Đến nội dung

perfectstrong nội dung

Có 797 mục bởi perfectstrong (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#744422 Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1cm mà không chứa điểm nà...

Đã gửi bởi perfectstrong on Hôm nay, 22:34 trong Dành cho giáo viên các cấp

Không đăng một bài nhiều lần.

https://diendantoanh...24-điểm-đã-cho/




#744412 $DF$ luôn đi qua 1 điểm cố định

Đã gửi bởi perfectstrong on Hôm qua, 23:15 trong Hình học

Lời giải rất cẩn trọng và đáng nể :D Bởi thế mới thấy nếu sử dụng góc định hướng thì cả 7 TH đều quy về 1 :)




#744401 Đề thi chọn đội tuyển Olympic quốc tế (TST) năm 2024

Đã gửi bởi perfectstrong on Hôm qua, 17:24 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Năm nay đa thức là mốt mới à :D Tới những 3 bài liên quan tới đa thức.




#744393 Chứng minh rằng: $F;H;K$ thẳng hàng.

Đã gửi bởi perfectstrong on Hôm qua, 02:43 trong Hình học

Một cách "trâu bò" theo cấp 2 (vắn tắt):

Vẽ $DH$ cắt $CK$ tại $G$, $AH$ cắt $BK$ tại $I$. Dễ thấy $GHIK$ là hình bình hành.

2024-03-26_20h42_44.png

Ta sẽ chứng minh bằng Menelaus đảo cho tam giác $GDC$ với cát tuyến $H,K,F$:

\begin{equation}\label{eq_target} \frac{{HD}}{{HG}}\frac{{KG}}{{KC}}\frac{{FC}}{{FD}} = 1\end{equation}

Trước hết, ta sẽ tính từng tỉ số một, chú ý các cặp song song: $DD' \parallel BB'$ và $AA' \parallel CC'$.

\begin{equation}\label{eq_frac_1}\frac{{HD}}{{HG}} = \frac{{A'D}}{{A'C'}}\end{equation}

\begin{equation}\label{eq_frac_2} \frac{{KG}}{{KC}} = \frac{{B'D'}}{{B'C}}\end{equation}

Vậy từ \eqref{eq_frac_1} và \eqref{eq_frac_2}, ta có được:

\begin{equation}\label{eq_frac_1_2} \frac{{HD}}{{HG}}\frac{{KG}}{{KC}} = \frac{{A'D}}{{A'C'}}\frac{{B'D'}}{{B'C}} = \frac{{A'D}}{{B'C}}\frac{{B'D'}}{{A'C'}} \end{equation}

Tiếp tục tìm cách xử lý từng tỉ số:

\[\frac{{ED'}}{{ED}} = \frac{{EB'}}{{EB}} = \frac{{ED' + EB'}}{{ED + EB}} = \frac{{B'D'}}{{BD}} \Rightarrow B'D' = BD\frac{{ED'}}{{ED}}\]

Tương tự, ta có $A'C' = AC\frac{{EA'}}{{EA}}$ nên $\frac{{B'D'}}{{A'C'}} = \frac{{BD}}{{AC}}\frac{{ED'}}{{ED}}\frac{{EA}}{{EA'}} = \frac{{BD}}{{AC}}$ (chú ý rằng $\Delta EAA' \sim \Delta EDD' \Rightarrow ED'.EA = EA'.ED$)

Lại có $A'B'\parallel CD \Rightarrow \frac{{A'D}}{{B'C}} = \frac{{EA'}}{{EB'}} = \frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{AD}}{{BC}}$ (do $\Delta EDA \sim \Delta ECB$)

Từ \eqref{eq_frac_1_2}, ta có được \[\frac{{HD}}{{HG}}\frac{{KG}}{{KC}} = \frac{{AD}}{{BC}}\frac{{BD}}{{AC}}\]

Vậy để có \eqref{eq_target}, ta chỉ cần cm \[\frac{{FD}}{{FC}} = \frac{{AD}}{{BC}}\frac{{BD}}{{AC}}\]

Mà điều này thì chỉ cần sử dụng $\Delta FCB \sim \Delta FAD$  và $\Delta FBD \sim \Delta FCA$. Ta có đpcm.




