Có bao nhiêu cách viết số nguyên dương n thành tổng các số nguyên dương? (hai cách viết 1+3+1+2 và 2+1+1+3 được coi là giống nhau)

Có bao nhiêu hoán vị của tập {1, 2, 3, …, 9, 10} sao cho i luôn đứng trước i+5 với i chạy từ 1 đến 5

Cho $x = r\cos(a)$ và $y  = r\sin(a)$. Chứng minh $dx.dy = rdr.da$

Cho V là một K không gian vectơ và dimV = n. Xét $S=\left \{ v_{1},v_{2},...,v_{n} \right \}$ .Chứng minh rằng S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi SpanS=V

Chứng minh rằng hệ phương trình tuyến tính có n phương trình n ẩn số thì hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0

Mọi người giúp mình bài này với ạ:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn $f(1)=0$ và $\int_{0}^{1}(f'(x))^{2}=\int_{0}^{1}(x+1)e^{x}f(x)dx=\frac{e^{2}-1}{4}$. Tính $\int_{0}^{1}f(x)dx$

 

Chứng minh rằng hàm số $f(x)$ đơn điệu thì có hữu hạn điểm gián đoạn. Ngoài ra, nếu $f(x)$ đơn điệu trên $[a,b]$ thì có thể tồn tại $t$ thuộc $[a,b]$ sao cho $t$ là điểm gián đoạn loại I hoặc $t$ là điểm gián đoạn loại II hoặc $t$ là điểm gián đoạn bỏ được hay không?

Cho A,B là hai ma trận khả nghịch. Giả sử $A^{5}=I$, $AB^{2}=BA$ và B#I. Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho $B^{k}=I$, trong đó I là ma trận đơn vị.

Cho $P_{2023}$ là tập các đa thức có bậc không vượt quá 2023 và $W=\left \{ p(x)\in P_{2023}|p(x-1)=-1) \right \}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

1) dimW = 2021

2) dimW < 2021

3) Một cơ sở của W là $\left \{ 1,x,x^{2},...,x^{2023} \right \}$

4) W không phải là một không gian vectơ

 

Cho V là một K không gian vectơ và dimV = n. Xét hệ S = {v1,v2,...,vn}. Chứng minh rằng S là độc lập tuyến tính <=> S là hệ sinh của V

Cho V là một K - không gian vectơ

Cho S = {$v_{1},v_{2},...,v_{m}$} và T = {$u_{1},u_{2},...,u_{k}$}

$S,T\subset V$ và $T\subset SpanS$, T độc lập tuyến tính. 

CMR: $k\leq m$

Mọi người giúp mình công thức tổng quát tính hệ số của một hạng tử của một đa thức mũ được không?

Ví dụ tính hệ số của $x^{t}$ trong khai triển đa thức $(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{k}x^{k})^{n}$

Cho ma trận A là ma trận vuông cấp n có đường chéo chính bằng không. Chứng minh rằng: $det(-A)=(-1)^{n}.det(A)$

Cho $f(x)=x+e^{x}$ và $g(x)=\frac{x+1}{2x-1}$. Tìm $f^{-1}(g^{-1}(g^{-1}(f(0))))$

Cho khai triển Taylor của hàm số f(x) = tan(4+3x)  tại x=1 tới cấp hai ta được:

$tan(7)+3(1+tan^{2}(7))(x-1)+a(x-1)^{2}+o((x-1)^{2})$. Giá trị của a là:...

Cho tập A = {a,b} cùng với phép toán nhân thông thường tạo thành tập đóng. Biết $a,b\in \mathbb{N}$;$0\leq a,b\leq 9$, a # b. Hỏi có tất cả bao nhiêu tập A thỏa mãn?

Cho $\epsilon _{0}=1,\epsilon _{1},...,\epsilon _{2020}$ là 2021 căn bậc phức 2021 của 1. Tính A = $\prod_{i=1}^{2020}(1-\epsilon _{i})$

 

Cho m,n là các số nguyên dương. Tính số các toàn ánh từ tập m phần tử đến tập n phần tử

Cho phương trình: $\frac{(x+1)^{9}-1}{x}=0$

a) Tìm các nghiệm của phương trình trên

b) Tìm môđun của các nghiệm đó

c) Tính tích của các nghiệm, từ đó tính $\prod_{k=1}^{8}sin\frac{k\pi }{9}$

Cho $a_{0}=\sqrt{2}$,$b_{0}=2$,$a_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-a_{n}^{2}}}$,$b_{n+1}=\frac{2b_{n}}{2+\sqrt{4+b_{n}^{2}}}$

1. Chứng minh $(a_{n},b_{n})$ không tăng và hội tụ về 0

2. Chứng minh $(2^{n}a_{n})$ tăng và $(2^{n}b_{n})$ giảm và hai dãy đó hội tụ về cùng một giá trị

3. Chứng minh rằng tồn tại một số C sao cho với mọi n thì bất đẳng thức sau luôn đúng:

$0<b_{n}-a_{n}<\frac{C}{8^{n}}$

Cho $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Biết $2a+3b+6c=0$. Chứng minh rằng f(x) có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0,1)

Chứng mình rằng nếu f,g là các hàm số liên tục trên đoạn [a,b] và f(x) = g(x) với mọi x là số hữu tỷ trong đoạn [a.b] thì f(x) = g(x) với mọi x thuộc [a,b].

(Nếu ta thay hữu tỷ bởi vô tỷ thì bài toán còn đúng hay không?)

Tính  $\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^{a}-a^{a}}{x-a}$ với a là 1 số thực nào đó

Chứng minh rằng nếu $\lim_{x\rightarrow +\infty }a_{n} = a$ thì $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{a_{1}+a_{2}+...a_{n}}{n}=a$