Có bạn nào có tài liệu về các dạng phương trình đặc biệt cho mình xin với. (phương trình không có dấu căn)   

Cuốn này này bạn.

ko bạn, mình có cả cuốn chứ ko có bản PDF

Hiện nay, mình thấy phần Giá trị tuyệt đối này đang dần bị lãng quên, trong khi một số đề thi HSG giỏi hiện nay vẫn cho Giá trị tuyệt đối. Online trên diễn đàn, mình cũng không thường thấy mọi người  dùng hay nhắc đến nội dung cũng như ứng dụng của phần này, vì vậy, hôm nay mình lập ra một chủ đề Giá trị tuyệt đối để mọi người cùng thảo luận và bổ sung thêm kiến thức về vấn đề này. (Mình cũng mới đươc học kĩ mấy ngày qua  , nên việc tạo ra chủ đề này cugn4 để mình được học tập thêm từ mọi người. ).

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 

A. Định nghĩa. 

    *Định nghĩa 1 : Giá trị tuyệt đối của một số thực a, được kí hiệu là $\left | a \right |$ , là số đo của khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc 0 trên trục số.

Tuy nhiên, từ Định nghĩa 1 ta không thể dùng nó để giải toán và lập ra các tính chất quan trọng của Giá trị tuyệt đối nên ta có một định nghĩa khác mở rộng hơn :

      *Định nghĩa 2 : Giá trị tuyệt đối của một biểu thức A, được kí hiệu là  $\left | A \right |$ được định nghĩa qua công thức :

$\left | A \right |=\left\{\begin{matrix} A,khiA \geq 0\\ -A,khiA<0 \end{matrix}\right.$

B. Tính chất.  

_ Từ định nghĩa 2, ta có các nhận xét : 

+) $\left | A \right |\geq 0$ (với mọi biểu thức A)

+) $\left | A \right |\geq A;"="\Leftrightarrow A\geq 0$

          1/ Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

_ Là phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

_ Cách giải :

+) Bỏ dấu Giá trị tuyệt đố bằng các điều kiện với biến.

+) Giải phương trình tìm được sau khi bỏ dấu Giá trị tuyệt đối.

+) Nghiệm của phương trình là các nghiệm thỏa điều kiện bỏ dấu Giá trị tuyệt đối. Kết luận.

*Một số Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có dạng đặc biệt

1/ Phương trình có dạng : $\left | f(x) \right |=a;(a>0)$

Cách giải : $\left | f(x) \right |=a;(a>0) \Leftrightarrow f(x)=a$ hoặc $f(x)=-a$

2/ Phương trình có dạng : $\left | f(x) \right |=\left | g(x) \right |$

Cách giải :  $\left | f(x) \right |=\left | g(x) \right | \Leftrightarrow f(x)=g(x)$ hoặc $f(x)=-g(x)$

              2/ Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

_ Là bất phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

_ Thông thường, ta gặp ba dạng và sau đây là cách giải :

1/ $\left | f(x) \right |>g(x) \Leftrightarrow f(x)>g(x)$ hoặc $f(x)< -g(x)$

2/ $\left | f(x) \right |<\left | g(x) \right |\Leftrightarrow [f(x)]^{2}<[g(x)]^2$ 

3/ $\left | f(x) \right | < g(x)$ $\Leftrightarrow -g(x)< f(x)< g(x)$

C. Bài tập.

*Bài 1 : Giải các phương trình sau ;

1/ $x^{2}-\left | x \right |-6=0$

2/ $\left | x-1 \right |+\left | x-4 \right |=3$

3/ $\left | \left | x-3 \right |-1 \right |=2$

4/ $\left | x^{2}-5x+6 \right |+\left | x^{2}-x-6 \right |=9$  

P/S : Khi mọi người đăng bài giải hay bình luận thì ghi rõ ràng, minh bạch. Không spam lên bài viết của mình. Mong mọi người hăng hái đóng góp bài viết. Mình xin cảm ơn  . Mình tìm đc trên mạng 1 link Giá trị tuyệt đối khà hay. http://thuviengiaoan...i-o-thcs-25542/

Hic hic. Sao ko ai thảo luận hết trơn vậy

câu b)  cao lắm thì xét 3TH là giải dc

anh giải ra dùm em luôn đi anh. 

*Bài 3 :

a/ Tìm GTNN của biểu thức sau : $A=\left | x+3 \right |+\left | x-2 \right |+5$

b/ Tìm GTNN của biểu thức sau : $E=\left | 5x+3 \right |+\left | 2x-3 \right |-x-1$

Giải

a/ 

*Cách 1 :

Ta có : $A=\left | x+3 \right |+\left | 2-x \right |+5$

Áp dụng Bất đẳng thức : $\left | A \right |+\left | B \right |\geq \left | A+B \right |$ , ta có :

$A\geq \left | x+3+2-x \right |+5=10$

$"="\Leftrightarrow (x+3)(2-x)\geq 0\Leftrightarrow -3\leq x\leq 2$

Vậy : $minA=10\Leftrightarrow -3\leq x\leq 2$

*Cách 2 :

