3, 

$\frac{\sqrt{x-a}.\sqrt[6]{(b-x)^{5}}-\sqrt{b-x}.\sqrt[6]{(x-a)^{5}}}{\sqrt[3]{b-x}-\sqrt[3]{x-a}}=\frac{b-a}{2} ;(a>b)$

ĐKXĐ: $b\geq x\geq a ; x\neq \frac{a+b}{2}$

Đặt : $k=\sqrt[6]{b-x} ; h=\sqrt[6]{x-a}$ ; với $k^{2}\neq h^{2}; h,k \geq 0$

 Suy ra : $k^{6}+h^{6}=\frac{b-a}{2}$

PT trở thành: $\frac{h^{3}.k^{5}-k^{3}.h^{5}}{k^{2}-h^{2}}=\frac{k^{6}+h^{6}}{2}$

$\Leftrightarrow h^{3}.k^{3}=\frac{k^{6}+h^{6}}{2}\Leftrightarrow h^{3}=k^{3}\Leftrightarrow h=k$ ( vô lí )

Vậy pt vô nghiệm.

2,

$a\sqrt{x^{2}-5}+\sqrt{x^{2}-a^{2}-4}+2\sqrt{x^{2}-a^{2}-1}=a^{2}+5 ; (a\geq 0)$

$\Leftrightarrow a(\sqrt{x^{2}-5}-a)+\sqrt{x^{2}-a^{2}-4}-1+2(\sqrt{x^{2}-a^{2}-1}-2)=0$

$\Leftrightarrow a.\frac{x^{2}-a^{2}-5}{\sqrt{x^{2}-5}+a}+\frac{x^{2}-a^{2}-5}{\sqrt{x^{2}-a^{2}-4}+1}+2.\frac{x^{2}-a^{2}-5}{\sqrt{x^{2}-a^{2}-1}+2}=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-a^{2}-5)(...)=0$ $\Leftrightarrow x^{2}=a^{2}+5\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a^{2}+5}$

Ta có: $2^{2| y|-x^{2}}=log_{2| y|+1}x\Leftrightarrow \frac{2^{2| y|}}{2^{x^{2}}}=\frac{log_{2}(2| y|+1)}{log_{2}(x)}\Leftrightarrow 2^{2| y|+1}.log_{2}(2| y|+1)=2^{x^{2}}.log_{2}(x^{2})\Rightarrow 2| y|+1=x^{2}$

     Điều kiện $x\geq 1$ hoặc $ x\leq 1$

Thế vào hệ thức ta có : $(x^{2}-1)=10x^{2}+mx+1$ $\Leftrightarrow x^{3}-12x=m ; ( x\in (-\infty ;-1]\cup [1;+\infty ) )$

Xét hàm suy ra phương trình có 1 nghiệm thực x thì $m>16$ hoặc $m<-16 $

Vậy có : 4012 giá trị m 

TH1: $x\geq 8$ 

Có: $0\geq 8-x\geq ylog_{2}(x+3y)\geq y log_{2}(8+3y)$

SUY ra $log_{2}(8+3y)\leq 0\Rightarrow 8+3y\leq 1\Leftrightarrow y\leq \frac{-7}{3}$  ( Vô lí vì $y>0$ )

TH2: $1\leq x\leq 7$

Đề bài là tồn tại số thực y thỏa mãn là được; nên mình chọn $y=\frac{1}{4}$

Lúc này ta có hệ : $\left\{\begin{matrix} log_{2}(x+\frac{3}{4})\leq 4(8-x) & \\ log_{3}(3x)\geq 27^{-\frac{1}{4}} & \end{matrix}\right.$

Với x nguyên từ 1 đến 7 đều thỏa mãn

Vậy $S=28$

Đặt $t=log_{a}b> log_{a}a^{2}=2$

$P=(2log_{a}b)^{2}+6(\frac{log_{a}\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}}{log_{a}\frac{\sqrt{b}}{a}})^{2}=(2t)^{2}+6(\frac{t-1}{t-2})^{2}$

Xét hàm $f(t) = (2t)^{2}+6(\frac{t-1}{t-2})^{2}$  ( với $t>2$ )

$ f'(3)=0 $ $\rightarrow$ Min $f(t)=f(3)=60$

P/s: 3 câu hôm 1/6 hơi khoai, mình sẽ dồn 200% công lực xem sao   

TH1: x=2 ( thỏa mãn )

TH2: $2\sqrt{2x+2\sqrt{(x+1)(x-1)}}=9(x-1)\sqrt{x-1}$$\Leftrightarrow 2\sqrt{x+1}=\sqrt{x-1}(9x-11)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{11}{9} & \\ 81x^{3}-279x^{2}+319x-121=0 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow x=\frac{5}{3}$

Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Xác suất 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau ?

  cho X là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số. xác xuất để tìm đc số với các chữ số đứng sau lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước và 3 chữ số ở giữa đôi 1 khác nhau .