#744392 Chứng minh rằng: $F;H;K$ thẳng hàng.

Đã gửi bởi perfectstrong on Hôm qua, 02:08 trong Hình học

2024-03-26_20h05_44.png

 

Bài này đẹp nhỉ :D Nếu dùng kiến thức cấp 3 thì $F,H,K$ cùng nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn đường kính $AB$ và $CD$. Còn dùng cấp 2 thì chưa biết sao :D




#744361 $a(x+y)=b(x-y)$. CMR $x^2 + y^2 +2a^2+2b^2$ là hợp số

Đã gửi bởi perfectstrong on 25-03-2024 - 20:03 trong Số học

Xét các số nguyên dương $a,b,x,y$ thoả mãn $a(x+y)=b(x-y)$.Chứng minh rằng tổng $x^2 + y^2 +2a^2+2b^2$ là hợp số.

 

Đây là đề thi giải toán qua thư trong tạp chí Toán Tuổi Thơ 2 số 254 tháng 3/2024. Bạn đã vi phạm quy định của VMF nhiều lần liên tiếp nên sẽ bị ban.




#744360 CM $ab+1$ là số chính phương biết $a=\overline{11...

Đã gửi bởi perfectstrong on 25-03-2024 - 20:02 trong Số học

Cho $a=\overline{11\ldots 11}$ (2024 chữ số 1)và $b=\overline{40\ldots 08}$ (2023 chữ số 0).Chứng minh rằng $ab+1$ là số chính phương

Đây là đề thi giải toán qua thư trong tạp chí Toán Tuổi Thơ 2 số 254 tháng 3/2024. Bạn đã vi phạm quy định của VMF nhiều lần liên tiếp nên sẽ bị ban.




#744359 Chứng minh luôn tìm được số nguyên $c$ thoả mãn $ac+2023$...

Đã gửi bởi perfectstrong on 25-03-2024 - 20:01 trong Số học

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên thay đổi sao cho $ab-2$ luôn là số chính phương. Chứng tỏ rằng khi đó ta luôn tìm được số nguyên $c$ sao cho $ac + 2023$ và $bc + 2023$ đều là tổng của hai số chính phương.

 

Đây là đề thi giải toán qua thư trong tạp chí Toán Tuổi Thơ 2 số 254 tháng 3/2024. Bạn đã vi phạm quy định của VMF nhiều lần liên tiếp nên sẽ bị ban.




#744272 Chứng minh: Nếu chọn 31 số trong tập hợp {1,2,...,60} thì 2 trong s...

Đã gửi bởi perfectstrong on 20-03-2024 - 19:24 trong Số học

Bạn nghĩ sâu quá rồi, chỉ cần 1 cặp chẵn lẻ là nguyên tố cùng nhau rồi! Chọn ra 31 số thì phải có 1 cặp chẵn lẻ theo Dirichlet

$\{6,9\}$ đâu có nguyên tố cùng nhau đâu thầy :D. Đúng là dùng Dirichlet nhưng phải chia $60$ số đã cho thành $30$ cặp số tự nhiên liên tiếp: $\{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}, \ldots, \{59,60\}$. Khi đó mới đảm bảo là tồn tại 2 số nguyên tố cùng nhau.
——
@perfectstrong : Nhiều lúc cũng “lú” thật!



#744271 Chứng minh rằng: $\frac{AH}{A'H'}=...

Đã gửi bởi perfectstrong on 20-03-2024 - 19:22 trong Hình học

À xin lỗi, mình quên ghi rõ. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.




#744261 Chứng minh rằng: $\frac{AH}{A'H'}=...

