Cho tam giác ABC nhọn, a=BC, b=CA, c=AB. Gọi S là diện tích tam giác ABC và $m_{a},m_{b},m_{c}$ lần lượt là độ dài trung tuyến kẻ từ A,B,C.
CMR: $\frac{m_{a}}{h_{a}}.cosA+\frac{m_{b}}{h_{b}}.cosB+\frac{m_{c}}{h_{c}}.cosC\geq \frac{3}{2}$
Có 70 mục bởi QuocMinh2k8 (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 16-01-2024 - 11:23 trong Hình học
Cho tam giác ABC nhọn, a=BC, b=CA, c=AB. Gọi S là diện tích tam giác ABC và $m_{a},m_{b},m_{c}$ lần lượt là độ dài trung tuyến kẻ từ A,B,C.
CMR: $\frac{m_{a}}{h_{a}}.cosA+\frac{m_{b}}{h_{b}}.cosB+\frac{m_{c}}{h_{c}}.cosC\geq \frac{3}{2}$
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 16-01-2024 - 10:34 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác
Ai giúp em vs ạ(( Em đag cần gấp
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 16-01-2024 - 08:49 trong Công thức lượng giác, hàm số lượng giác
Cho tam giác nhọn ABC có BC=a, AC=b, AB=c. Gọi S là diện tích tam giác ABC và $m_{a},m_{b},m_{c}$ lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C.
CMR: $a.m_{a}.cosA+b.m_{b}.cos B+c.m_{c}.cosC\geq 3S$
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 26-08-2023 - 08:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
Em dùng máy tính bảng nên ko gõ LaTeX được ạ(Bạn chịu khó gõ LaTeX nhé. Còn điểm rơi thì bạn dùng cách nào để tìm ra $x$?
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 25-08-2023 - 11:29 trong Bất đẳng thức và cực trị
Dùng BĐT em thấy dễ hơnTa thấy có dạng tổng bình phương trong ngoặc, nên ta sẽ viết lại biểu thức để làm xuất hiện tổng đó:
\begin{align*}
P & = 2\sqrt {9{x^2} - 6x + 2} + 3\sqrt {4{x^2} + 4x + 2} \hfill \\
& = 2\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^2} + 1} + 3\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + 1} \hfill \\
& = \sqrt {{{\left( {6x + 2} \right)}^2} + 4} + \sqrt {{{\left( {6x + 3} \right)}^2} + 9} \hfill \\
& = \sqrt {{{\left( {6x - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {6x - \left( { - 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} \hfill \\
& = AB + AC \hfill \\
\end{align*}
Trong đó, $A,B,C$ là các điểm có tọa độ lần lượt là $A\left( {6x;1} \right);B\left( { - 2; - 1} \right);C\left( { - 3; - 2} \right)$.
Tới đây, bạn có thể sử dụng một chút kiến thức hình học phẳng để tìm min, hoặc sử dụng BĐT Minkowski:
\[\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \geqslant \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \]
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 10-08-2023 - 11:34 trong Hình học
Nếu đề sửa như này thì mk xin giải như sau:Phải là E thuộc AC, F thuộc AB chứ bạn
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 10-08-2023 - 10:29 trong Hình học
Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác BE, CF cắt nhau tại I (E thuộc AB, F thuộc AC). Gọi O là trung điểm EF. X,Y là hình chiếu của E, F trên BC. CMR OI vuông góc BC
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 05-08-2023 - 10:45 trong Bất đẳng thức và cực trị
Tách vế trái và vế phải,chuyển vế rồi nhân 4, ta được:
$16a^2+36b^2+64c^2-44ab+4bc-28ca≥0$
$\Leftrightarrow (4a)^2 - 2.4a.\frac{11b+7c}{2} + \frac{(11b+7c)^2}{4} -\frac{(11b+7c)^2}{4} + 36b^2 + 64c^2 + 4bc ≥0$
$\Leftrightarrow \left[4a - \frac{11b+7c}{2} \right]^2 + 23\left(\frac{b}{2}- \frac{3c}{2}\right)^2 ≥0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $3a=5b=15c$
XIN LỖI AD VÌ MK DÙNG MÁY TÍNH BẢNG NÊN KO DÙNG CÔNG CỤ ĐƯỢC!!!!!
