Đến nội dung

Matthew James nội dung

Có 106 mục bởi Matthew James (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#741775 $\overline{abc}$ là số nguyên tố thì pt $a^2+bx+c=0$...

Đã gửi bởi Matthew James on 17-10-2023 - 21:51 trong Đại số

ý mình hỏi là làm ntn để biết là cần phải xét tích 4a.abc? 

 

Mình nghĩ do có $4ac=b^2-m^2$ nên xét tích 4a.abc để có $4ac$ thay vào rồi nhóm nhân tử




#741769 $\overline{abc}$ là số nguyên tố thì pt $a^2+bx+c=0$...

Đã gửi bởi Matthew James on 17-10-2023 - 21:03 trong Đại số

1.

Hình gửi kèm

  • Screenshot 2023-10-17 210322.png



#741478 Xin file pdf các bài giảng về số học tập 1

Đã gửi bởi Matthew James on 20-09-2023 - 20:04 trong Tài liệu tham khảo khác

Đây nha bạn: https://drive.google...ROCciQDLLuE2xlg




#741477 cần được giới thiệu sách

Đã gửi bởi Matthew James on 20-09-2023 - 19:49 trong Tài liệu tham khảo khác

Mình cũng đang học lớp 10 nên cho mình ké  post này luôn  :D  :D . Hiện tại thì mình đang học cuốn Tài liệu Giáo Khoa Chuyên Toán 10 của thầy Đoàn Quỳnh. Link file pdf: https://drive.google...W146WDHny0/view




#741464 $M = \sum \frac{b^2}{(ab+2)(2ab+1)}$

Đã gửi bởi Matthew James on 19-09-2023 - 20:49 trong Đại số

4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc = 1. Tìm min:

 

$M = \sum \frac{b^2}{(ab+2)(2ab+1)}$

 

P/s: Bài này là một dạng BĐT khá cơ bản có lẽ trong quá trình học bạn sẽ gặp nhiều dạng như này. Khi gặp đề bài cho thông tin $abc=k$ thì bạn nên thử đặt $a=\frac{kx}{y};b=\frac{ky}{z};c=\frac{kz}{x}$.

 

Hình gửi kèm

  • Screenshot 2023-09-19 204608.png



#741463 $M = \sum \frac{b^2}{(ab+2)(2ab+1)}$

Đã gửi bởi Matthew James on 19-09-2023 - 20:31 trong Đại số

1. Giải phương trình:

$\sqrt{10x-5} + \sqrt{5x^2+5} = \sqrt{9x(x+2)}$

 

 

$\Leftrightarrow \sqrt{5(2x-1)}+\sqrt{5(x^2+1)}=\sqrt{9(x^2+2x)}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} 2x-1=a\\x^2+1=b \end{matrix}\right.$

Phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{5a}+\sqrt{5b}=\sqrt{9(a+b)}$

$\Leftrightarrow 10\sqrt{ab}=4(a+b)$

$\Leftrightarrow 4a-8\sqrt{ab}-2\sqrt{ab}+4b=0\Leftrightarrow (4\sqrt{a}-2\sqrt{b})(\sqrt{a}-2\sqrt{b})=0$

$\Leftrightarrow Th1:\sqrt{a}=2\sqrt{b};;;TH2:\sqrt{b}=2\sqrt{a}$

Sau đó bạn giải từng trường hợp bằng cách bình phương 2 vế rồi tìm x.




#741460 $M = \sum \frac{b^2}{(ab+2)(2ab+1)}$

Đã gửi bởi Matthew James on 19-09-2023 - 19:54 trong Đại số

3. $x^2-3y^2-2xy-2x+14y=11$

$\Leftrightarrow (x+y)(x-3y)+2x+2y-4x+12y=11$$\Leftrightarrow (x-3y+2)(x+y-4)=3$

$\Rightarrow TH1: \left\{\begin{matrix}x+y-4=1 & \\x-3y+2=3 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow TH2,TH3,TH4$ tương tự




#741393 Cho $a.sin^4\alpha+b.cos^4\alpha=\frac{ab}...

