ý mình hỏi là làm ntn để biết là cần phải xét tích 4a.abc?
Mình nghĩ do có $4ac=b^2-m^2$ nên xét tích 4a.abc để có $4ac$ thay vào rồi nhóm nhân tử
Có 106 mục bởi Matthew James (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)
Đã gửi bởi Matthew James on 17-10-2023 - 21:51 trong Đại số
ý mình hỏi là làm ntn để biết là cần phải xét tích 4a.abc?
Mình nghĩ do có $4ac=b^2-m^2$ nên xét tích 4a.abc để có $4ac$ thay vào rồi nhóm nhân tử
Đã gửi bởi Matthew James on 17-10-2023 - 21:03 trong Đại số
Đã gửi bởi Matthew James on 20-09-2023 - 20:04 trong Tài liệu tham khảo khác
Đây nha bạn: https://drive.google...ROCciQDLLuE2xlg
Đã gửi bởi Matthew James on 20-09-2023 - 19:49 trong Tài liệu tham khảo khác
Mình cũng đang học lớp 10 nên cho mình ké post này luôn . Hiện tại thì mình đang học cuốn Tài liệu Giáo Khoa Chuyên Toán 10 của thầy Đoàn Quỳnh. Link file pdf: https://drive.google...W146WDHny0/view
Đã gửi bởi Matthew James on 19-09-2023 - 20:49 trong Đại số
4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc = 1. Tìm min:
$M = \sum \frac{b^2}{(ab+2)(2ab+1)}$
P/s: Bài này là một dạng BĐT khá cơ bản có lẽ trong quá trình học bạn sẽ gặp nhiều dạng như này. Khi gặp đề bài cho thông tin $abc=k$ thì bạn nên thử đặt $a=\frac{kx}{y};b=\frac{ky}{z};c=\frac{kz}{x}$.
Đã gửi bởi Matthew James on 19-09-2023 - 20:31 trong Đại số
1. Giải phương trình:
$\sqrt{10x-5} + \sqrt{5x^2+5} = \sqrt{9x(x+2)}$
$\Leftrightarrow \sqrt{5(2x-1)}+\sqrt{5(x^2+1)}=\sqrt{9(x^2+2x)}$
Đặt $\left\{\begin{matrix} 2x-1=a\\x^2+1=b \end{matrix}\right.$
Phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{5a}+\sqrt{5b}=\sqrt{9(a+b)}$
$\Leftrightarrow 10\sqrt{ab}=4(a+b)$
$\Leftrightarrow 4a-8\sqrt{ab}-2\sqrt{ab}+4b=0\Leftrightarrow (4\sqrt{a}-2\sqrt{b})(\sqrt{a}-2\sqrt{b})=0$
$\Leftrightarrow Th1:\sqrt{a}=2\sqrt{b};;;TH2:\sqrt{b}=2\sqrt{a}$
Sau đó bạn giải từng trường hợp bằng cách bình phương 2 vế rồi tìm x.
Đã gửi bởi Matthew James on 19-09-2023 - 19:54 trong Đại số
3. $x^2-3y^2-2xy-2x+14y=11$
$\Leftrightarrow (x+y)(x-3y)+2x+2y-4x+12y=11$$\Leftrightarrow (x-3y+2)(x+y-4)=3$
$\Rightarrow TH1: \left\{\begin{matrix}x+y-4=1 & \\x-3y+2=3 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow TH2,TH3,TH4$ tương tự
Đã gửi bởi Matthew James on 14-09-2023 - 20:22 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
Cho $a.sin^4\alpha+b.cos^4\alpha=\frac{ab}{a+b}$. Chứng minh rằng $a^4.sin^{10}\alpha+b^4.cos^{10}\alpha=\frac{a^4b^4}{(a+b)^4}$
Đã gửi bởi Matthew James on 14-09-2023 - 08:37 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Có $\frac{a^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$
Tương tự ta có $\frac{b^2}{c+1}\geq b-\frac{bc}{2}$;$\frac{c^2}{a^2+1}\geq c-\frac{ca}{2}$
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được:
$P\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}$
Lại có $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2=9\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$
$\Rightarrow P\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Đã gửi bởi Matthew James on 14-09-2023 - 08:17 trong Bất đẳng thức và cực trị
Có $\left\{\begin{matrix} 0\leq x,y,z & \\x+y+z=1 & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow 0\leq x,y,z\leq 1$
$\Rightarrow x(x-1)\leq 0\Leftrightarrow x^2-x\leq0\Leftrightarrow x^2\leq x$
Tương tự với $y,z$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\leq x+y+z=1$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,0,0)$ và các hoán vị
Đã gửi bởi Matthew James on 13-09-2023 - 21:49 trong Bất đẳng thức và cực trị
Dễ nhận thấy $x^2+y^2+z^2$ có giá trị nhỏ nhất khi $x=y=z=1$
Dùng bất đẳng thức Caunchy-Schwarz Cộng mẫu
$x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=3$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z=1$
Đã gửi bởi Matthew James on 13-09-2023 - 21:41 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
Rút gọn biểu thức:
$A=\sqrt{(1+tan\alpha).cos^{2}\alpha+(1+cot\alpha).sin^{2}\alpha }$ Với $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$
$B=\frac{1}{sin\alpha-\sqrt{cot^{2}\alpha-cos^{2}\alpha}}$ Với $\alpha \in (0,2\pi )$
Đã gửi bởi Matthew James on 25-05-2023 - 21:58 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
Dễ thấy mọi số nguyên tố $n$ đều thoả mãn tính chất đã nêu.
