Một số bài đa thức hay ạ.

Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle d\geqslant 1$ sao cho tồn tại đa thức $\displaystyle P( x) \in \mathbb{Z}[ x]$ bậc $\displaystyle d$ và các số nguyên phân biệt $\displaystyle x_{1} ,x_{2} ,...,x_{d+1}$ thỏa mãn $\displaystyle |P( x_{i}) |=1$ với $\displaystyle i=\overline{1,d+1}$.

Bài 2. Cho đa thức $\displaystyle P( x) =4x^{2} +12x-3015$ và dãy đa thức $\displaystyle P_{n}( x)$ được định nghĩa như sau 

Mình nghĩ là quy nạp, khá gọn và đẹp như sau : cụ thể với $\displaystyle n=0$ thì $\displaystyle P( x) \equiv c$ và ta có thể kiểm tra trực tiếp. Giả sử kết luận bài toán đa xcho đúng đến $\displaystyle n-1$. Xét đa thức $\displaystyle P( x)$ tùy ý bậc $\displaystyle n$ với hệ số thực. Khi đó đặt $\displaystyle Q( x) =\frac{P( x+1) -P( x)}{a-1}$

Bài 36. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I, Ia lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Gọi AA1 là đường kính của đường tròn (O). IaA1 cắt lại đường tròn (O) tại T, AI cắt BC tại E và đường thẳng qua I vuông góc với AE cắt AC tại P. Chứng minh rằng AT, EP và BI đồng quy

Bài 35. Cho hình bình hành $ABCD$ có $P$ là điểm bất kỳ trên $AB$. $DP,CP$ lần lượt cắt $CB$ và $AD$ tại $E,F$. $G$ là tâm vị tự trong của đường tròn nội tiếp hai tam giác $PAE$ và $PBF$. Chứng minh $PG$ đi qua điểm Nagel của tam giác $PCD$. 

góp vui

Bài toán 6. Trên cạnh $\displaystyle AB$ của ngũ giác $\displaystyle ABCDE$ lấy điểm $\displaystyle F$ sao cho $\displaystyle \Delta ADE\sim \Delta ECF\sim \Delta DBC$. Chứng minh rằng $\displaystyle \frac{AF}{BF} =\frac{EF^{2}}{CF^{2}}$.

Còn bài này ai xử nốt đi ) 

Bài 33. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và điểm $P$ bất kỳ trên $(O)$. $J,K$ là tâm đường tròn $(BOP)$ và $(COP)$. $Y,Z$ là hình chiếu của $J,K$ lên $AC,AB$. Chứng minh $YZ$ đi qua 1 điểm cố định khi $P$ di chuyển trên $(O)$

để topic tiếp tục hoạt động ( vì bài trên có vẻ hơi quá tầm với mn....)  mình xin post bài mới

Bài 31. Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ bất kỳ nằm trên trung trực $BC$. $X,Y$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABM$ và $ACM$. Chứng minh $(AXY)$ luôn đi qua 1 điểm cố định

Bài 29. Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B,C$ cố định nằm trên đường tròn. $A$ di động trên đường tròn ấy và một đường thẳng $d$ bất kỳ không cắt $(O)$ và cố định. $AB,AC$ cắt $d$ tại $D,E$. Chứng minh đường tròn đường kính $DE$ tiếp xúc với 2 đường tròn cố định khác.

Bài 17.  Cho $\displaystyle f,g,h\in \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f( xy+g( x)) =xf( y) +h( x) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$. Chứng minh $\displaystyle f$ là hàm tuyến tính. 

Một bổ đề hay để giải các bài PTH trên R 

$\textbf{Bài toán 1 (Nguyễn Tài Chung).}$ Tìm tất cả các hàm số $f$: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f\left ( \frac{xf(y)}{2} \right )+f\left ( \frac{yf(x)}{2} \right )=4xy, \forall x,y \in \mathbb{R}$$ 

$\textbf{Lời giải.}$

Giả sử tồn tại hàm $f$ thoả mãn $$f\left ( \frac{xf(y)}{2} \right )+f\left ( \frac{yf(x)}{2} \right )=4xy, \forall x,y \in \mathbb{R} (1)$$ 

Trước tiên, ta sẽ chứng minh $f$ đơn ánh. 

Thật vậy, thay $x=y=c$ vào $(1)$, ta được: $$f\left ( \frac{cf(c)}{2} \right )=2c^2,\forall c \in \mathbb{R}(2)$$

Giả sử tồn tại $x,y \in \mathbb{R}$ để $f(x)=f(y)$ thì ta có: $\left\{\begin{matrix}\frac{xf(x)}{2}=\frac{xf(y)}{2} & \\ \frac{yf(y)}{2}=\frac{yf(x)}{2} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 4xy=f\left ( \frac{xf(y)}{2} \right )+f\left ( \frac{yf(x)}{2} \right )=f\left ( \frac{xf(x)}{2} \right )+f\left ( \frac{yf(y)}{2} \right )=2x^2+2y^2\Rightarrow x=y$

Vậy $f$ đơn ánh trên $\mathbb{R}$

Từ $(2)$ và $f$ đơn ánh suy ra $f$ là hàm lẻ

Thay $c=1$ vào $(2)$, ta được: $\frac{1}{2}f\left ( \frac{f(1)}{2} \right )=1\Rightarrow \frac{1}{2}\frac{f(1)}{2}f\left ( \frac{f(1)}{2} \right )=\frac{f(1)}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2}\frac{f(1)}{2}f\left ( \frac{f(1)}{2} \right ) \right )=f\left ( \frac{f(1)}{2} \right )\Rightarrow 2.\frac{f(1)^2}{4}=2\Rightarrow f(1)^2=4$