Đã gửi bởi Matthew James on 14-09-2023 - 20:22 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Cho $a.sin^4\alpha+b.cos^4\alpha=\frac{ab}{a+b}$. Chứng minh rằng $a^4.sin^{10}\alpha+b^4.cos^{10}\alpha=\frac{a^4b^4}{(a+b)^4}$




#741387 $a, b, c >0: a+b+c=3$. MIN $P=\frac{a^2}...

Đã gửi bởi Matthew James on 14-09-2023 - 08:37 trong Bất đẳng thức - Cực trị

Có $\frac{a^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$

Tương tự ta có $\frac{b^2}{c+1}\geq b-\frac{bc}{2}$;$\frac{c^2}{a^2+1}\geq c-\frac{ca}{2}$

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được: 

$P\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}$

Lại có $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2=9\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$
$\Rightarrow P\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$




#741386 $0 \leq x,y,z \leq 2$, x+y+z=1. Tìm max $x^{2...

Đã gửi bởi Matthew James on 14-09-2023 - 08:17 trong Bất đẳng thức và cực trị

Có $\left\{\begin{matrix} 0\leq x,y,z & \\x+y+z=1 & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow 0\leq x,y,z\leq 1$

$\Rightarrow x(x-1)\leq 0\Leftrightarrow x^2-x\leq0\Leftrightarrow x^2\leq x$

Tương tự với $y,z$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\leq x+y+z=1$

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,0,0)$ và các hoán vị




#741384 Cho $0\leq x,y,z\leq 2$. x+y+z = 3 tìm Min $x^{...

Đã gửi bởi Matthew James on 13-09-2023 - 21:49 trong Bất đẳng thức và cực trị

Dễ nhận thấy $x^2+y^2+z^2$ có giá trị nhỏ nhất khi $x=y=z=1$

Dùng bất đẳng thức Caunchy-Schwarz Cộng mẫu

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=3$

Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z=1$




#741383 Rút gọn biểu thức

Đã gửi bởi Matthew James on 13-09-2023 - 21:41 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Rút gọn biểu thức: 

$A=\sqrt{(1+tan\alpha).cos^{2}\alpha+(1+cot\alpha).sin^{2}\alpha }$ Với $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$

$B=\frac{1}{sin\alpha-\sqrt{cot^{2}\alpha-cos^{2}\alpha}}$ Với $\alpha \in (0,2\pi )$




#739537 Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d...

Đã gửi bởi Matthew James on 25-05-2023 - 21:58 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Dễ thấy mọi số nguyên tố $n$ đều thoả mãn tính chất đã nêu.
Nếu $n$ là hợp số thỏa mãn tính chất đã nêu, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Vì $\dfrac{n}{p}$ là ước của $n$ nên $\dfrac{n}{p} + 1$ là ước của $n+1$. Mà $n \ge p^2$ và $p > 1$ nên ta có các bất đẳng thức $$\left(\frac{n}{p}+1\right)(p-1) < n + 1 < \left(\frac{n}{p}+1\right)p,$$ mâu thuẫn. Vậy tất cả các số thoả mãn tính chất đã nêu là các số nguyên tố.

 

Dạ cho em hỏi chút là tại sao $\frac{n}{p}+1$ lại là ước của $n+1$ ạ. Nếu $n=10$ thì $p=2$ và $\frac{n}{p}+1=6$ không là ước của $n=11$ ạ  :icon6:  :icon6:




#739526 Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d...

Đã gửi bởi Matthew James on 25-05-2023 - 18:07 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Tôi nghĩ rằng n là số nguyên tố hoặc n = $p^2$  với p là số nguyên tố.

Không biết còn thiếu trường hợp nào không?

 

Em nghĩ chưa đủ đâu ạ. Nếu $n$ là 15 và $d=3$ là ước của $n$ thì $d-1$ vẫn là ước của $n-1$ đấy ạ




#739524 Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d...

Đã gửi bởi Matthew James on 25-05-2023 - 17:11 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d>1$ là ước của $n$ thì $d-1$ là ước của $n-1$




#739523 Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d...

Đã gửi bởi Matthew James on 25-05-2023 - 17:09 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d$ là ước dương của $n$ thì $d+1$ là ước của $n+1$




#739174 Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $2^n+n^2$ là số chính phư...

