1) $x^2 + 2ax +\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^2+x -\frac{1}{16}}$ với $a\epsilon \left ( 0;\frac{1}{4} \right )$

1, Có $x^{2}+2ax+\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
$\Leftrightarrow (a^{2}+2ax+x^{2})-(a^{2}+x-\frac{1}{16})+(a+x)=\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
$\Leftrightarrow (x+a)^{2}-(a^{2}+x-\frac{1}{16})+(x+a)-\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}=0$
$\Leftrightarrow ((x+a)-\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}})((x+a)+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}+1)=0$
Th1:$x+a=\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
Đk: $x\geq -a$
$\Rightarrow x^{2}+x(2a-1)+\frac{1}{16}=0$
$\Leftrightarrow x=...$
Th2:$\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}=-x-a-1$
Đk: $x\leq -a-1$
$\Rightarrow x^{2}+x(2a+1)+2a+\frac{17}{16}=0$
$\Rightarrow x=...$

Bài 86:
Đk:$ \frac{1}{5}\leq x\leq \frac{5}{2}$
Có $(26-x)\sqrt{5x-1}-(13x+14)\sqrt{5-2x}+12.\sqrt{5x-1}.\sqrt{5-2x}=18+32$ (1)
Đặt $\sqrt{5x-1}=a$ ($a\geq 0$)
$\sqrt{5-2x}=b$ ($b\geq 0$)
$\Rightarrow 2a^{2}+5b^{2}=23$ (2)
Và $\Rightarrow (1)\Leftrightarrow (a^{2}+3b^{2}+12)a-(3a^{2}+b^{2}+12)b+ab=6a^{2}+6b^{2}+8$
$\Leftrightarrow (a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3})-6(a^{2}-12ab+b^{2})+12(a-b)-8=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{3}-6(a-b)^{2}+12(a-b)-8=0$
$\Leftrightarrow (a-b-2)^{3}=0$
$\Rightarrow a=b+2$
Theo (2) có $2a^{2}+5b^{2}=23$
$\Rightarrow 2(b+2)^{2}+5b^{2}-23=0 ....$

Mình nghĩ bạn viết đề sai. Vì nếu đề bài như trên thì bài toán này không đồng bậc.
Mình nghĩ nó là thế này.
Có $\frac{xy}{x+3y+2z}+\frac{yz}{y+3z+2x}+\frac{xz}{z+3x+2y}
\leq \frac{1}{9}.xy.(\frac{1}{2y}+\frac{1}{z+y}+\frac{1}{z+x})+\frac{1}{9}.yz.(\frac{1}{2z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z+x})+\frac{1}{9}.xz.(\frac{1}{2x}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z})$
$= \frac{1}{9}(\frac{x}{2}+\frac{xy}{z+y}+\frac{xy}{z+x}+\frac{y}{2}+\frac{yz}{x+y}+\frac{yz}{z+x}+\frac{z}{2}+\frac{zx}{x+y}+\frac{zx}{y+z})$
$= \frac{1}{9}(\frac{x+y+z}{2}+\frac{xy+xz}{z+y}+\frac{xy+yz}{z+x}+\frac{yz+zx}{x+y})$
$=\frac{x+y+z}{6} (Đ.P.C.M)$
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

Điều này không đúng bởi vì
Với 3 số a,b,c ta chỉ có thể giả sử a là số lớn nhất
$\Rightarrow (a-b)(a-c) \ge 0$
$b-c$ chưa xác định dấu

Mình giả sử $a\geq b\geq c$ rồi bạn.