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 05-08-2023 - 10:32 trong Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh rằng $(2a+3b+4c)^2\geq 23(ab+bc+ca)$
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 08-06-2023 - 21:02 trong Kinh nghiệm học toán
Ngày 10/6 thi rồi, mọi người cho em xin tí kinh nghiệm và động lực với ạ!!!!
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 04-06-2023 - 15:53 trong Hình học
Thấy Quocminh2k8 cũng hay giải hình. Nếu chịu khó học vẽ thì tốt hơn nhiều đó. Mọi người đọc bài bạn làm dễ theo dõi hơn.
Máy tính em ấn vào phần vẽ hình trên diễn đàn thì nó bị lỗi, ko vào đươc.
Chứ ko phải em ko bt vẽ ạ
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 02-06-2023 - 23:56 trong Hình học
Từ P mà lại kẻ tiếp tuyến SA, SB ạ ?
Nếu đề như này thì mk xin giải như sau:
Gọi I là trung điểm MN
Dễ dàng CM SAIB là tgnt
$\Rightarrow \widehat{SIB}=\widehat{SAB}$
Mà $\widehat{SAB}=\widehat{MXB}$ (Vì MX//SA)
$\Rightarrow \widehat{SIB}=\widehat{MXB}$
$\Rightarrow$ MXIB là tgnt
$\Rightarrow \widehat{BXI}=\widehat{BMI}$
Mà $\widehat{BMI}=\widehat{BAN}$
$\Rightarrow \widehat{BXI}=\widehat{BAN}$
$\Rightarrow XI//AN$
Mà I là trung điểm MN
$\Rightarrow$ X là trung điểm MI
$\Rightarrow XM=XY$ (ĐPCM)
MK KO VẼ ĐƯỢC HÌNH
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 02-06-2023 - 23:20 trong Hình học
Cuối cùng cũng sắp thi xong cấp 3 rồi nên hôm nay em xin được phép đăng lên diễn đàn và góp vui với mọi người cũng như dành cho các bạn sắp vào lớp 9 sắp tới về hàng điểm điều hòa trong hình học THPT có thể đem về để giải THCS vô cùng thú vị.
Nếu có sai sót, mong mọi người sẽ giúp đỡ. Và mong mọi người sẽ ủng hộ và đóng góp nhiệt tình cho bài đầu của emNgoài ra, mong mọi lời giải trong đây sẽ đều là thuộc về THCS.
Chủ đề 1. Hàng điểm điều hòa
~~~Định nghĩa~~~
Cho 1 đoạn thẳng $d$ có 4 điểm $A,C,B,D$ thỏa mãn tỉ số: $\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}$$\rightarrow A,B,C,D$ gọi là hàng điểm điều hòa.
Một số kí hiệu thường dùng:
$(ABCD)$: hàng điểm $A,B,C,D$
$O(ABCD)$: Chùm 4 đoạn thẳng cắt nhau tại $O$
Đây là một số hệ quả rút ra từ điều trên mà hay gặp ở câu b) hình ở đề lớp 9 đại trà:
Cho $A,B,C,D$ là hàng điểm điều hòa. Gọi $M$ là trung điểm $AB$, $J$ là trung điểm $CD$.
Chứng minh rằng:
i) $MB^2=MA^2=MC.MD$
ii) $AC.AD=AB.AN$
iii) $\frac{1}{AC}+\frac{1}{AD}=\frac{2}{AB}$
Ứng dụng:
Từ điểm $P$ nằm ngoài $(O)$. Kẻ các tiếp tuyến $SA,SB$ tới $(O)$ ($A,B$ là các tiếp điểm). Kẻ cát tuyến $SMN$. Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $SA$ cắt $AB,AN$ tại $X,Y$. Chứng minh $XM=XY$.