Đã gửi bởi Matthew James on 11-05-2023 - 21:25 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Tìm các số tự nhiên $n$ sao cho $2^n+n^2$ là số chính phương.




#738318 $a,b,c,d>0$,$a+b+c+d=4$, CMR: $\sum \f...

Đã gửi bởi Matthew James on 03-04-2023 - 21:21 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Cần chứng minh $\sum \frac{1}{a^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{da}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

$\frac{cd+da+bc+ab}{abcd}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

$\Leftrightarrow (a+c)(b+d)\geq (a^2+c^2)abcd+(b^2+d^2)abcd$

$2VP=2ac(a^2+c^2)+2bd(b^2+d^2)\leq (\frac{2ac+a^2+c^2}{2})^2.bd+(\frac{2bd+b^2+d^2}{2})^2.ac\leq \frac{1}{4}(a+c)^4.\frac{(b+d)^2}{4}+\frac{1}{4}(b+d)^4.\frac{(a+c)^2}{4}$

$=\frac{1}{32}(a+c)(b+d)2(a+c)(b+d)[(a+c)^2+(b+d)^2]$

$\leq \frac{1}{32}(a+c)(b+d).(\frac{2(a+c)(b+d)+(a+c)^2+(b+d)^2}{2})^2=2(a+c)(b+d)=2VT$

Suy ra điều phải chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d=1$




#738243 $a,b,c,d>0$,$a+b+c+d=4$, CMR: $\sum \f...

Đã gửi bởi Matthew James on 01-04-2023 - 20:17 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Với $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$, chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$.

 

 




#738133 Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng $\frac...

Đã gửi bởi Matthew James on 28-03-2023 - 14:30 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

@Leonguyen Tại sao  

 $\sum \frac{a}{2a+1}\leq1\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2a+1}\geq1$ ạ ? :icon6:  :icon6: 

$\sum \frac{a-1}{2a+1}\leq0\Leftrightarrow \sum \frac{a}{2a+1}\leq1\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2a+1}\geq1$.

Từ giả thiết đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$, khi đó 

$\sum \frac{1}{2a+1}=\sum \frac{1}{2\frac{x}{y}+1}=\sum \frac{y}{2x+y}=\sum \frac{y^2}{2xy+y^2}\geq\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1.$

Vậy ta có đpcm.




#738097 Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng $\frac...

Đã gửi bởi Matthew James on 27-03-2023 - 17:37 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng $\frac{a-1}{2a+1}+\frac{b-1}{2b+1}+\frac{c-1}{2c+1}\leq 0$




#737104 Cho $x,y,z\in [1;2]$ có tổng bằng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất và l...

Đã gửi bởi Matthew James on 06-02-2023 - 16:19 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

$MaxB$:

Đặt x=a+1;y=b+1;z=c+1

 

Suy ra a,b,c[0;1] và a+b+c=2

0a,b,c1$a^3\leq a^2\leq a$

 

$B=(a+1)^3+(b+1)^3+(c+1)^3=a^3+b^3+c^3+3a+3b+3c+3\leq 7(a+b+c)+3=17$

 

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,2,2)$ và các hoán vị




#737103 Cho $x,y,z\in [1;2]$ có tổng bằng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất và l...

Đã gửi bởi Matthew James on 06-02-2023 - 16:11 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

$MaxA$:

Đặt $x=a+1;y=b+1;z=c+1$

Suy ra $a,b,c\in[0;1]$ và $a+b+c=2$

$0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow a^2\leq a;b^2\leq b;c^2\leq c$

$A=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2=a^2+b^2+c^2+7\leq a+b+c+7=9$

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,2,2)$ và các hoán vị




#737102 Cho $x,y,z\in [1;2]$ có tổng bằng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất và l...

Đã gửi bởi Matthew James on 06-02-2023 - 16:06 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học

Cho $x,y,z\in [1;2]$ có tổng bằng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của  $A=x^2+y^2+z^2$ và $B=x^3+y^3+z^3$




#736677 Tìm $(x;y)$ nguyên thỏa mãn : $x^2+5xy+y^2=5$

Đã gửi bởi Matthew James on 08-01-2023 - 21:12 trong Số học

Tìm $(x;y)$ nguyên thỏa mãn : $x^2+5xy+y^2=5$