Bài 37: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(a,b,c)$ thỏa mãn: $2^{a!}+2^{b!}=c^3$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a > b \Rightarrow a! = d.b!$

$\Rightarrow c^3 = 2^{d.b!} + 2^{b!}=2^{b!}(2^d+1)$

$\Rightarrow 2 \vert c \Rightarrow 2 \vert 2^d + 1 \Rightarrow d = 0$ (vô lí)

$\Rightarrow a = b \Rightarrow c^3 = 2^{a! + 1} \Rightarrow 3v_p(c) = (a!+1) \Rightarrow v_p(c) = \dfrac{a!+1}{3} \Rightarrow a < 3$

$\Rightarrow a = b = 2 \Rightarrow c = 2$

Bài 1. Cho đa thức $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn: $$0<P(1) < P(2) < \ldots < P(n) ,\forall n \in \mathbb{Z}.$$

Chứng minh rằng $P(i)$ là lũy thừa của $2$ với mọi $i = \overline{1,n}$.

Bài 2. Đặt $u(n)$ là hàm tính số ước nguyên tố của $n$. (Ví dụ: $u(1) = 0$ và $u(12) = 2$). Có tồn tại hay không một dãy số $a, a+1, a+2 ,\ldots a+n-1$ thỏa mãn $u(i) \neq u(j)$ với $ a \le i <j  \le a + n-1$ và $a$ nguyên dương.

Bài 3. Phương trình $\tau (n) = \tau (n+1)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương thỏa mãn?

Bài 4. Cho $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ có ít nhất $1$ nghiệm thực. Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên tố $p = 4k+3$ sao cho nó luôn là ước của các số hạng trong dãy số xác định bởi $u_n = P(n), \forall n \ge 1$.

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số hữu tỉ $x$ thì luôn có thể viết dưới dạng $\dfrac{\varphi (m^2)}{\varphi (n^2)}$ với $m,n$ nguyên dương.

Bài 6. Tìm tất cả giá trị $n$ nguyên dương thỏa mãn $\dfrac{\tau (n^2)}{\tau (n)}$ là số nguyên.

Bài 7. Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ thỏa mãn: $$ m+ f(n) \vert f(m) - n^4 ,\forall m,n \in \mathbb{Z}.$$

Bài 8. Tìm tất cả đa thức $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn $\tau (P(n)) = n, \forall n \in \mathbb{Z}^+$.

Bài 9. Tìm tất cả đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ thỏa mãn $P(n) \in \mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{Z}$ và $n \vert 2^{|P(n)|}-1$ với $n$ lẻ.

Bài 10*. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = \dfrac{(n,[\sqrt{2}n])}{\sqrt{n}}, n \in \mathbb{Z}^+$ với $[x]$ là phần nguyên của $x$ không vượt quá $x$.

Bài 13: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thoả mãn: $5^n+1$ chia hết cho $3^n$

Nếu $n$ chẵn thì $5^n + 1 \equiv 2 \pmod 3$

Suy ra $n$ chẵn thì $v_3(5^n+1) = v_3(5+1) + v_3(n) = 1 + v_3(n)$

Cần $1 + v_3(n) \ge n \Rightarrow v_3(n) \ge n - 1 \Rightarrow 3 \vert n$

Với $n=3$ thì thỏa

Với $n > 3$ đặt $n = 3^{v_3(n)}.q$ với $(q,3)=1$ suy ra:

$$v_3(n) \ge 3^{v_3(n)}.q - 1 = (1+2)^{v_3(n)}q  -1\ge (1+2v_3(n))q - 1 > v_3(n)$$ (vô lí)

Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên: $(x + 1)^2 + (x + 2)^2 +...+ (x + 9)^2 = y^2$

Có $(x+1)^2 + (x+2)^2 + \cdots + (x+9)^2 = 9x^2 + 90x + 285 = y^2$

Mà $(3x+15)^2 < 9x^2 + 90x + 285 < (3x+17)^2 \Rightarrow y^2 = (3x+16)^2$ thế vào giải thì ra vô nghiệm

Hôm nay mình tham gia kì thi nhỏ thì có một bài toán này khá hay và quen thuộc với bài toán con bọ dùng đếm truy hồi mà mình không làm được nên mình sẽ đăng để mong một lời giải ngắn gọn và không sử dụng máy tính (vì thi không được dùng)

Cho con bọ ở một vị trí đỉnh A như trên hình. Cứ mỗi một bước thì nó sẽ nhảy sang đỉnh kề với đỉnh nó đang ở trước đó (2 đỉnh kề nhau là 2 đỉnh được nối với nhau bởi một đoạn thẳng). Nếu con bọ nhảy đến đỉnh F hoặc đỉnh B thì nó sẽ không nhảy nữa. Hỏi sau 5000 lần nhảy thì xác suất con bọ nhảy vào đỉnh B là bao nhiêu? (Biết rằng nếu con bọ nhảy vào đỉnh B hoặc F thì sẽ dừng cho dù chưa đủ 5000 lần nhảy)

Hmm, em chưa thử nhưng đoán là bài này dùng đếm bằng truy hồi đúng không ạ? 

Như bài viết ở dưới thì em đổi bài toán về chứng minh số Catalan là số nguyên nhé

Bài toán gợi ý là xem cách đi trên đồ thị tọa độ nguyên từ $(0,0)$ đến $(n,n)$ thỏa mãn một điều kiện nào đó

Đề chỗ này em chưa hiểu lắm anh ạ. Anh có thể giải thích rõ hơn được không ạ? 

