123abcd nội dung

#742544 Chứng minh rằng dãy $a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n...

Đã gửi bởi 123abcd on 17-12-2023 - 14:25 trong Dãy số - Giới hạn

Cho các số nguyên dương $k, n$, với $k < n − 1$, và các số thực khác $0$: $a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n}$ thỏa mãn, với mọi $i = 0, 1, . . . , k$ thì: $1^ia_1+2^ia_2+...+n^ia_n=0$

Chứng minh rằng dãy $a_{1}, a_{2}, . . . , a_{n}$ đổi dấu ít nhất $k + 1$ lần.

#742511 Biết rằng một hình chữ nhật nhưng không phải là hình vuông được lát khít bằng...

Đã gửi bởi 123abcd on 14-12-2023 - 22:56 trong Tổ hợp và rời rạc

Một đa-mi-nô là một hình được tạo ra bằng cách ghép từ các hình vuông $1 × 1$ với nhau, dọc theo các cạnh của chúng. (Nói riêng hình $1 × 1$ hay $1 × 2$ là các đa-mi-nô). Hai hình đa-mi-nô được coi là giống nhau nếu như từ một hình có thể thu được hình kia bằng cách sử dụng các phép tịnh tiến và phép quay. Chẳng hạn, hai hình đa-mi-nô sau được coi là như nhau:

Biết rằng một hình chữ nhật nhưng không phải là hình vuông được lát khít bằng đúng $8$ hình đa-mi-nô đôi một khác nhau. Hỏi diện tích của hình chữ nhật ít nhất là bao nhiêu?

#742509 Chứng minh rằng có thể thực hiện được điều đó mà chỉ sử dụng đúng $n...

Đã gửi bởi 123abcd on 14-12-2023 - 21:15 trong Tổ hợp và rời rạc

Cho số nguyên dương lẻ $n$. Trong phòng máy tính, có $n$ chiếc máy tính. Hai chiếc máy tính bất kì được nối với nhau bởi một đoạn cáp. Người ta muốn gán màu cho các chiếc máy tính và các đoạn cáp sao cho:

$i)$ $2$ chiếc máy tính bất kì được gán $2$ màu khác nhau;

$ii)$ $n − 1$ đoạn cáp nối với một chiếc máy tính bất kì (với $n − 1$ chiếc máy tính còn lại) được

gán $n − 1$ màu khác nhau;

$iii)$ $1$ chiếc máy tính bất kì và $1$ sợi cáp bất kì nối nó (với một chiếc máy tính khác) được gán

$2$ màu khác nhau.

Chứng minh rằng có thể thực hiện được điều đó mà chỉ sử dụng đúng $n$ màu khác nhau.

#736891 Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}...

Đã gửi bởi 123abcd on 22-01-2023 - 23:07 trong Dãy số - Giới hạn

Cho $q\in(0,1)$. Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}(q^n.n)=0$

#736889 Tìm giá trị lớn nhất của $k$ là số số nguyên không âm trong $2...

Đã gửi bởi 123abcd on 21-01-2023 - 22:45 trong Tổ hợp và rời rạc

Trên đường tròn cho $2022$ điểm đôi một phân biệt. Người ta gán cho mỗi điểm một số nguyên sao cho mỗi số lớn hơn tổng của hai số liền trước nó theo chiều kim đồng hồ.

a) Chứng minh rằng không có hai số nguyên không âm nào đứng cạnh nhau.

b) Gọi $k$ là số số nguyên không âm trong $2022$ số được gán. Tìm giá trị lớn nhất của $k$.

#736888 Có xảy ra trường hợp luôn tìm được $3$ thành phố sao cho $3...

Đã gửi bởi 123abcd on 21-01-2023 - 22:32 trong Tổ hợp và rời rạc

Một vùng nọ có $88$ thành phố và giữa hai thành phố bất kỳ được kết nối bởi một tuyến bay trực tiếp (hai chiều). Ủy ban Hàng không dự kiến cấp phép cho $88$ hãng hàng không khai thác các tuyến bay đó, một tuyến bay bất kì sẽ được khai thác bởi đúng một trong các hãng đó và mỗi hãng khai thác ít nhất một tuyến bat. Hơn nữa, người ta muốn rằng với $3$ hãng hàng không bất kỳ, luôn tìm được $3$ thành phố sao cho $3$ tuyến bay trực tiếp kết nối chúng được khai thác bởi $3$ hãng đó. Hỏi Ủy ban Hàng không có thể thực hiện được điều đó hay không?

#736887 Chứng minh rằng với bất kì cách viết các số $1$ hoặc $–1$...

Đã gửi bởi 123abcd on 21-01-2023 - 22:10 trong Tổ hợp và rời rạc

Trong mỗi ô của bảng ô vuông $n\times n$ ($n \geq 4$) , ta viết các số $1$ hoặc $−1$. Tích của $n$ số thuộc $n$ ô trong bảng sao cho không có hai ô nào cùng thuộc một hàng hoặc một cột được gọi là một số hạng cơ bản. Kí hiệu $S$ là tổng của tất cả các số hạng cơ bản. Chứng minh rằng với bất kì cách viết các số $1$ hoặc $–1$ lên các ô của bảng thì $S$ chia hết cho $4$.

#736886 Chứng minh rằng với $n < 2022$ quá trình chuyển sẽ dừng sau hữu...

Đã gửi bởi 123abcd on 21-01-2023 - 22:05 trong Tổ hợp và rời rạc

Có $2022$ học sinh ngồi thành một bàn tròn. Ban đầu, một học sinh nào đó sẽ được đưa cho $n$ đồng xu, $n$ là số nguyên dương. Ở mỗi lượt, tất cả các học sinh hiện có ít nhất $2$ đồng xu sẽ chuyển $2$ đồng xu sang hai học sinh ngồi bên cạnh (mỗi người $1$ đồng xu).

1) Chứng minh rằng với $n < 2022$ quá trình này sẽ dừng sau hữu hạn lượt.

2) Chứng minh rằng với $n = 2022$ quá trình này kéo dài vô hạn.

#736878 Chứng minh có thể chia $n$ học sinh thành một hoặc hai nhóm sao cho...

Đã gửi bởi 123abcd on 20-01-2023 - 22:05 trong Tổ hợp và rời rạc

Trong một buổi gặp mặt, có $n$ bạn học sinh tham gia. Mỗi bạn đều quen với một số bạn khác. Chứng minh có thể chia các học sinh này thành một hoặc hai nhóm sao cho trong mỗi nhóm, mỗi bạn học sinh đều có số chẵn người quen.