac{1}{f(y)}-\frac{y}{f(y)2022}\bigg)=\frac{y}{2022}$

Vì cả $xf(x)$ và $\frac{y}{2022}$ lớn hơn $0$ nên

$\bigg(\frac{1}{f(y)}-\frac{y}{f(y)2022}\bigg)  > 0$ 

$\implies y<2022\quad \forall y \in (0;\infty)$ (sai)

Vậy không có hàm nào thảo đề

ý a: bài quen nhưng tớ lười nhớ lại :x

ý b: $EI \cap OB = X, IF\cap OC=Y$. Có $XIYO$ nội tiếp $(OI)$ biến đổi tương đương hai góc so le chút là ra kêt quả

Làm thế nào để chứng minh công thức cho thể tích của một hình chóp

Ngược lại: Tam giác $AGC$ vuông tại $G$. Lấy điểm $E$ trong tam giác sao cho $\angle AEG=180-\angle GAC$, $D$ đối xứng $A$ qua $E$. $B=EG\cap CD$

Chứng minh $AD$ là phân giác $BAC$

Gọi $I,J,M$ lần lượt là tâm nội tiếp, tâm bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ và điểm giữa cung $BC$ không chứa $A$ của tam giác $ABC$.

Gọi $K$ là trung điểm $AC$, $(BIC)$ cắt $BE$ tại $G'$.

Ta có $(AD,IJ)=-1$ nên theo Hệ thức Newton, $EA^{2}=ED^{2}=\overline{EI}\cdot\overline{EJ}=\overline{EG'}\cdot\overline{EB}$.

Ta có biến đổi góc $\angle AG'C=\angle AG'E+\angle EG'C=\angle BAE+90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}=90^{\circ}$.

Do đó $G'$ trùng $G$.

**

Từ đây dễ thấy $KM\parallel AG$.

Lại có $\triangle ABD\sim \triangle AMC$ nên $\triangle BED\sim \triangle MKC$.

Do đó $\angle GAC=\angle MKC=\angle BED=\angle GED$.

Bài toán kết thúc. $\square$

 

PS: Bạn thông cảm tôi không biết cách chèn ảnh vào post. Nếu được bạn có thể chỉ tôi để tôi thêm vào. Cảm ơn.

Em làm tiếp khúc ** như này ngắn hơn, a xem thử

Có $\angle GAE+\angle AGE=\angle GAE+\angle EAC$

$\implies \angle BED= \angle GAC$

PS: Bạn thông cảm tôi không biết cách chèn ảnh vào post. Nếu được bạn có thể chỉ tôi để tôi thêm vào. Cảm ơn.

Cám ơn anh

Em thì:

Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ -> chọn tệp -> đính kèm file này -> trả lời

Tam giác $ABC$, phân giác $AD$ có trung điểm là $E$, $G=(AC) \cap BE$. Chứng minh $\angle GAC= \angle GED$.

Muội thấy đã có lời giải mà huynh 

Khỏi cần nhắc, ai cũng đoán được 

biet ngu mah

Điều kiện (ii) của bài 6 là sao nhỉ? "Di chuyển đường bay" tức là xóa đi hay đổi đích hay sao?

Dạ đề gốc là:

Mấy ổng ghi vô đề thiếu vài chỗ làm em cũng ko hiểu đề. Copy gan y chang, buon   .

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb R \to \mathbb R \quad f(y^2)=f(x+y)f(y-x)+x^2\quad \forall x, y \in \mathbb{R}$

Em thấy đến khúc đơn ánh hợp lý rồi á, sau đó thể tiếp như sau (chưa có $f(0)=0$):

$x=0: f(f(0)+y)=f(f(y))$

$\implies f(y)=y+f(0)=y+a$

Thay vào đề thỏa, vậy $f(x)=x+a \quad \forall x \in \mathbb{R}$

Vẫn bài trên, nhưng đổi để hàm thỏa dễ nhìn hơn và bỏ hàm lẻ để không cho người làm được lụm $f(0)=0$ ngay từ đầu 

Trích và sửa từ bài Đồng Tháp

Thay $x=0$ ta được $f(y)=f(f(y))$ (1)

Thay $y$ bởi $-f(x)$ ta được $f(x-f(-f(x)))=-2x+f(0)$ suy ra $f$ toàn ánh 

Do đó tồn tại $t\in\Bbb R$ sao cho $f(t)=0$

Thay $x=t$ ta được $f(f(y)-t)=f(y)-2t$ suy ra $f$ đơn ánh.

Do đó (1) suy ra $f(y)=y, \forall y\in\mathbb R$

Vậy $f(x)=x, \forall y\in\mathbb R$

Thử lại thấy thỏa mãn.

$f(0)$ chưa bằng 0 mà a

Tam giác $ABC$, phân giác của $\angle BAC$ cắt $(ABC)$ tại $D$. Đt vuông góc với $AD$ tại $A$ cắt đt vuông góc với $AC$ tại $C$ ở $E$, đt vuông góc với $BE$ ở $B$ cắt $AD$ tại $F$. Chứng minh $D$ là trung điểm $AF$.

Ặc giải trên đề Đồng Tháp rồi mà :< 

Đề Chọn đội tuyển Đồng Tháp 2021 ( do @pco2 giải) 

Một cái $f(f(x)+y)=2x+$$f(f(y)-x)$

Một cái $f(f(x)+y)=2x+$$f(x-f(y))$ màa

Đề Chọn đội tuyển Đồng Tháp 2021 ( do @pco2 giải) 

IMOSL 2002 á anh hehe, quăng em cái link xíu.