để bất phương trình $x^2 + (2m+1)x + m^2 + 2m - 1 > 0$ có nghiệm với mọi $x$

$\Leftrightarrow \Delta < 0 , \forall x\in R \Leftrightarrow (2m+1)^{2}-4m^{2}-8m+4< \Leftrightarrow m> \frac{5}{8}$

"Nếu coi f(x) là hàm hằng và f'(x) =0 với mọi x trên R thì 

g'(x) =0 ( với mọi x trên R ) $\rightarrow$ hàm cũng nb trên (1;3) $\rightarrow$ thỏa mãn với mọi m $\rightarrow 4045$ giá trị"

Em thấy đề k hay cho lắm  

Dấu "=" của $ |z_{1}+z_{2}|\geq ||z_{1}|-|z_{2}|| $ là $z_{1}=kz_{2}$ ( với $k\leq 0$ )

Để đạt max $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} | z-3|=5 & \\ (z-3)^{2}=k(-4-3i) ;( k \leq 0 )& \end{matrix}\right.$ $\rightarrow k=-5$

Tìm được $z=3+\frac{3\sqrt{10}}{2}+\frac{\sqrt{10}}{2}i$ và $z=3-\frac{3\sqrt{10}}{2}-\frac{\sqrt{10}}{2}i$

Tương tự . 

Để đạt min , $z=3+\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{10}}i ; z=3-\frac{3}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{10}}i$

Bạn kiểm tra lại đề, chỗ f'(x) =0 với mọi x trên R .  Cá nhân mình thấy thì chỗ đó là f'(x) <0 ( hoặc f'(x) $\neq$ 0 ) với mọi x trên R .

Vì là từ f(x) nb trên R thì suy ra f'(x) $\leq 0$ 

+) Nếu giải theo đề của bạn thì :

f'(x) =0 với mọi x suy ra f(x) =a ( với a là hằng số ) hàm không nb hay đb 

+) Nếu giải theo hướng thay đề là f'(x) khác 0 với mọi x trên R

Với f'(x) khác 0 và f(x) nb trên R $\Rightarrow$ $f'(x)< 0, \forall x\in R$

Ta có: $g'(x)=(x^{2}-mx+4).f'(\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}mx^{2}+4x+2022)$

Để $g'(x)\leq 0 , \forall x\in (1;3) \Leftrightarrow x^{2}-mx+4\geq 0 ; \forall x\in (1;3)\Leftrightarrow x+\frac{4}{x}\geq m,\forall x\in (1;3)$

Xét hàm suy ra $m\leq 4$

Suy ra có 2027 giá trị. 

Ta có : $|z^{2}-6z-i(3+5i)|=4|z-3| \Leftrightarrow |(z-3)^{2}+(-4-3i))|=4|z-3|$

Áp dụng : $|z_{1}+z_{2}|\geq ||z_{1}|-|z_{2}||$

Ta được : $4|z-3|\geq ||z-3|^{2}-5|$

+) TH1: $4|z-3|\geq |z-3|^{2}-5\Leftrightarrow 0\leq |z-3|\leq 5$ 

+) TH2: $4|z-3|\geq 5-|z-3|^{2}\Leftrightarrow |z-3|\geq 1$

$\Rightarrow M=5 ; m=1 \rightarrow 3M^{2}-4m^{2}=71$

Nhân 2 vế với $(a^{3}b^{3})$ ta có : BĐT $\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}\geq ab^{3}+ba^{3}$  (*)

$a^{4}+b^{4}\geq \frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2})\geq ab(a^{2}+b^{2})$  ( luôn đúng ) 

Như này hình như chưa ổn đâu nhé.Theo mình phải như này

 

Số phần tử của tập $S$ : $n(S) = 2 + 1.2 + 1.2.2 + 1.2.2.2 + 1.2.2.2.2 + 1.2.2.2.2.2 = 2 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 64$

 

Để $1$ số lập từ $0$ và $1$ chia hết cho $3$ thì hoặc số đó không có số 1 nào (là số 0), hoặc có đúng $3$ số $1$ hoặc có đúng $6$ chữ số $1$( là số $111111$)

 

Xét số đó có $3$ chữ số, trong đó có $3$ chữ số $1$ và không có chữ số $0$ nào, có thể lập được: $1$(số)

 

Xét số đó có $4$ chữ số, trong đó có $3$ chữ số $1$ và có một chữ số $0$, có thể lập được : $C_3^2$(số)

 