Đã gửi bởi perfectstrong on 20-03-2024 - 05:17 trong Hình học

Quy về chứng minh $\frac{{AH}}{{BC}} = \cot A$

Gợi ý: Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$. Hạ $OM \perp BC$ tại $M$.




#744167 Học toán ở nước ngoài hay VN cái nào tốt hơn?

Đã gửi bởi perfectstrong on 15-03-2024 - 03:25 trong Kinh nghiệm học toán

Nếu có điều kiện thì vẫn nên đi, dù ngắn hay dài, xa hay gần. Ông bà mình cũng bảo là "Đi một ngày đàng học một sàng khôn" mà :D




#744166 Xin góp ý về phương pháp tư duy trong hình học

Đã gửi bởi perfectstrong on 15-03-2024 - 03:23 trong Kinh nghiệm học toán

Hình học hay phần nào khác cũng cần làm nhiều để quen tay.

Ngoài ra, một mẹo nhỏ mà thầy mình truyền lại là hãy vẽ các đường thẳng thay cho đoạn thẳng, để cho chúng giao nhau xem có tính chất gì hay.




#744124 Chứng minh rằng:$N;K;I;H$ thẳng hàng.

Đã gửi bởi perfectstrong on 13-03-2024 - 03:31 trong Hình học

$N,K,I$ tạo thành đường thẳng Steiner, còn $G,J,I$ tạo thành đường thẳng Simpson. Có rất nhiều bài toán thú vị về hai khái niệm này :D Các bạn có thể tìm hiểu thêm :)




#744123 Cho hình chóp S.ABCD... Tìm $x$ để diện tích thiết diện lớn nhất

Đã gửi bởi perfectstrong on 13-03-2024 - 03:18 trong Hình học không gian

Đấy đơn giản là một đa thức bậc 2 $f(x)=ax^2+bx+c$ với hệ số bậc cao nhất $a$ là số âm. Bạn có thể dùng cauchy, đạo hàm hoặc tách tổng bình phương để tìm đỉnh của parabol.

Nếu tách tổng bình phương thì sẽ có $f(x)=a\left( {x+\frac{b}{2a}} \right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \le c - \frac{b^2}{4a}$




#744122 Học toán ở nước ngoài hay VN cái nào tốt hơn?

Đã gửi bởi perfectstrong on 13-03-2024 - 03:09 trong Kinh nghiệm học toán

Xin hỏi bạn đang ở cấp độ học nào thế? Trung học hay đại học? Hay cao học?




#744087 Chứng minh rằng:$S_{m+n}+S_{m-n}=S_{m}.S_...

Đã gửi bởi perfectstrong on 11-03-2024 - 15:14 trong Đại số

Để ý rằng cặp số $(\sqrt 2 +1; \sqrt 2 -1)$ không hề có vai trò nào khác ngoài đẳng thức $(\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 - 1)=1$. Vậy thì ta hoàn toàn có thể thay thế bằng một bộ $\left( {\alpha; \frac{1}{\alpha}} \right)$.




#744024 Số nghiệm $x_{1} + x_{2} + ... + x_{m} = n...

Đã gửi bởi perfectstrong on 08-03-2024 - 01:31 trong Tổ hợp và rời rạc

N* nha bạn

Chỉ việc thay $x_i = y_i + 1$ là quy về bài toán chia kẹo kinh điển. Đáp số là $C_{n-1}^{m-1}$




#743968 Ước nguyên tố của $a_i + a_j$ lớn hơn $l$

Đã gửi bởi perfectstrong on 05-03-2024 - 09:16 trong Số học

Chọn $l > 2a_n$ thì sao bạn?




