cho$\alpha$ là số thực và dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix} & x_{0}=0,x_{1}=1 \\  &(k+1)x_{k+2}=\alpha x_{k+1}+(k-2022)x_{k}\end{matrix}\right.$

Tìm giá trị $\alpha$ lớn nhất sao cho $x_{2023}=0$

Tìm hàm $f:\mathbb{N^{*}}\rightarrow \mathbb{N^{*}}$ thỏa mãn $f(a)f(a+b)-ab$ là số chính phương với mọi a,b nguyên dương.

Cho số thực $\alpha$ và xét dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn $x_{1}=x_{2}=1, x_{3}=0$;

$x_{n+3}=\frac{x^2_{n+2}+x^2_{n+1}+x^2_{n}}{6}+\alpha,\forall n\in \mathbb{N^{*}}$.

Tìm số thực $\alpha$ lớn nhất sao cho dãy trên hội tụ.

Nguồn: Bắc Ninh TST 2020-2021

$u_{n}\geq u^{\frac{1}{\alpha}}_{1}\Rightarrow u_{n}>=(n-2)u^{\frac{1}{\alpha}}_1+u_{1}$

Do đó: $\lim u_{n}=+\infty$. Suy ra tồn tại $N_{0}\in \mathbb{N}$ sao cho với mọi $n>N_{0}$ thì $u_{n}>1$

Đặt $c=\min\left \{ \frac{1}{4};a_{1};\frac{a_{2}}{2};...;\frac{a_{N_{0}}}{N_{0}} \right \}\Rightarrow \frac{a_{n}}{n}>c>0 \forall n\leq N_{0}$.

Ta chứng minh $a_{n}>nc, \forall n\geq N_{0}$ (1) bằng quy nạp.

Thật vậy:

Với $n=N_{0}$ thì (1) hiển nhiên đúng.

Giả sử (1) đúng đến $n=k>N_{0}$ ta có

$a^{2}_{k+1}\geq a^{2}_{n+1}\geq a_{1}+a_{2}+...+a_{k}\geq(1+2+...+k).c=\frac{k(k+1)}{2}.c=(k+1)c\frac{k}{2}>[(k+1)c]^2 \Rightarrow a_{k+1}>(k+1)c\Leftrightarrow \frac{a_{k+1}}{k+1}>c$

Vậy (1) đúng với $n=k+1$

Vậy (1) được chứng minh

Cho số $\alpha \in (1;2)$. Xét dãy số thực dương $(u_{n})$ xác định bởi

$u^{\alpha}_{n}\geq u_{1}+u_{2}+...+u_{n-1}$

Chứng minh rằng tồn tại hằng số $c> 0$ sao cho $u_{n}\geq cn \forall n$

Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $x_{1}=\frac{1}{2}$ và $x_{n+1}=x_{n}^{2}-x_{n}+1 \forall n \in\mathbb{N^{*}}$

Chứng minh: $x_{n}\leq \frac{2n-1}{2n}$. Tìm $lim(x_{n+1}+x_{1}x_{2}^{2}x_{3}^{3}...x_{n}^{n})$

Chứng minh phương trình $\left \{ x^2 \right \}+\left \{ y^2 \right \}=\left \{ z^2 \right \}$ có vô số nghiệm trên tập $\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$

Cho $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha > 2$, dãy số $(a_n)\subset \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:\

$a^{\alpha}_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}, \forall n\geq 2$

Chứng minh: dãy $\left ( \frac{a_n}{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn, $lim\frac{a_n}{n}=0$

Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm mọi số nguyên n thỏa mãn với mọi số nguyên $x$ nếu $p\mid x^{n}-1$ thì $p^{2}\mid x^{n}-1$

Trong một vòng thi toán chung kết tại trường A, các thí sinh phải giải 9 bài toán. Biết rằng mỗi thí sinh giải được đúng 6 bài, và với hai thí sinh bất kì thì giải đúng chung 3 bài. Tìm số thí sinh dự thi.

Cho $\left \{ a_{i} \right \}$ xác định bởi $a_{1}=1, a_{2}=-1, a_{n}=-a_{n-1}-2a_{n-2} (n\geq 3)$.

Tính $S_{n}=2a_{n}^{2}+a_{n}a_{n+1}+a_{n+1}^{2}$ với n=2017

Chứng minh A=$\frac{1}{25}\sum_{i=0}^{2001}\left \lfloor \frac{2^{k}}{25} \right \rfloor$ là số nguyên.

Rút gọn biểu thức sau: A=$\left [ \frac{2^{1}}{3} \right ]+\left [ \frac{2^{2}}{3} \right ]+...+\left [ \frac{2^{100}}{3} \right ]$

Cho tam giác ABC; Đường tròn nội tiếp $(O)$ tiếp xúc BC, CA, AB tại D, E, F. Gọi $d$ là đường thẳng qua 𝐹 và song song với BC, d cắt AD, DE tại M, N.
AN cắt BC tại P. Chứng minh D là trung điểm BP
 

Tìm các số nguyên dương a, b, n thỏa mãn $\frac{ab^{2n-1}}{a-b}$ là số nguyên tố.

Chứng minh $a^{n}c^{m}+b^{m}d^{n}$ là hợp số.

Cho hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} f(x+y)=f(x)+f(y) \forall x,y\epsilon R \\ f(\frac{1}{x})=\frac{f(x)}{x^{2}},x\neq 0 \end{matrix}\right.$

Chứng minh $f(x)=ax, \forall x\in R$

đặt $a=4^{3^k}$ thì $n=a^2-a+1$, đương nhiên $a^2-a+1|a^6-1=2^{12\times 3^k}-1$

tiếp theo là cm $12\times 3^k|n-1=a^2-a$

$12\times 3^k=4\times 3^{k+1}$

4 hiển nhiên ước của $a^2-a$, còn $3^{k+1}$ thì tính LTE 

Có cách nào không dùng LTE không ạ.

P/s: đã giải được

Cho số nguyên dương k, $n=16^{3^{k}}-4^{3^{k}}+1$. Chứng minh: $n|(2^{n-1}-1)$

Chứng minh $\forall n\geq 1$, $n\epsilon N$ ta có: $C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+...+nC_{n}^{n}=n2^{n-1}$

Cho $0\leq k\leq n$. Chứng minh: $\sum_{k=0}^{n}2^{k}.C_{n}^{k}.C_{n-k}^{[\frac{n-k}{2}]}=C_{2n+1}^{n}$

đã làm được.

$\widehat{AIB}=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\widehat{BAC}+\widehat{ABC})=90^{\circ}+\widehat{ACB}$

Suy ra $\widehat{MIB}=\frac{\widehat{ACB}}{2}=\widehat{MCI}$

Suy ra$\triangle MIB\sim \triangle MCI (g.g)$

Do đó $MI^2=MB.MC$

Nên M thuộc trục đẳng phương của (I,0) và (O)

Tương tự với N, P

Vậy M, N, P cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với OI.