Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn A-Apollonius của tam giác ABC cắt (O) tại M (khác A) và cắt BC tại N. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB, MAC. Chứng minh rằng I, J, N thẳng hàng.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp. E là giao điểm của AC và BD. F là giao điểm của AD và BC. I là giao điểm thứ hai của (EAB) và (ECD). Chứng minh rằng $\frac{IC}{ID}=\frac{FC}{FD}$

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). I là điểm chính giữa cung BC chứa A. M là trung điểm BC. Đường tròn (I; IM) cắt AB, AC lần lượt tại E, F.

a) Chứng minh rằng I, A, E, F cùng thuộc một đường tròn (tâm J).

b)  Tia phân giác góc BAC cắt (J) tại D. Chứng minh rằng tứ giác OJDM nội tiếp.

Cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến AM, nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau ở P. Gọi H' là điểm đối xứng của H qua M và E, F lần lượt là hình chiếu của P lên AB, AC. Chứng minh rằng E, M, H', F đồng viên.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau ở P. AP cắt lại (O) ở D. A' là điểm đối xứng với A qua BC. Chứng minh rằng M, D, A' thẳng hàng.

Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn (W) đi qua B, C và tiếp xúc với (I) tại P. Chứng minh rằng PD đi qua tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC.

 $\frac{MH}{MP}=\frac{MK}{MQ}$.

Sửa thành $\frac{HM}{HP}=\frac{KM}{KQ}$.

 

$\frac{AM}{PQ}=\frac{CM}{PD}$ 

Lời giải hay quá! Ở vế phải sửa PD thành PQ

Đề ra:

Đề ra:

https://diendantoanh...minh-rằng-tmtn/
p/s: kiến thức lớp 9 thì bạn nên đăng ở box THCS 

Cảm ơn bạn rất nhiều

(Lớp 9) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có I là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với OI cắt AB, CD lần lượt tại E, F. Chứng minh rằng I là trung điểm của EF.

Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. AI cắt DE, BC lần lượt tại L, T. AD cắt FT tại H. Chứng minh rằng B, H, L thẳng hàng.

Lời giải hay quá!

Cho tam giác ABC có trực tâm H.  Đường tròn (T) đi qua B, C cắt AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi F là trực tâm tam giác ADE; BR, CP là các đường cao của tam giác ABC; J là giao điểm của DR và EP. Chứng minh rằng H, J, F  thẳng hàng.

Cho tam giác ABC có góc A bằng 60⁰. Đường thẳng Euler của tam giác ABC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Chứng minh rằng tam giác ADE đều.

Lời giải hay quá! Cảm ơn bạn nhiều!

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MB, MC và cát tuyến MXA (B, C là các tiếp điểm, MX<MA). MA cắt BC tại D, I là điểm đối xứng với A qua D. Kẻ IE song song với AC (E thuộc AB), kẻ IF song song với AB (F thuộc AC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, AEF. Chứng minh rằng HK vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC.

 

 

Lời giải hay quá! Cảm ơn bạn!

Cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến AM, nội tiếp đường tròn (O). Đường đối trung góc A cắt (O) tại điểm thứ hai là X. Gọi Y là điểm đối xứng với X qua BC. Chứng minh rằng Y thuộc AM và hai góc HAX, OXM bằng nhau.

Gọi $X$ là điểm giữa cung $AB$ không chứa $(I),(J)$; $I_{0},J_{0},I',J'$ lần lượt là tiếp điểm của $(I),(J)$ và $AB,(O)$. Ta có kết quả quen thuộc là $X\in I_{0}',J_{0}J'$. Mặt khác $\overline{XI_{0}}\cdot \overline{XI'}=\overline{XJ_{0}}\cdot \overline{XJ'}=XA^{2}=XB^{2}$ nên $X$ thuộc tiếp tuyến chung tại $K$ của $(I),(J)$. Suy ra $K$ thuộc $(X,XA)$ cố định. $\square$

PS: Đây cũng là cách dựng hai đường tròn $(I),(J)$

 

Lời giải hay quá! Cảm ơn bạn nhiều!

Cho đường tròn (O) và điểm A, B thuộc đường tròn sao cho A, O, B không thẳng hàng. (I), (J) lần lượt tiếp xúc với AB tại M, N tiếp xúc với cung nhỏ AB tại P, Q và tiếp xúc ngoài nhau tại K. Chứng minh rằng K thuộc một đường tròn cố định.

Cho hai đường tròn $(I)$ và $(J)$ ngoài nhau. $MN,PQ$ lần lượt là tiếp tuyến chung ngoài và chung trong của hai đường tròn đó ( $M,P$ thuộc $(I)$ và $N,Q$ thuộc $(J)$ ). Chứng minh rằng $MP, NQ, IJ$ đồng quy.