Xét số đó có $5$ chữ số, trong đó có $3$ chữ số $1$ và có hai chữ số $0$, có thể lập được : $C_4^2$(số)

 

Xét số đó có $6$ chữ số, trong đó có $3$ chữ số $1$ và có ba chữ số $0$, có thể lập được : $C_5^2$(số)

 

Số các số chia hết cho $3$ trong tập $S$ là : $3 + C_3^2 + C_4^2 + C_5^2 = 22$(số)

 

Số cách chọn ra ít nhất $1$ số chia hết cho $3$ là: $C_{22}^2 + C_{22}^1 . C_{21}^1$

 

Xác suất cần tìm: $P = \dfrac{C_{22}^2 + C_{22}^1 . C_{21}^1}{C_{64}^2} = \dfrac{55}{96}$

 

$#Ruka$

Mình thiếu đếm số 0 rồi 

Giả dụ đề bài không đề cập đến việc này thì có nên cộng thêm vào không nhỉ?

Theo mình nghĩ là không 

Nếu khách có thể chọn hoặc k chọn thì bài rắc rối hơn nhiều , ví dụ có các Th như

TH có 4 khách chọn và 1 khách không chọn

TH có 3 khách chọn và 2 khách không chọn

....

S� là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 106106 được thành lập từ hai chữ số 00 và 1 ;

Số có 1 chữ số : 1

Số có 2 chữ số : $\overline{1a_{1}}$ ; a_{1} có 2 cách

Số có 3 chữ số : $\overline{1a_{1}a_{2}}$ ; có 4 số

...

Số có 6 chữ số : $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ ; có :2⁵ số

$\rightarrow S$ có 63 số

----------

Gọi biến cố A : .....

+) Th1:  số chỉ có 3 chữ số 1

• 3 chữ số : 111
• 4 chữ số : 1_1_1_ ; có 3 cách xếp chữ số 0
• 5 chữ số : 1_1_1_ ; ( xếp 2 chữ số 0 cùng 1 khoảng trống có 3 cách )   +  ( chọn 2 khoảng trống để xếp chữ số 0 có 3 cách)
• 6 chữ số : 1_1_1_ ; ( xếp 3 chữ số 0 cùng 1 khoảng trống có 3 cách )   +  ( chọn 1 khoảng trống có 1 chữ số 0  và 1 khoảng trống có 2 chữ số 0 có 6 cách )   +  ( chọn mỗi khoảng chống đều có 1 chữ số 0 có 1 cách )

+) Th2: số có 6 chứ số 1 

• 6 chứ số : 111111

Trong S có 21 số chia hết cho 3 và 42 số không chia hết cho 3

Xác xuất cần tìm : $1-\frac{C_{42}^{2}}{C_{63}^{2}}=$ $ \frac{52}{93}$

Giải quyết sử dụng biến cố đối

 

--------------------------------------

 

Gọi $A$ : ...

 

$\to \overline{A}$ : Không có cửa hàng nào có nhiều hơn $2$ khách

 

TH1 : Tất cả các cửa hàng đều có $1$ khách

 

Xếp $5$ khách vào $5$ quán có $5!$ cách

 

TH2 : Một cửa hàng có $2$ khách các quán còn lại chỉ có $1$ khách.

 

Chọn $2$ khách :$C_5^2$(cách)

 

Chọn $1$ cửa hàng để xếp $2$ người khách đó $C_5^1$(cách)

 

Còn $3$ khách xếp vào $3$ quán có $3!$ cách

 

TH này có $C_5^1 . C_5^2 . 3!$(cách)

 

TH3 : Hai cửa hàng có $2$ khách, một cửa hàng có $1$ khách, hai quán còn lại "vô người"

 

Chọn $2$ khách :$C_5^2$(cách)

 

Chọn $1$ cửa hàng để xếp $2$ người khách đó $C_5^1$(cách)

 

Chọn $2$ khách tiếp theo :$C_3^2$(cách)

 

Chọn $1$ cửa hàng để xếp $2$ người khách đó $C_4^1$(cách)

 

Chọn $1$ cửa hàng để xếp $1$ người khách còn lại $C_3^1$(cách)

 

TH này có $C_5^1 . C_5^2 . C_3^2 . C_4^1 . C_3^1$(cách)

 

TH4 : Các quán đều "vô người" $\to$ $1$ cách

 

XS cần tìm : $P = \dfrac{5! + C_5^1 . C_5^2 . 3! + C_5^1 . C_5^2 . C_3^2 . C_4^1 . C_3^1 + 1}{5^5}$

 Mỗi khách đều chọn 1 cửa hàng để vào nên k có TH4

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt[3]{x-1} & \\ b=\sqrt[3]{10-x} & \end{matrix}\right.$