Nếu $n$ là hợp số thỏa mãn tính chất đã nêu, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Vì $\dfrac{n}{p}$ là ước của $n$ nên $\dfrac{n}{p} + 1$ là ước của $n+1$. Mà $n \ge p^2$ và $p > 1$ nên ta có các bất đẳng thức $$\left(\frac{n}{p}+1\right)(p-1) < n + 1 < \left(\frac{n}{p}+1\right)p,$$ mâu thuẫn. Vậy tất cả các số thoả mãn tính chất đã nêu là các số nguyên tố.
Dạ cho em hỏi chút là tại sao $\frac{n}{p}+1$ lại là ước của $n+1$ ạ. Nếu $n=10$ thì $p=2$ và $\frac{n}{p}+1=6$ không là ước của $n=11$ ạ
Đã gửi bởi Matthew James on 25-05-2023 - 18:07 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
Tôi nghĩ rằng n là số nguyên tố hoặc n = $p^2$ với p là số nguyên tố.
Không biết còn thiếu trường hợp nào không?
Em nghĩ chưa đủ đâu ạ. Nếu $n$ là 15 và $d=3$ là ước của $n$ thì $d-1$ vẫn là ước của $n-1$ đấy ạ
Đã gửi bởi Matthew James on 25-05-2023 - 17:11 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d>1$ là ước của $n$ thì $d-1$ là ước của $n-1$
Đã gửi bởi Matthew James on 25-05-2023 - 17:09 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d$ là ước dương của $n$ thì $d+1$ là ước của $n+1$
Đã gửi bởi Matthew James on 11-05-2023 - 21:25 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $2^n+n^2$ là số chính phương.
Đã gửi bởi Matthew James on 03-04-2023 - 21:21 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
Cần chứng minh $\sum \frac{1}{a^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{da}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$
$\frac{cd+da+bc+ab}{abcd}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$
$\Leftrightarrow (a+c)(b+d)\geq (a^2+c^2)abcd+(b^2+d^2)abcd$
$2VP=2ac(a^2+c^2)+2bd(b^2+d^2)\leq (\frac{2ac+a^2+c^2}{2})^2.bd+(\frac{2bd+b^2+d^2}{2})^2.ac\leq \frac{1}{4}(a+c)^4.\frac{(b+d)^2}{4}+\frac{1}{4}(b+d)^4.\frac{(a+c)^2}{4}$
$=\frac{1}{32}(a+c)(b+d)2(a+c)(b+d)[(a+c)^2+(b+d)^2]$
$\leq \frac{1}{32}(a+c)(b+d).(\frac{2(a+c)(b+d)+(a+c)^2+(b+d)^2}{2})^2=2(a+c)(b+d)=2VT$
Suy ra điều phải chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d=1$
Đã gửi bởi Matthew James on 01-04-2023 - 20:17 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
Với $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$, chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$.
Đã gửi bởi Matthew James on 28-03-2023 - 14:30 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
@Leonguyen Tại sao
$\sum \frac{a}{2a+1}\leq1\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2a+1}\geq1$ ạ ?
$\sum \frac{a-1}{2a+1}\leq0\Leftrightarrow \sum \frac{a}{2a+1}\leq1\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2a+1}\geq1$.
Từ giả thiết đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$, khi đó
$\sum \frac{1}{2a+1}=\sum \frac{1}{2\frac{x}{y}+1}=\sum \frac{y}{2x+y}=\sum \frac{y^2}{2xy+y^2}\geq\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1.$
Vậy ta có đpcm.
Đã gửi bởi Matthew James on 27-03-2023 - 17:37 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng $\frac{a-1}{2a+1}+\frac{b-1}{2b+1}+\frac{c-1}{2c+1}\leq 0$
Đã gửi bởi Matthew James on 06-02-2023 - 16:19 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
$MaxB$:
Đặt x=a+1;y=b+1;z=c+1
Suy ra a,b,c∈[0;1] và a+b+c=2
0≤a,b,c≤1⇒$a^3\leq a^2\leq a$
$B=(a+1)^3+(b+1)^3+(c+1)^3=a^3+b^3+c^3+3a+3b+3c+3\leq 7(a+b+c)+3=17$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,2,2)$ và các hoán vị
Đã gửi bởi Matthew James on 06-02-2023 - 16:11 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
$MaxA$:
Đặt $x=a+1;y=b+1;z=c+1$
Suy ra $a,b,c\in[0;1]$ và $a+b+c=2$
$0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow a^2\leq a;b^2\leq b;c^2\leq c$
$A=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2=a^2+b^2+c^2+7\leq a+b+c+7=9$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,2,2)$ và các hoán vị
Đã gửi bởi Matthew James on 06-02-2023 - 16:06 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
Cho $x,y,z\in [1;2]$ có tổng bằng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $A=x^2+y^2+z^2$ và $B=x^3+y^3+z^3$
Đã gửi bởi Matthew James on 08-01-2023 - 21:12 trong Số học
Tìm $(x;y)$ nguyên thỏa mãn : $x^2+5xy+y^2=5$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học