Từ P mà lại kẻ tiếp tuyến SA, SB ạ ?
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 02-06-2023 - 23:08 trong Hình học
$\cos\left ( 2.\frac{90^{o}}{2^{k+1}} \right )=2.\cos^{2}\left ( \frac{90^{o}}{2^{k+1}} \right )-1$
Sao bạn biến đổi được z ?
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 02-06-2023 - 22:59 trong Tài liệu - Đề thi
Bài toán 6: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Mỹ Đình 2 - Quận Nam Từ Liêm, 22/05/2023]Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$.Ngoài bất đẳng thức, năm nay HS chú ý ôn tập thêm các dạng của phương trình vô tỉ.
Đk: $x\geq \frac{3}{2}$
Phương trình $\Leftrightarrow x^{2}+8x-6+2\sqrt{x.\left ( x+4 \right ).2.\left ( 2x-3 \right )}=3x^{2}+7x+2$
$\Leftrightarrow 2x^{2}-x+8-2\sqrt{\left ( 2x^{2}-3x \right )\left ( 2x+8 \right )}=0$
$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2x^{2}-3x}-\sqrt{2x+8} \right )^{2}=0$
$\Rightarrow \sqrt{2x^{2}-3x}-\sqrt{2x+8}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-3x}=\sqrt{2x+8}$
$\Rightarrow 2x^{2}-3x=2x+8$
$\Leftrightarrow$ $2x^{2}-5x-8=0$
$\Rightarrow x=\frac{5+\sqrt{89}}{4}$ $\left (Vì x\geq \frac{3}{2} \right )$
KL: $S=\left \{ \frac{5+\sqrt{89}}{4} \right \}$
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 02-06-2023 - 21:17 trong Tài liệu - Đề thi
Em ở Thanh Hóa nên thi hsg tỉnh 9 thì kiến thức chỉ được dùng đến học kỳ 1, liệu có anh chị hay bạn nào có thê cho em xin một số tài liệu về phần hình hay và khó và cho em biết ngoại trừ Thanh Hóa thì có tỉnh nào chỉ thi kiến thức học kỳ 1 lớp 9 không ạ?
Hầu như toàn thi hết các kiến thức mk biết em ạ, chỉ là phải chứng minh:))
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 02-06-2023 - 20:38 trong Tài liệu - Đề thi
Câu 2:
a) +) Có ac=-2.1=-2<0
$\Rightarrow$ (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.
+) $\left ( x_{1}+2 \right )\left ( x_{2}+2 \right )=6\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+2\left ( x_{1}+x_{2} \right )+4=6\Leftrightarrow -2+2m=2\Leftrightarrow m=2$.
b) +) Có:
$B=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2x_{1}^{2}.x_{2}^{2}=\left ( \left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} \right )^{2}-2\left ( x_{1}x_{2} \right )^{2}=\left ( m^{2}+4 \right )^{2}-8$
$\Rightarrow$ Khi m nguyên thì B nguyên.
+) Có: $B+1=\left ( m^{2}+4 \right )^{2}-7$
Vì $m^{2}$ là số chính phương nên ta có 2 TH
TH1: $m^{2}$ chia hết cho 3
$\Rightarrow m^{2}+4$ chia cho 3 dư 1
$\Rightarrow \left ( m^{2}+4 \right )^{2}$ chia cho 3 dư 1
$\Rightarrow$ $B+1=\left ( m^{2}+4 \right )^{2}-7$ chia cho 3 dư 0 hay chia hết cho 3
TH2: $m^{2}$ chia cho 3 dư 1
Ta chứng minh tương tự, được B+1 chia hết cho 3
$\Rightarrow$ B+1 chia hết cho 3 với m nguyên.