$\textbf{Trường hợp 1:}$ $f(1)=2$ thì ta thay $y=1$ vào $(1)$, ta được: $$f(x)+f(\frac{f(x)}{2})=4x$$

Đặt $z=2x-f(x)$ thì $f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=2x+z$

Ta có: $z=2x-f(x)\Rightarrow f(x-\frac{z}{2})=f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=2x+z$

$\Rightarrow f\left ( x+\frac{z}{2} \right )=f\left ( \frac{f\left ( x-\frac{z}{2} \right )}{2} \right )=2(x-\frac{z}{2})+z=2x$

$\Rightarrow f(x)=f\left ( \frac{f\left ( x+\frac{z}{2} \right )}{2} \right )=2(x+\frac{z}{2})+z=2(x+z)$

Như vậy ta sẽ được $f(x)=2x,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại ta thấy thỏa mãn.

$\textbf{Trường hợp 2:}$ $f(-1)=2$ thì thay $y=-1$ vào $(1)$, ta được: $$f(-x)+f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=4x$$

$\Rightarrow f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=4x+f(x)$

Đặt $2x+f(x)=t$ thì $f(\frac{t}{2}-x)=f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=2x+t\Rightarrow f(x-\frac{t}{2})=-2x-t$

$\Rightarrow f(-x-\frac{t}{2})=f\left ( \frac{f(x-\frac{t}{2})}{2} \right )=2(x-\frac{t}{2})+t=2x$

$\Rightarrow f(x)=f\left ( \frac{f(-x-\frac{t}{2})}{2} \right )=2(-x-\frac{t}{2})+t=-2x$. Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Vậy có hai hàm thỏa mãn bài toán là $\boxed{f(x)=2x,f(x)=-2x,\forall x \in \mathbb{R}}$

a góp mấy bài được k e   

nghịch đảo chắc cách ngắn nhất rồi

Bài 28. Cho tam giác $ABC$ nhọn và điểm $D$ bất kỳ di động trên $BC$ sao cho $AD$ không vuông góc $BC$. Giả sử tồn tại hai điểm $E,F$ trên $AC,AB$ sao cho $\angle ADB = \angle BEC = \angle CFA$. $AD,BE,CF$ cắt nhau tạo thành tam giác $XYZ$. Chứng minh trực tâm tam giác $XYZ$ di động trên 1 đường tròn cố định khi $D$ di động

Bài 27. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $(I)$ có $P$ là điểm chính giữa cung $BC$ nhỏ. $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. và $(AEF)$ cắt $(O)$ tại $Z$ khác $A$. $ZP$ cắt $(I)$ tại $Q$ và $AQ$ cắt $(I)$ tại $T$. $K$ là giao điểm của đường cao $AH$ và đường thẳng Simson của $P$ đối với tam giác $ABC$. Chứng minh $(ATK)$ tiếp xúc $(I)$

Bài toán 24. Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ bất kỳ trên $(O)$. Lấy $Q$ sao cho $PQ$ vuông góc $BC$ và $A(BC,QP)=-1$. Kẻ hình bình hành $AEQF$ với $E,F$ lần lượt nằm trên $AC,AB$. $K$ là trực tâm $AEF$. Chứng minh $KP$ đi qua trực tâm $H$ của $ABC$.

mới thấy b3 chiều nay trên aops có người mới giải... https://artofproblem...tional_equation

Bài 14. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f\left( y+x^{2} -f( y)\right) =f( x)^{2} +f( y) -y,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 13. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f\left( xf( x) +y^{2}\right) +2xf( y) =f( x+y)^{2} ,\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm $f:\;\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn

$$\forall_{\left ( x, y \right )\in\mathbb{R}^{2}}\;f\left ( 2f\left ( xy \right )+ xf\left ( y \right )+ f\left ( x \right ) \right )= 3yf\left ( x \right )+ x$

Bài này căng quá ạ, anh có lời giải hay nguồn sưu tập có thể gửi cho tụi e tham khảo được k ạ :>

Bài 7. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle xf( xy) +xyf( x) \geqslant f\left( x^{2}\right) f( y) +x^{2} y,\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Bài 5. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f\left( x^{2}\right) +2f( xy) =xf( x+y) +yf( x) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 6. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn} $f( xf( x) +f( x) f( y) +y-1) =f( xf( x) +xy) +y-1,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 4. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f( y) -f( x) =f( y) f\left(\frac{x}{x-y}\right) ,\forall x,y\in \mathbb{R} ,x\neq y$.

Một topic để mọi người tổng hợp các bài toán phương trình hàm trên tập số thực

Bài 1. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f( xy+f( y)) =yf( x) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thoả mãn $$f(x - f(y)) = 4f(x) + 3x + f(y),\forall x,y\in\mathbb R$$

Tóm tắt ý tưởng :

$\displaystyle f( x-f( y)) =4f( x) +3x+f( y) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Một topic để mọi người tổng hợp các bài toán phương trình hàm trên tập số thực

Bài 1. Tìm tất cả các hàm $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $\displaystyle f( xy+f( y)) =yf( x) ,\forall x,y\in \mathbb{R}$