Bài 75:
Đk: ....$0< x\leq \frac{a}{b}$
Có $\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}=\frac{(b+c)x+x^{2}}{a+x^{2}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a-bx}{cx}}-1=\frac{(b+c)x+x^{2}}{a+x^{2}}-1$
$\Leftrightarrow \frac{\frac{a-bx}{cx}-1}{\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1}=\frac{(b+c)x+x^{2}-a-x^{2}}{a+x^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{a-(b+c)x}{cx(\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1)}+\frac{a-(b+c)x}{a+x^{2}}=0$
Vì $\frac{1}{cx(\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1}+\frac{1}{a+x^{2}}>$ 0 với $a, b, c> 0$ và $0< x\leq \frac{a}{b}$ $\Rightarrow x= \frac{a}{b+c}$

Để chứng minh $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}{ab^{2}+c^{2}+ca^{2}}\geq \frac{5}{2}$
Ta cần chứng minh:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (1)
và $\frac{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}{ab^{2}+c^{2}+ca^{2}}\geq1$ (2)
Thấy (1) luôn đúng, là bđt Nesbit.
Ta cần chứng minh (2) hay phải chứng minh
$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq ab^{2}+c^{2}b+ca^{2}$ với giả sử $a\geq b\geq c$
$\Leftrightarrow ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)\geq 0$
$\Leftrightarrow ab(a-b)+bc(b-a+a-c)+ca(c-a)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(ab-bc)+(a-c)(bc-ca)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a-c)(b-c)\geq 0 (đúng)$
Vậy ta có Đ.P.C.M. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bài 97:
Bđt đã cho tương đương với:
$\frac{a^{2}+1}{lna}> \frac{b^{2}+1}{lnb}$
Xét hàm $f(x)=\frac{x^{2}+1}{lnx}$ với $x\in (0;1)$
Có $f'(x)=\frac{2x.lnx-\frac{1}{x}.(x^{2}+1)}{ln^{2}x}=\frac{x^{2}.(2.lnx-1)-1}{x.ln^{2}x}< 0$ với $\forall x\in (0;1)$
$\Rightarrow f(x)$ là hàm nghịch biến.
Vì $0< a< b< 1\Rightarrow f(a)> f(b)$ (Đ.P.C.M)

Xin lỗi. Không đeo kính. Bị nhầm với sin2x. Đầu óc chán thật.

Bài 20. Tính tích phân: $I=\int_{0}^{12}\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{x+4}}$

----------------
Mọi người cùng thảo luận nào.

Đặt $\sqrt{4x+1}=t-2\sqrt{x+4}\Rightarrow 4x+1=t^{2}-4t\sqrt{x+4}+4x+16$
$\Leftrightarrow t^{2}-4t\sqrt{x+4}+15=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+4}=\frac{t^{2}+15}{4t}$
$\Leftrightarrow x=(\frac{t^{2}+15}{4t})^{2}-4$
$\Rightarrow dx=2.\frac{t^{2}+15}{4t}.\frac{2t.4t-4(t^{2}+15)}{16t^{2}}dt$
$\Rightarrow dx=\frac{t^{2}+15}{2t}.\frac{4t^{2}-60}{16t^{2}}dt$
$\Rightarrow dx=\frac{t^{4}-225}{8t^{3}}$
Đổi cận $x\in \left [ 0;12 \right ]\Rightarrow t\in \left [ 5;15 \right ]$
$\Rightarrow I=\int_{5}^{15}\frac{1}{t-\frac{t^{2}+15}{4t}}.\frac{t^{4}-225}{8t^{3}}dt$
$=\int_{5}^{15}\frac{t^{4}-225}{6t^{2}(t^{2}-5)}$
$=\int_{5}^{15}\frac{dt}{16}+\int_{5}^{15}\frac{5(t^{2}-45)}{6t^{2}(t^{2}-5)}dt$=.....
p/s: Cách làm này không biết đúng không. Mình xóa bài trước đi ha.

Đúng rồi. Bị gián đoạn mà không để ý. Hix. Buồn ghê.

pt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-yz-xz=3& \\ 3x^{2}+3y^{2}+3yz-3xz-6xy=-3& \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 4x^{2}+4y^{2}+z^{2}-4xy+2yz-4zx=0$
$\Leftrightarrow (2x-y-z)^{2}+3y^{2}=0$
Đến đây đơn giản rồi......