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 02-06-2023 - 19:46 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Bài này là bài thi KT kiến thức toán 9 trường KHTN đợt 4 vòng 1 thì phải:
Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$P^{2}\leq 7(xy+yz+xz)\left ( \frac{x}{3x+4z}+\frac{y}{3y+4x}+\frac{z}{3z+4y} \right )$(1)
Đặt $a=x^{2}+y^{2}+z^{2},b=xy+yz+xz$ thì $b\leq \frac{1}{3}$
Xét:$ \frac{4z}{3x+4z}+\frac{4x}{3y+4x}+\frac{4y}{3z+4y}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}$
$ = \frac{4z^{2}}{3xz+4z^{2}}+\frac{4x^{2}}{3xy+4x^{2}}+\frac{4y^{2}}{3yz+4y^{2}}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}\geq \frac{4}{3(xy+yz+xz)+4(x^{2}+y^{2}+z^{2})}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}$
$= \frac{4}{3b+4a}+\frac{3}{7b}$
$= \frac{16}{4(3b+4a)}+\frac{9}{21b} \geq \frac{49}{16a+33b}=\frac{49}{16+b}\geq 3$
$\Rightarrow \frac{x}{3x+4z}+\frac{y}{3y+4x}+\frac{z}{3z+4y}\leq \frac{1}{ 7(xy+yz+xz)}$(2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow P\leq 1$
Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$(thoả mãn)
Mk tưởng (1) là Bunhia... cho 3 số?
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 01-06-2023 - 23:24 trong Số học
Bài này dùng quy nạp thật:
Tạm gọi đpcm là (1)
Xét với $n=1$ thoả mãn
Giả sử (1) đúng với $n=k$,ta chứng minh (1) cũng đúng với $n=k+1$
Thật vậy: $2^{3^{k+1}}+1=8^{3^{k}}+1=(2^{3^{k}}+1)(4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1)$
Mà $2^{3^{k}}+1\vdots 3^{k+1};4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1=4^{3^{k}}+2-(2^{3^{k}}+1)\vdots 3$ nên $2^{3^{k+1}}+1 \vdots 3^{k+2}$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh $2^{3^{k+1}}+1$ không chia hết cho $3^{k+3}$ hay $4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1$ không chia hết cho $9$
Ta có: $4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1= (2^{3^{k}}+1)^{2}-3.2^{3^{k}}$ không chia hết cho $9$
Suy ra $2^{3^{k+1}}+1$ không chia hết cho $3^{k+3}$
Từ các chứng minh trên ta có đpcm.
Sao $2^{3^{k+1}}=8^{3^{k}}$ ?
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 31-05-2023 - 18:39 trong Hình học
Từ $AB=R\sqrt{3}\Rightarrow AI=\frac{R\sqrt{3}}{2}$
Từ đó $\Rightarrow \widehat{AOI}=60^{\circ}$ (Tỉ số lượng giác góc nhọn trong $\Delta AOI$)
$\Rightarrow \widehat{AOB}=120^{\circ}$ (1)
$\Rightarrow \widehat{AMB}=\frac{1}{2}.\widehat{AOB}=60^{\circ}$
Vì AMBC là tgnt (nội tiêp (O))
$\Rightarrow \widehat{ACB}+\widehat{AMB}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{ACB}=180^{\circ}-\widehat{AMB}=120^{\circ}$ (2)
Dễ dàng CM ANBC là hình bình hành $\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{ANB}$ (3)
Từ (1),(2),(3) $\Rightarrow \widehat{ANB}=\widehat{AOB} (=120^{\circ})$
Mà N, O là 2 đỉnh kề nhau trong tứ giác ANOB
$\Rightarrow$ ANOB là tgnt
$\Rightarrow$ A,B,N,O cùng thuộc 1 đường tròn ( khi $AB=R\sqrt{3}$ )
(ĐPCM)
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 31-05-2023 - 17:25 trong Hình học
Cho (O;R) với dây AB cố định (không qua O). Điểm M thuộc cung lớn AB của (O). Gọi I là trung điểm AB. Vẽ (O') qua M, tiếp xúc AB tại A.Tia MI cắt (O') tại N, cắt (O) tại C. CM:
1) AN//BC
2) $\Delta INB\sim \Delta IBM$
3) BI là tiếp tuyến của (MBN)
4) A,B,N,O thuộc 1 đường tròn khi $AB=R\sqrt{3}$.