Cứ bắt tay nhau là nối một đoạn thẳng ấy em

Cho $2n$ người ngồi quanh một bàn tròn. Có bao nhiêu cách bắt tay thành từng cặp sao cho không có hai cánh tay nào đè lên nhau.

Vấn đề này hình như nằm trong tập san của star education thì phải

Đây là bài toán có từ trước rồi bạn, nó còn chặn trên chặt hơn nữa nhưng hiện tại mình vẫn chưa thể làm ra

Cho đa thức $P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ thỏa $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x+a_0$ có $n$ nghiệm thực. Biết rằng các nghiệm của $P(x)$ tạo thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}[x]$ thì $\max n = 2$

Cho đa thức $P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ thỏa $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x+a_0$ có $n$ nghiệm thực. Biết rằng các nghiệm của $P(x)$ tạo thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng nếu $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}[x]$ thì $\max n = 2$

Dãy $(u_n)$ xác định bởi: $U_{1}=1; U_{2}=2; U_{n+2}= U_{n+1}+9U_{n}$ nếu $n = 2k$ và $U_{n+2}= 9U_{n+1}+5U_{n}$ nếu $n = 2k + 1$ với mọi $n = 0,1,2, ...$

a) CMR $ \sum_{k=1995}^{2000}U_{k}^{2}   \vdots  30$

b) CMR $U_{2n+1}$ không là số chính phương với mọi $n$.

Lời giải câu a)

Bằng quy nạp, được $u_{3k+r}^2 \equiv u_r^2 \pmod 4, \forall 0 \leq r \leq 2$

Chứng minh được $u_n \equiv 9^n \pmod 5, \forall n \not \vdots 2$

Tương tự thì $u_n \equiv 18^{n-1} \pmod 5, \forall n \vdots 2$

Vậy cộng lại và sử dụng một ít số học là ra 

Xin lỗi nhé mình lười gõ Latex lắm.

P/s: Mình ra được kết quả là 3. 

Nếu bạn trình bày ra được thì tốt quá tại mình đang bí bài này

Một bài toán cũ từ Liên Xô:

Có thể sắp xếp hay không $1965$ điểm trong hình vuông cạnh $1$ sao cho mọi hình chữ nhật diện tích $\dfrac{1}{200}$ có cạnh song song với cạnh hình vuông chứa trong nó ít nhất một trong các điểm đó.

bài này có thể đưa về kiểu sai phân nhưng theo dãy khác nhé.

Bạn đưa lời giải cụ thể được không nhỉ?

Cho một nhóm có $n$ người. Nhận thấy rằng với $(n-2)$ người bất kỳ thì số lượng các cặp những người quen biết nhau luôn bằng $3^k$ ($k$ nguyên dương). Tìm tất cả các giá trị có thể của $n$.

Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1 = 1$ và $x_{n+1} = \dfrac{n(n+1)x_n}{n^3x_n + x_n^2 + n^2}$. Tìm $\lim (n^2x_n)$.

Bạn xem ở đây hoặc ở đây

P/s: xem cái sau hơn và tham khảo cái đầu

@truongphat266 Bài toán nước ngoài nào vậy anh, anh đăng lên đi   

Đây nhé 

https://www.jstor.org/stable/2323911

https://math.stackex...ce?noredirect=1

Tìm $n>2$ nhỏ nhất thỏa mãn: $1^2+2^2+....+n^2$ là số chính phương

Vấn đề này có vẻ không cơ bản cho lắm và liên quan tới một bài toán nước ngoài, không biết bạn đăng có thể nào cho mình xin lời giải sơ cấp không nhỉ?

Cho $a$ là số thực khác $0$ và dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0 = a, x_{n+1} = \dfrac{x_n}{\sqrt{2+2\sqrt{1+x_n^2}}}, \forall n \in \mathbb{N}$. Đặt $y_n = \dfrac{x_{n}}{x_{n+1}}$. Chứng minh $(y_n)$ hội tụ và tìm giới hạn đó.

Dễ thấy $\cos BOC=\cos2A=1-2\sin^2 A=1-\frac{a^2}{2R^2},$ tương tự với $\cos COA$ và $\cos AOB.$ 

Ta có \begin{align*}&3\overrightarrow {OG}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \\ &\Rightarrow 9OG^2={\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)^2} = 3{R^2} + 2{R^2}(\cos AOB + \cos BOC + \cos COA)\\ &\Leftrightarrow 9OG^2 = 3{R^2} + 2{R^2}\left( {3 - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2{R^2}}}} \right)=9R^2-(a^2+b^2+c^2)\\ &\Leftrightarrow OG^2 = R^2 - \dfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2) \end{align*}

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài này mình đăng trong THCS mà bạn nên mình không sử dụng Vector nhé

Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh là $a,b,c$. Gọi $O,G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của tam giác ấy. $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng: $OG^2 = R^2 - \dfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)$

Cho $f : \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^*$  thỏa mãn $f(m^2f(n)) = n^2[f(m)]^2, \forall m,n \in \mathbb{N}^*$

Xác định giá trị nhỏ nhất của $f(2005)$.

Trên một mặt phẳng cho $66$ điểm phân biệt và $16$ đường thẳng phân biệt. Gọi $A$ là số bộ $(x,y)$ sao cho $x$ là một điểm thuộc đường thẳng $y$ trong các điểm và đường thẳng đã cho. Chứng minh $A$ không lớn hơn $159$.

Tính $\lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{9k^2+12k+5}{(3k+2)!}$