Thấy $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ không là nghiệm của hệ
Nên từ pt1 có $x=\frac{y^{3}}{2y^{2}-1}$
Thay vào pt2 được: $(\frac{y^{3}}{2y^{2}-1})^{3}+y^{9}=2\frac{y^{3}}{2y^{2}-1}y^{4}$
$\Leftrightarrow y^{7}(\frac{y^{2}}{(2y^{2}-1)^{3}}+y^{2}-\frac{2}{2y^{2}-1})=0$
$\Rightarrow y=0$ hoặc $\frac{y^{2}}{(2y^{2}-1)^{3}}+y^{2}-\frac{2}{2y^{2}-1}=0$
+Với $y=0$$\Rightarrow$$ x=0$ là nghiệm của hệ.
+Với $\frac{y^{2}}{(2y^{2}-1)^{3}}+y^{2}-\frac{2}{2y^{2}-1}=0$ (*)
Đặt $2y^{2}-1=a$ ($a\neq 0$)
$\Rightarrow (*)\Leftrightarrow a^{4}+a^{3}-4a^{2}+a+1=0$
$\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a^{2}+3a+1)=0$
Giải pt nghiệm a, thế vào cách đặt ta tìm được các nghiệm của hệ.........

Có $a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$
$=(\frac{3a}{4}+\frac{3}{a})+(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b})+(\frac{c}{4}+\frac{4}{c}) +\frac{a+2b+3c}{4} \geq 3+3+2+5=13$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra khi a=2; b=3; c=4$

Cho mình hỏi khi thi Đại học có thi phần giới hạn không? Ở trường mình không cho vào phần này, ở lớp mình học ôn cũng không dạy,mà bọn mình kém phần này lắm. Nếu vào thì chịu luôn.

Bài toán: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{{\sqrt {\left( {1 - y} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)} }} + \frac{y}{{\sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)} }} = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}} \\ (1)
\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 - {y^2}} }} = \sqrt {\frac{1}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}}
\end{array} \right.$$ (2)

Đk:$ -1< x< 1$
$-1< y< 1$
Từ (2) $\Leftrightarrow x\sqrt{1-y^{2}} +y\sqrt{1-x^{2}}=1$
Thấy $x\sqrt{1-y^{2}} +y\sqrt{1-x^{2}}\leq \frac{x^{2}+1-y^{2}}{2}+\frac{y^{2}+1-x^{2}}{2}=1$
Dấu"=" xảy ra $\Leftrightarrow x^{2}=1-y^{2} hay x^{2}+y^{2}=1$
Lại có (1) $\Leftrightarrow x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$
Mà theo C_S có $x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}$
$\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(1+x+1+y)}$
$ \leq \sqrt{(x^{2}+y^{2})(2+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})})}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Thấy $x^{2n}\geq 0\Rightarrow 1\leq \frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}$
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}dx\leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx$
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx\geq \frac{1}{2}$ (Vế 1 được cm) Dấu "=" xảy ra khi x=1
Vì$ n\in \mathbb{N}*$,$ x\in [0;\frac{1}{2}]$
$\Rightarrow x^{2n}\leq x^{2} $
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx\leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
Tính $ \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
Đặt x=sint $\Rightarrow dx=costdt$
Đổi cận $x\in [0;\frac{1}{2}]\Rightarrow t\in [0;\frac{\Pi }{6}]$
Khi đó: $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\frac{costdt}{\sqrt{1-sin^{2}t}}dx= \int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}dt=\frac{\Pi }{6}$ (Vế 2 được cm)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow n=1$

Bài 163: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\geq \frac{3}{2}$$

Có:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b}$
$=\frac{a^{4}}{b^{2}a+ac}+\frac{b^{4}}{c^{2}b+ab}+\frac{c^{4}}{a^{2}c+bc}$
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c+ca+ab+bc} $
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}}{2}+\frac{c^{2}b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{a^{2}c^{2}+a^{2}}{2}+ca+ab+bc}$
$= \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}b^{2}+c^{2}b^{2}+a^{2}c^{2})+(a+b+c)^{2}}$
$\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+\frac{(a+b+c)^{4}}{9}}$
$\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\geq \frac{3}{2}$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Em xin nộp bài:
http://www.mediafire...gba0zcf0kcdz9r5