#743911 Tìm vô cùng bé tương đương của tổng hiệu hai vô cùng bé

Đã gửi bởi perfectstrong on 01-03-2024 - 10:58 trong Giải tích

Mở đầu ta xem xét định lí sau:

Định lý
Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} v(x)$ thì $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)\cdot v(x)$

Qua định lí này ta thấy rằng dễ dàng tìm vô cùng bé tương đương cho một tích bằng thế vô cùng bé tương đương cho từng hàm số nhưng đối với tổng hoặc hiệu thì điều này trở nên "nguy hiểm". Ta xét ví dụ sau đây

Ví dụ
Ta biết $\tan x \stackrel{x \to 0}{\sim}$ và $x \stackrel{x \to 0}{\sim} x$ nhưng $\tan x - x \stackrel{x \to 0}{\not\sim} x- x =0$ nhưng trên thực tế $\tan x -x \stackrel{x \to 0}{\sim} \dfrac{x^3}{3}$

Hàm $f(x)=0$ vẫn thỏa mãn điều kiện trong lân cận quanh $x=0$, và $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{3} = 0$ thì đâu khác gì $\lim_{x \to 0} f$ ?

Mình lại nghĩ ví dụ này đúng, chỉ là tùy tình huống mà sẽ có lợi hay không.




#743893 Topic:Tìm số nguyên tố a,b.

Đã gửi bởi perfectstrong on 29-02-2024 - 09:15 trong Số học

Đây có phải bài còn đang trong thời hạn gửi không? Nếu thế thì bạn không được phép đăng lên đây.

 

Hơn nữa, bạn tiếp tục vi phạm quy tắc đặt tiêu đề, nên topic này sẽ bị khóa.




#743869 $ T = abc.$

Đã gửi bởi perfectstrong on 27-02-2024 - 10:38 trong Bất đẳng thức và cực trị

Chú ý đẳng thức $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$




#743868 Tính S=$\textrm{C}_{2018}^{0}+3^...

Đã gửi bởi perfectstrong on 27-02-2024 - 10:30 trong Tổ hợp và rời rạc

Bài này phải ở mức THPT hoặc Olympic nên mình sẽ chuyển về bên ấy.

 

Có nhiều cách chứng minh bài toán này. Tổng đã cho tương đương với

\[S = \sum\limits_{k = 0}^{1014} {{3^{2k}}C_{2018}^{2k}} \]

Nhìn hạng tử $3^{2k}C_{2018}^{2k}$ làm ta liên tưởng tới số hạng của khai triển nhị thức $(1+3x)^n$, nên ta đặt $f\left( x \right) = {\left( {1 + 3x} \right)^{2018}}$.

Lại chú ý rằng tổng $S$ chỉ có những số hạng mũ chẵn, nên ta phải tìm cách triệt tiêu các số mũ lẽ của $f$.

Một cách thông dụng là xét $f(x)+f(-x)$, khi đó các số mũ lẻ sẽ tự triệt tiêu nhau.

\[S = \frac{{f\left( 1 \right) + f\left( { - 1} \right)}}{2} = ...\]




#743856 Tăng tốc độ giải toán

Đã gửi bởi perfectstrong on 26-02-2024 - 17:11 trong Kinh nghiệm học toán

1. Đánh giá độ khó của từng bài, xếp theo thứ tự dễ đến khó rồi tấn công từ bài.

2. Tập giải nhiều bài để có được trực giác và nhiều phương pháp.

Hai việc này thực ra đi song hành với nhau: làm nhiều mới biết được bài khó hay dễ.

Còn về cách trình bày, bạn tập trình bày lý luận ngược: muốn chứng minh A, ta cần có B và C. Để chứng minh B, ta có ... Để chứng minh C, ta thấy rằng có D, E, F, v.v.




#743820 Topic:Bài toán tìm các số nguyên tố a,b.

Đã gửi bởi perfectstrong on 24-02-2024 - 18:33 trong Số học

Bạn vui lòng đặt tiêu đề theo quy định.

https://diendantoanh...ệc-đặt-tiêu-đề/

Sau đó, hãy gõ công thức toán bằng LaTeX như hướng dẫn ở đây : https://diendantoanh...-trên-diễn-đàn/

Bạn có 3 ngày để sửa bài viết. Nếu bạn không làm đúng quy định thì bài viết sẽ bị khóa vĩnh viễn.