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 30-05-2023 - 17:40 trong Hình học
Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Qua B,C kẻ đường thẳng d và d' vuông góc BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB,BC cắt d và d' tại D và E. Chứng minh MA vuông góc DE .
Anh ơi đề lỗi ko ạ chứ sao qua M kẻ đường vuông góc BC cắt d' tại E được ạ?
Hay là vuông góc AC ạ?
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 30-05-2023 - 17:34 trong Hình học
Gọi C là giao OS và AB
Dễ dàng CM: $SC.SO=SA^{2}=SM.SN$
$\frac{SC}{SN}=\frac{SM}{SO}$
$\Delta SCM\sim \Delta SNO(c.g.c)$
$\widehat{SCM}=\widehat{SNO}$$\Rightarrow$MNOC là tgnt
$\Rightarrow \widehat{OCN}=\widehat{OMN}=\widehat{ONM}=\widehat{SCM}$
Mà $\left\{\begin{matrix} \widehat{OCN}+\widehat{ICN}=\widehat{OCI}=90^{\circ}\\ \widehat{SCM}+\widehat{MCI}=\widehat{SCI}=90^{\circ} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \widehat{MCI}=\widehat{NCI}$
$\Rightarrow$ CI là phân giác $\widehat{MCN}$
$\Rightarrow \frac{IM}{IN}=\frac{CM}{CN}$(1)
Xét $\Delta MCN$
CI là phân giác $\widehat{MCN}$
CS vuông góc CI
$\Rightarrow$ CS là phân giác ngoài $\widehat{MCN}$
$\Rightarrow \frac{SM}{SN}=\frac{CM}{CN}$(2)
Từ (1),(2) $\Rightarrow \frac{IM}{IN}=\frac{SM}{SN}\Rightarrow IM.SN=SM.IN$ (đpcm)
Em ko vẽ được hình ạ!
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 30-05-2023 - 17:33 trong Hình học
Gọi C là giao OS và AB
Dễ dàng CM: $SC.SO=SA^{2}=SM.SN$
$\frac{SC}{SN}=\frac{SM}{SO}$
$\Delta SCM\sim \Delta SNO (c.g.c)$
$\widehat{SCM}=\widehat{SNO}$$\Rightarrow$ MNOC là tgnt
$\Rightarrow \widehat{OCN}=\widehat{OMN}=\widehat{ONM}=\widehat{SCM}$
Mà $\left\{\begin{matrix} \widehat{OCN}+\widehat{ICN}=\widehat{OCI}=90^{\circ}\\ \widehat{SCM}+\widehat{MCI}=\widehat{SCI}=90^{\circ} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \widehat{MCI}=\widehat{NCI}$
$\Rightarrow$ CI là phân giác $\widehat{MCN}$
$\Rightarrow \frac{IM}{IN}=\frac{CM}{CN}$(1)
Xét $\Delta MCN$
CI là phân giác $\widehat{MCN}$
CS vuông góc CI
$\Rightarrow$ CS là phân giác ngoài $\widehat{MCN}$
$\Rightarrow \frac{SM}{SN}=\frac{CM}{CN}$(2)
Từ (1),(2) $\Rightarrow \frac{IM}{IN}=\frac{SM}{SN}\Rightarrow IM.SN=SM.IN$ (đpcm)
Đã gửi bởi QuocMinh2k8 on 30-05-2023 - 17:06 trong Bất đẳng thức và cực trị
Áp dụng cosi:
+) $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}\leq 3 \Rightarrow ab+bc+ca\leq 1$
$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{a}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}$
+) $\frac{1}{\sqrt{a+b}}.\frac{1}{\sqrt{c+a}}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a} \right ) \Rightarrow \frac{a}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a} \right )$
Tương tự: ....
$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c} \right )=\frac{1}{2}.(1+1+1)=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}(TM)$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học