Đáp án câu con ma Đập con ma xanh trước là 1, con ma đỏ thấy thế sợ quá, mặt mày tái mét (chuyển sang xanh).Đập con ma xanh mới này nữa là đủ 2. =))
Tiếp
Cái gì của chồng mà vợ thích cầm nhất (không nghĩ lung tung)?
______
Bỏ ngoài nướng trong, ăn ngoài bỏ trong là gì?

Câu 1 là cái tay, tiếp là củ khoai. Cuối cùng là cái ngô thì phải. hihi

Câu hỏi 1 của BGK :

Theo các em ; điều kiện cần để 1 người đàn ông lấy được vợ trẻ là gì ?

( trả lời bằng tin nhắn riêng cho PSW ; ko ghi ra ở đây)

Anh PSW coppy câu này của thầy Trần Phương nha.

có ai coi là con gái đâu chớ.

ủa. Sao gọi chị hay vậy em?

Cho mình 1 phiếu đi cua em Pu ha

Mỗi người sinh ra đều có một tư duy riêng, không về lĩnh vực này thì về lĩnh vực khác. Ông Việt học Toán không phải vì niềm đam mê mà chỉ là do chạy theo phong trào lúc đó . Đúng là "mồm miệng đỡ chân tay", nhưng chỉ nói mà không làm thì rồi ai còn tin nữa đây.
"Tại sao phải làm cái cũ để mong kết quả mới ? Tại sao lại xuất sắc cái không cần cho cuộc sống ? Tại sao xuất sắc cái không bao giờ dùng ? ". Chẳng phải nhà toán học lỗi lạc cuối thế kỷ XVIII đầu thế kỷ XIX Louis Lagrange đã từng buồn rầu than thở: "Newton đã tìm ra hết mọi bí mật rồi, chẳng còn gì cho chúng ta làm nữa". Hôn nữa, nhiều người còn cho rằng khoa học đã tiệm cận tới những trang cuối cùng. Và rồi tư tưởng về cái bất định, bất toàn, ngẫu nhiên, hỗn độn đã làm nên một cuộc cách mạng sao? Nếu không có Toán liệu công nghệ kỹ thuật có phất triển như ngày nay không?. Nếu không học Toán và giỏi Toán liệu việc kinh doanh của ông có được như ngày nay không? Ông lấy ra một số ví dụ đáng thuyết phục nhưng đâu phải giới Toán học chỉ có nhiêu đó người mà còn rất rất nhiều người khác nữa chứ. Chỉ vì không phù hợp với cá nhân mà nói là "Giá đừng học Toán thì tốt hơn" sao?

Em giải pt bậc 3 không biết đúng ý anh Thành không.
Có $8x^{3}-24x=\sqrt{2011}$
$\Leftrightarrow x^{3}-3x-\dfrac{\sqrt{2011}}{8}=0$
Pt trên có dạng $x^{3}+px+q=0$
Nên có $\Delta =4p^{3}+27q^{2}=4.(-3)^{3}+27.(\dfrac{-\sqrt{2011}}{8})^{2}=\dfrac{47385}{64}> 0$
Suy ra pt trên có 1 nghiệm duy nhất
Có $\Delta _{1}=\dfrac{\Delta }{27}=\dfrac{1755}{64}$
$\Rightarrow x=\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{\sqrt{2011}}{8}+\dfrac{3\sqrt{195}}{8}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{\sqrt{2011}}{8}-\dfrac{3\sqrt{195}}{8}}{2}}$
Hay $x=\dfrac{1}{2}(\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{2011}+3\sqrt{195}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{2011}-3\sqrt{195}}{2}})$
p/s: Cái nghiệm nhìn mà sợ.