Để tính tích phân này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Đặt:

u = sin x

v = sqrt(u^2 + 1/2)

Theo đó:

dv/du = u/sqrt(u^2 + 1/2)

dx = du / cos x

Chúng ta có thể tính toán đạo hàm của v theo u bằng cách sử dụng quy tắc tích của đạo hàm:

dv/du = dv/dx * dx/du

= (dv/dx) * (1/cos x)

= u/sqrt(u^2 + 1/2) * (1/cos x)

= u / (sqrt(u^2 + 1/2) * cos x)

Thay u và v vào tích phân ban đầu, ta được:

∫(pi/6)^(pi/2) sin x * sqrt((sin x)^2 + 1/2) dx

= ∫(1/2)^(sqrt(3)/2) v^2 / sqrt(v^2 - 1/2) * (1/v) * du

= ∫(1/2)^(sqrt(3)/2) v / sqrt(v^2 - 1/2) du

Đặt t = v^2 - 1/2, ta có:

dt/dv = 2v

dv = dt/2v

Thay đổi biến số, tích phân trở thành:

∫(1/2)^(sqrt(3)/2) dt / (2v * sqrt(t))

= (1/2) * ∫(1/2)^(sqrt(3)/2) t^(-1/2) dt

= [t^(1/2)]_(1/2)^(sqrt(3)/2)

= [sqrt(v^2 - 1/2)]_(1/2)^(sqrt(3)/2)

= sqrt[(sqrt(3)^2/2 - 1/2)] - sqrt[(1^2/2 - 1/2)]

= sqrt(2)

Vậy kết quả tích phân ban đầu là sqrt(2).