Anh ơi Em nghĩ mình cần xét trường hợp $x+2+2\sqrt{2x^{2}-1}=0$ vì biết đâu 1 khả năng nhỏ đó là nghiệm của pt thì sao ?

Khi biến đổi được thành tích là đủ 2 trường hợp luôn rồi nhé (chỉ khác hình thức trình bày, theo mình làm vậy thì trình bày tương đương một mạch luôn)

Cách 2: $PT \Leftrightarrow 10x^{2}+3x-6=2(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}$

$\Leftrightarrow 7x^{2}-4x-8+(3x+1)(x+2-2\sqrt{2x^{2}-1})=0$

Tới đây ta liên hợp sẽ ra nhân tử chung là $7x^{2}-4x-8$ ( và trước đó ta cần xét đk $x+2+2\sqrt{2x^{2}-1}\neq 0$) 

Phân tích thành nhân tử luôn, né xét điều kiện:

$7x^{2}-4x-8+(3x+1)(x+2-2\sqrt{2x^{2}-1})=0$

Giải PT: $\log_{3}{\frac{x^2+x+1}{x}}=2-2x-x^2$

$${log_{2}}^{\frac{x^{2}+2}{2x+5}}=-x^{2}+4x+9$$

$\log_{2}{\frac{x^{2}+2}{2x+5}}=-x^{2}+4x+9$ (1)

ĐK: $x>-\frac{5}{2}$.

PT (1) tương đương với

$x^{3}-4x^{2}-2x+31\geq x+13\Leftrightarrow (x-3)^{2}(x+2)\geq 0$

$VT\geq x+13\geq VP$

P/s: Ý tưởng bài này là đánh giá nhưng hơi khó nhìn( ý là chưa được tự nhiên cho lắm )   Bạn còn cách giải quyết khác k 

Có thể đặt ẩn phụ đưa về PT bậc cao hoặc liên hợp

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $\frac{x+1}{x}+\frac{x+2}{x+1}+\frac{x+3}{x+2}+\left | x+4 \right |=x+m$ có đúng ba nghiệm phân biệt 

Lập BBT của hàm số $f(x)=\frac{x+1}{x}+\frac{x+2}{x+1}+\frac{x+3}{x+2}+\left | x+4 \right |-x$ sẽ suy ra $m \le 7$.

Cho $a,b,c\in \mathbb{R}$. Đặt $M=\max\limits_{\left[ -1;1 \right]}\left| 4x^3+ax^2+bx+c \right|$. Chứng minh rằng $M\ge 1$.

Cho hàm số $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ và $g(x)$ liên tục trên $(-1;1)$ thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{1}{2}} xg(x) \mathrm{\,d} x=\ln{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$ và $\left( 1-x^2\right)f^2(x)g(f(x))=4x^2g(x),\,\forall x\in(-1;1)$. Tính $\int_{0}^{\frac{1}{2}} g(x)\mathrm{\,d}x$.

$\!\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$

$$\begin{equation}\begin{split} \int\frac{3\sin x- 4\cos x}{\sin x- 2\cos x} \end{split}\end{equation}$$

Ta có $3\sin x- 4\cos x=\frac{11}{5}(\sin x-2\cos x)+\frac{2}{5}(\cos x+2\sin x)$.

Cho $x$, $y$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=\frac{2}{3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{y}{3 x^{2}+1}+\frac{x}{3 y^{2}+1}$

P/s: Anh NAT cho em gõ dùm nhé 

 

ĐKXĐ: $4\geq x\geq 2$

Trước tiên ta chưa thể đánh giá ngay 2 vế, mà ta cần biến đổi 1 bước như sau:

PT $\Leftrightarrow \frac{(x-2)\sqrt{x-2}-2\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2+2(x-2)\sqrt{x-2}}{x-1}$

$\Leftrightarrow \frac{2(\sqrt{x-2}+1)(x-1-\sqrt{x-2})}{x-1}=\frac{(\sqrt{x-2}+1)(x-3-\sqrt{x-2})}{\sqrt{4-x}+x-5}$

$\Leftrightarrow \frac{2(x-1-\sqrt{x-2})}{x-1}=\frac{x-3-\sqrt{x-2}}{\sqrt{4-x}+x-5}$     (*)

    ( Vì $\sqrt{x-2}+1 >0$  )       

Giờ ta đi đánh giá :

VT (*) $\geq 1$ $\Leftrightarrow \frac{2(x-1-\sqrt{x-2})}{x-1}\geq 1\Leftrightarrow (\sqrt{x-2}-1)^{2}\geq 0$    ( Quy đồng nhân chéo lên biến đổi, do mẫu luôn lớn hơn 0)

VP (*) $\leq 1$ $\Leftrightarrow \frac{x-3-\sqrt{x-2}}{\sqrt{4-x}+x-5}\leq 1\Leftrightarrow x-3-\sqrt{x-2}\geq \sqrt{4-x}+x-5$  ( Vì mẫu $\sqrt{4-x}+x-5 <0$ )

Biến đổi tiếp dẫn đến $(x-3)^{2}\geq 0$ ( luôn đúng)

Vậy ...

   

Cảm ơn Le Tuan Canhh, bạn đã gõ chính xác theo cách của mình.

Ngoài ra, có thể đánh giá theo cách sau:

Ta có: $\frac{2+(2 x-4) \sqrt{x-2}}{x-1}-\sqrt{x-2}-1=\dfrac{\left(\sqrt{x-2}-1\right)(x-3)}{x-1}=\dfrac{(x-3)^2}{(x-1)\left(\sqrt{x-2}+1\right)}\ge 0$.

Tương tự, ta cũng đánh giá được: $\frac{(x-4) \sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}-\sqrt{x-2}-1 \le 0$.

Giải phương trình: $\frac{(x-4)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2+(2x-4)\sqrt{x-2}}{x-1}$

Đánh giá hai vế tìm được $x=3$.

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{3}+3x y^{2}+x=\sqrt[3]{1-3 x y^{2}}+1 \\ y+x \sqrt{3}=\sqrt[3]{2-3 x^{2} y}+\sqrt{\frac{2}{y}-y^{2}} \end{matrix}\right.$, với $x, y \in \mathbb{R}$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0 ; 1]$ thỏa mãn $\int_{0}^{1} x f(x) dx=0$ và $\max_{[0;1]} |f(x)|=1$. Tính tích phân $I=\int_{0}^{1} e^x f(x) dx$.

Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} x^2-yz=2 \\ y^2-zx=3 \\ z^2-xy=4 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+2(y+1) \sqrt{x-1}+y=0 \\ y+\sqrt{x^{2}-x}+2=x+\sqrt{y^{2}+y}  \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x(x^2-x+1)=(y+2)\sqrt{y+1} \\ x(x^2+x+1)=\sqrt{(y+1)(y+2)}  \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3+y=3x+4 \\ y^3+z=6y+6 \\ z^3+x=9z+8 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} a^2b=a+c \\ b^2c=b+a \\ c^2a=c+b \end{matrix}\right.$

Giải phương trình sau : $2(x^{2}-4x+6)-3\sqrt[3]{x^{3}+27}=0$

PT tương đương với $2(x^2-3x+9)-3\sqrt[3]{(x^2-3x+9)(x+3)}-2(x+3)=0$

Không biết chỗ cái căn đó có nhầm không?

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} xy-x-y=1 & \\ 4x^3-12x^2+9x=-y^3+6y+7 & \end{matrix}\right.$