Cho tứ giác $ABCD$ nôi tiếp đường tròn (O) có 2 đường chéo $AC,BD$ vuông góc với nhau. Gọi $P$ là giao điểm của $AD$ với $BC$. Kẻ đường kính $PQ$ của $(PCD)$. Gọi $M,N$ lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ và cung lớn $CD$ của $(PCD)$. Gọi $QM$ cắt $BD, CD$ tại $E,F$, $QN$ cắt $AC, CD$ tại $G, H$. Chứng minh rằng $(EDF)$ tiếp xúc với $(GCH)$. 

 

Đề kiểm tra thường xuyên lớp 10 chuyên Toán

Bài 1. (2 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$(a+b+c)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}-3$

Bài 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x+f(y)+xf(y))=x+xy+y,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 3. (2 điểm) Biết rằng ba số $a,a+k,a+2k$ đều là các số nguyên tố lớn hơn 3. chứng minh rằng khi đó $k$ chia hết cho 6.

Bài 4. (2 điểm) Cho đa thức $P(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ và số nguyên $n$ thỏa mãn $P(2n),P(2n+1)$ đều là số lẻ. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không có nghiệm nguyên.

Bài 5. (2 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E,F$ là hai điểm bất kì nằm trên cạnh $AB,AC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BF,CE,EF$. Giả sử đường tròn $(MNP)$ tiếp xúc với $EF$. Chứng minh rằng $OE=OF$.

 

Bài 3. 

Dễ thấy $k$ chẵn

Giả sử có $1$ trong $3$ số: $a, a+k, a+2k$ chia hết cho $3$ thì $1$ số phải bằng $3$ vô lí

Vậy ít nhất có $2$ trong $3$ số có cùng số dư khi chia cho $3$.

Trường hợp $1$: $a \equiv a+2k \pmod 3 \Longrightarrow 2k \vdots 3$ mà $(2,3)=1$ nên $k \vdots 3$ 

Trường hợp $2$: $a \equiv a+k \pmod 3 \Longrightarrow k \vdots 3$

Trường hợp $3$: $a+k \equiv a+2k \pmod 3 \Longrightarrow k \vdots 3$ 

Vậy cả $3$ trường hợp thì $k$ đều chia hết cho $3$ mà $k$ chẵn. Suy ra: $k \vdots 6$ (đpcm) 

Bài 36. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\displaystyle ( x,n)$ thỏa mãn phương trình $x^{3} +2x+1=2^{n}$

Bài này là 1 ví dụ kinh điển trong chuyên đề thặng dư bình phương
Tớ xin gửi link lời giải cho bài này: https://www.slidesha...unhuy/scp-mod-p

Cho tam giác ABC có O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp. Gọi M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của (O) và đường thẳng AI, BI. Lần lượt các đường thẳng AC và BC cắt dây cung MN tại D và E. Qua D kẻ đường thẳng song song với AM, qua E kẻ đường thẳng song song với BN, 2 đường thẳng cắt nhau tại H. Tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại P. Chứng minh các đường thẳng AN, BM, PH đồng quy hoặc song song.

Hình như đề có gì nhầm lẫn phải không bạn?