MiTiBAM nội dung

#731121 ${{x}^{2002}}+{{y}^{20...

Đã gửi bởi MiTiBAM on 12-10-2021 - 17:31 trong Số học

Không mất tính tổng quát giả sử $x,y\geq 0$.

Từ giả thiết ta có $x^{2002}+y^{2002}\vdots 2003$. Mà $2003$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ nên $x^{1001};y^{1001}\vdots 2003\Rightarrow x=2003x_1;y=2003y_1(x_1,y_1\in\mathbb N)$.

Khi đó $2003^{9}(x_1^4+y_1^4)=x_1^{2002}+y_1^{2002}$.

Tương tự suy ra $x_1=2003x_2;y_1=2003y_2(x_2,y_2\in\mathbb N)$

$\Rightarrow 2003^{1993}(x_2^{2002}+y_2^{2002})=x_2^4+y_2^4$.

Dễ thấy $x_2=y_2=0$.

Vậy $x=y=0$.

Mình thấy phải là $2003^{13}(x_1^4+y_1^4)=x_1^{2002}+y_1^{2002}$ và $2003^{1985}(x_2^{2002}+y_2^{2002})=x_2^4+y_2^4$ chứ nhỉ :lol:

#731119 Chứng minh $A,A',M,M'$ đồng viên

Đã gửi bởi MiTiBAM on 12-10-2021 - 16:00 trong Hình học

Cho $A,D$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $A'B,AB$ $(A'B=2R)$. Dựng về một phía với $A'B$ hai nửa đường tròn $(C),(C')$ có các đường kính lần lượt là $AB,A'B$. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn điều kiện $\overline{AB}=3\overline{AI}$. Kẻ đường thẳng bất kỳ qua $I$ cắt $(C),(C')$ lần lượt tại các điểm $M,M'$. Khi đó $M$ không trùng $A$. Chứng minh rằng

a) $D{{A}^{2}}=DI\cdot DA'$.

b) $AM,BM$ lần lượt là phân giác trong và ngoài của góc $\widehat{IMA'}$.

c) $A,A',M,M'$ thuộc một đường tròn.

#731109 ${{x}^{2002}}+{{y}^{20...

Đã gửi bởi MiTiBAM on 11-10-2021 - 19:43 trong Số học

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn

${{x}^{2002}}+{{y}^{2002}}={{2003}^{2011}}({{x}^{4}}+{{y}^{4}}).$

#731107 $\sqrt{\cos^2\alpha+4\cos\alpha+6}+...

Đã gửi bởi MiTiBAM on 11-10-2021 - 17:10 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Chứng minh rằng với mọi $\alpha$ ta có

$\sqrt{17}\le\sqrt{\cos^2\alpha+4\cos\alpha+6}+\sqrt{\cos^2\alpha-2\cos\alpha+3}\le\sqrt{2}+\sqrt{11}$.

#731096 Chứng minh $d_a,d_b,d_c$ đồng quy.

Đã gửi bởi MiTiBAM on 11-10-2021 - 10:40 trong Hình học

Trong mặt phẳng, cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Đường thẳng $AI$ cắt $BC$ tại điểm $M$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ tại điểm $D,$ đường thẳng $BI$ cắt $CA$ tại điểm $N$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CIA$ tại điểm $E,$ đường thẳng $CI$ cắt $AB$ tại điểm $P$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB$ tại điểm $F$ (các điểm $D,E,F$ đều khác điểm $I$).

a) Chứng minh $I$ là trực tâm tam giác $DEF$.

b) Gọi ${{d}_{a}}$ là đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc $NP,$ ${{d}_{b}}$ là đường thẳng đi qua $E$ và vuông góc $MP,$ ${{d}_{c}}$ là đường thẳng đi qua $F$ và vuông góc $MN$. Chứng minh các đường thẳng ${{d}_{a}},{{d}_{b}},{{d}_{c}}$ đồng quy.

#731043 Cho $a^2b+b^2c+c^2a=3abc$. CMR $abc$ là lập phương một số...

Đã gửi bởi MiTiBAM on 08-10-2021 - 16:55 trong Số học

Cho $a,b,c$ là ba số nguyên khác không và thỏa mãn ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a=3abc$ (1)

a) Hãy chỉ ra một bộ số nguyên $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa (1).

b) Chứng minh $abc$ là lập phương của một số nguyên.

#730951 Cho $m+n=2015$. Tìm GTLN, GTNN của $P=m!n!$

Đã gửi bởi MiTiBAM on 04-10-2021 - 20:38 trong Số học

Cho các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $m+n=2015$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P=m!n!$

#730949 Chứng minh rằng $F(x)={{[P(x)]}^{2}}+1...

Đã gửi bởi MiTiBAM on 04-10-2021 - 20:35 trong Đa thức

Đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} P(2006)=2006! \\ xP(x-1)=(x-2006)P(x),\forall x\in \mathbb{R}. \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng $F(x)={{[P(x)]}^{2}}+1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$.

#730948 Tìm GTNN của $\frac{x+2}{x^3(y+z)}+\frac...

Đã gửi bởi MiTiBAM on 04-10-2021 - 20:33 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x+2}{{{x}^{3}}(y+z)}+\frac{y+2}{{{y}^{3}}(z+x)}+\frac{z+2}{{{z}^{3}}(x+y)}.$

#730947 ${{x}^{2}}+{{y}^{2...

Đã gửi bởi MiTiBAM on 04-10-2021 - 20:31 trong Số học

Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}.$

#730946 $\dfrac{a_{1}^{20}}{a_{2}^{11}}+\dfrac{a_{2}^{20}}{a_{3}^{11}}...

Đã gửi bởi MiTiBAM on 04-10-2021 - 20:28 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Cho 2014 số thực dương ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots,{{a}_{2014}}$ thỏa mãn điều kiện ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots+{{a}_{2014}}=2014$.

Chứng minh rằng: $\dfrac{a_{1}^{20}}{a_{2}^{11}}+\dfrac{a_{2}^{20}}{a_{3}^{11}}+\cdots +\dfrac{a_{2013}^{20}}{a_{2014}^{11}}+\dfrac{a_{2014}^{20}}{a_{1}^{11}}\geq 2014$.

#730944 $6f(8x)-5f(4x)+f(2x)=60420x, \forall x\in \mathbb{R...

Đã gửi bởi MiTiBAM on 04-10-2021 - 20:26 trong Phương trình hàm

Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

$6f(8x)-5f(4x)+f(2x)=60420x, \forall x\in \mathbb{R}.$