Thời Gian Làm Bài : 150 phút
Câu 1.
a) Giải hệ phương trình : $\left{\begin{x^2+6y=6x}\\{y^2+9=2xy}$

b) Cho $a = \sqrt{11+6\sqrt{2} } , b=\sqrt{11-6\sqrt{2} }$ . Chứng Minh Rằng $a;b$ Là $2$ Nghiệm Của Một Phương Trình Bậc $2$ Với Hệ Số Nguyên
c) Cho $c=\sqrt[3]{6\sqrt{3}+ 10 } ; d = \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$. Chứng Minh Rằng $c^2 ; d^2$ là $2$ nghiệm của $1$ phương trình bậc $2$ với hệ số nguyên.

Câu 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp ( C ) . $P$ là $1$ điểm di động trên cung $BC$ không chứa $A$. Hạ $AM , AN $lần lượt vuông góc với $PB;PC$.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ đi qua $1$ điểm cố đinh.
b) Xác định vị trí của điểm$ P$ sao cho biểu thức $AM.PB + AN.PC $ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3.
a) Cho $a;b;c;d$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $ab=cd=1$. Chứng minh bất đẳng thức $(a+b)(c+d)+4 \geq 2 (a+b+c+d)$
b) Cho$ a;b;c;d$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $abcd =1$. CHứng minh bất đẳng thức $(ac+bd)(ad+bc) \geq (a+b)(c+d)$

Câu 4. CHo hình thang $ABCD$ có đáy $AB$ và $CD$. Biết rằng đường tròn đường kính $CD$ đi qua trung điểm các cạnh bên $AD ; BC $và tiếp xúc với $AB$. Hãy tìm số đo các góc của hình thang.

Câu 5.
a) Cho $a;b;c$ là các số thực dương phân biệt có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng trong $3$ phương trình $x^2-2ax+b=0 ; x^2-2bx+c=0 ; x^2 -2cx+a=0 $ có ít nhất $1$ phương trình có $2$ nghiệm phân biệt và có ít nhất một phương trình vô nghiệm.
b) Cho $S$ là $1$ tập hợp gồm $3$ số tự nhiên có tính chất : tổng $2$ phần tử tùy ý của S là $1$ số chính phương ( Ví dụ S ={5;20;44} hoặc S= {10;54;90} là các tập hợp thỏa mãn điều kiện trên ). Chứng minh rằng trong tập $S$ có không quá $1$ số lẻ