Ta có hệ sau $\left\{\begin{matrix} a^{3}+b^{3}=9 & \\ a+b+2ab=7 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^{3}-3ab(a+b)=9 & \\ ab=\frac{7-a-b}{2} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2(a+b)^{3}+3(a+b)^{2}-21(a+b)-18=0\Leftrightarrow (a+b-3)(a+b+\frac{9}{4}+\frac{\sqrt{33}}{4})(a+b+\frac{9}{4}-\frac{\sqrt{33}}{4})$

+) TH1: $a+b=3 \Rightarrow (a;b)=(1;2)$ hoặc $(2;1)$

+) TH2: $\left\{\begin{matrix} a+b=-\frac{9}{4}-\frac{\sqrt{33}}{4} & \\ ab=\frac{37}{8}+\frac{\sqrt{33}}{8} & \end{matrix}\right.\Rightarrow a^{2}+(\frac{9}{4}+\frac{\sqrt{33}}{4})a+\frac{37}{8}+\frac{\sqrt{33}}{8}=0$ ( PT vô n0 )

Vẫn đề bài nhưng ai giúp em  giải kĩ hơn về : 

 Trường hợp: có duy nhất 1 của hàng có 2 khách 

 Trường hợp: có 2 của hàng có 2 khách .

Bạn cho mình hỏi với nếu như nó có nghiệm là $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ thì làm sao mình phân tích nó ra được nhân tử $x^2 - 5x + 1 = 0$ vậy?

Biết trước nghiệm thì có : $(x-\frac{5+\sqrt{21}}{2})(x-\frac{5-\sqrt{21}}{2})=0 \Rightarrow x^{2}-5x+1=0$

PT đầu chuyển vế bp sẽ quy về pt bậc 4, sẽ tách đc ra pt bậc 2 là : $x^{2}-5x+1=0$

$\int_{1}^{2}\frac{1}{(x-2)\frac{4}{3}} dx=\lim_{t\rightarrow 2^{-}}\int_{1}^{t}\frac{1}{(x-2)^{\frac{4}{3}}}dx=\lim_{t\rightarrow 2^{-}}[-3[(x-2)^{\frac{-1}{3}}]|^{t} _{1}]= \lim_{t\rightarrow 2^{-}}[\frac{-3}{\sqrt[3]{t-2}}+\frac{3}{\sqrt[3]{1-2}}]=+\infty$

CTTQ: $\int x^{a}dx=\frac{1}{1+a}.x^{a+1}+C$

Đặt $x=2019$ , biểu thức trở thành : $T=\frac{((x-3)^{2}(x+7)+31(x-2))[(x-3)(x+2)+4]}{(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)}$

Có : $(x-3)(x+2)+4=(x-2)(x+1)\Rightarrow T=\frac{(x-3)^{2}(x+7)+31(x-2)}{(x-1)x(x+2)}$

                                                                    $=\frac{x^{3}+x^{2}-2x+1}{x^{3}+x^{2}-2x}=1+\frac{1}{x(x-1)(x+2)}=1+\frac{1}{2018.2019.2020}$

Nhận thấy số cần tìm là số có 4 chữ số sao cho $\overline{abcd}+a+b+c+d=2023$ $\Leftrightarrow 1001a+101b+11c+2d=2023$

+) Nếu $a=1\rightarrow 101b+11c+2d=1022$  $\rightarrow b=9$  ( vì b từ 0 tới 8 , thì với bất kỳ giá trị của c và d đều không thỏa mãn )

    $\Rightarrow 11c+2d=113 \rightarrow c=9 \rightarrow d=7$ ( từ c=8 không thỏa mãn)

+) Nếu $a=2\Rightarrow 101b+11c+2d=21\rightarrow b=0\Rightarrow 11c+2d=21\rightarrow c=1;d=5$

$\rightarrow 1997 ; 2015$

Câu 1: Tìm $x,y,z \in R$ thoả mãn 

\[ \frac{x}{y+z+2011} = \frac{y}{x+z+2011} = \frac{z}{x+y-4022} = x+y+z\]

Bài 1. 

+)TH1:$ x=y=z=0 $ $\rightarrow$ thỏa mãn

+)TH2: CT dãy tỉ số bằng nhau : $x+y+z=\frac{x+y+z}{2(x+y+z)}=\frac{1}{2}$ Thay ngược lại giả thiết giả hệ 

Bài 2: 

Có: $x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}\Rightarrow x-y=\frac{y-z}{yz}$; tương tự có : $y-z=\frac{z-x}{zx};z-x=\frac{x-y}{xy}$

Nhân vế với vế ta được : $(x-y)(y-z)(z-x)=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{x^{2}y^{2}z^{2}}$

TH1:$ x=y=z$

TH2: $\left | xyz \right |=1$