Ta có : $A=\left | x+3 \right |+\left | 2-x \right |+5$

Áp dụng Bất đẳng thức : $\left | A \right |\geq A$

$.\left | x+3 \right |\geq x+3$

$.\left | 2-x \right |\geq 2-x$

$\Rightarrow A\geq x+3+2-x+5=10$

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+3\geq 0\\ 2-x\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -3\\ x\leq 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -3 \leq x \leq 2$

Vậy : $minA=10\Leftrightarrow -3\leq x\leq 2$

b/ $E=\left | 5x+3 \right |+\left | 2x-3 \right |-x-1 =5\left | x+\frac{3}{5} \right |+\left | 3-2x \right |-x-1 =2\left | x+\frac{3}{5} \right |+(\left | x+\frac{3}{5} \right |-x)+(2.\left | x+\frac{3}{5} \right |+\left | 3-2x \right |)-1 =2\left | x+\frac{3}{5} \right |+(\left | x+\frac{3}{5} \right |-x)+(\left | 2x+\frac{6}{5} \right |+\left | 3-2x \right |)-1$

Ta có : 

$.\left | x+\frac{3}{5} \right |\geq 0$

$\left | x+\frac{3}{5} \right |\geq x+\frac{3}{5}\Rightarrow \left | x+\frac{3}{5} \right |-x\geq x+\frac{3}{5}-x=\frac{3}{5}$

$.\left | 2x+\frac{6}{5} \right |+\left | 3-2x \right |\geq \left | 2x+\frac{6}{5}+3-2x \right |=\frac{21}{5}$

Nên : $E\geq 2.0+\frac{3}{5}+\frac{21}{5}-1=\frac{19}{5}$

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{3}{5}\geq 0\\(2x+\frac{6}{5})(3-2x)\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{-3}{5}$

Vậy : $minE=\frac{19}{5}\Leftrightarrow x=\frac{-3}{5}$

---

BÀI MỚI

*Bài 4 : Giải các phương trình hay bất phương trình sau :

a/ $\left | x^{2}+2\left | x-\frac{1}{2} \right | \right |=x^{2}+2$

b/ $\left | x^{2}\left | x+\frac{3}{4} \right | \right |=x^{2}$

c/ $\left | x-y+2 \right |+\left | 2y+1 \right |\leq 0$

d/ $2(x-5)^{4}+5\left | 2y-7 \right |^{5}=0$

e/ $\left | x+\frac{1}{2} \right |+\left | x+\frac{1}{6} \right |+\left | x+\frac{1}{12} \right |+...+\left | x+\frac{1}{9900} \right |=100x$

f/ (Biện luận phương trình theo tham số m). Phương trình : $\left | x+2 \right |+\left | x-1 \right |=m$

* Bài 5 : Cho : $\left | 2x-1 \right |+\left | x-3 \right |+\left | x+4 \right |-3x+4=0$ . Chứng minh $x\geq 2$

P/S : Phần bài giải bài 3 mình/em thấy những cách đó còn dài quá (nhất là câu 3b!). Mong các anh chị và mọi người chỉ cho em cách khác ngắn gọn hơn hoặc cho em 1 ý tưởng giải quyết nào đó khác với cách trên của mình

Hiện tại, mình có công việc trong trường nên chưa đăng đc nội dung lý thuyết phần Bất đẳng thức. Mong mọi người thông cảm. 

Giải

Bài 2 : 

Cách 1 : Từ giả thiết

$a + b + c = 0 \Rightarrow a + c = -b; b + c = -a$

Có $A = a^{3} + b^{3} + a^{2}c + b^{2}c - abc = a^{2}(a + c)+b^{2}(b + c) - abc = -a^{2}b - ab^{2} - abc = -ab(a+b+c) = 0$

Cách 2 : Phân tích đa thức A thành nhân tử

$A = (a + b + c)(a^{2}-ab+b^{2})=0$

bạn vào soạn thảo Latex có chữ fx. Rồi soạn. Mình thấy phần a² bạn viết sai mà

Lời giải:
Ta có: $\sum \frac{2a^5+3b^5}{ab} \geq 15(a^3+b^3+c^3-2)$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{2a^5+3b^5}{ab} \geq 15(\sum a^3 -\sum ab^2)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2(2a^3+4a^b+6ab^2+3b^3)}{ab} \geq 15 \sum (a+2b)(a-b)^2$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^4(2a+3b)}{ab} \geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b,c$ dương)

Vậy: Bất đẳng thức được chứng minh.
 Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Nguồn: Facebook

Em ko hỉu chỗ đó anh ơi. Mong anh giải thích rõ chỗ đó dùm em 

Bài 9 :

a/ Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 đẳng thức sau :

$1) a+b+c=a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

$2) \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$

Tính Giá trị biểu thức : $P=xy+yz+zx$

b/ Cho 4 số nguyên a, b, c, d thỏa mãn 2 đẳng thức sau :

$1)a+b=c+d$

$2)ab+1=cd$

Chứng minh : c=d

c/ Cho các số x, y, z thỏa mãn 3 đẳng thức sau :

$1)xy+x+y=3$

$2)yz+y+z=8$

$3) xz+z+x=15$

Tìm Giá trị của $P=x+y+z$

Bài 10 : Tam giác ABC có các cạnh với độ dài tương ứng là AB=c; AC=b; BC=a. Với mỗi trường hợp dưới dây thì "Tam giác ABC là tam giác gì" nếu (giải từng trường hợp) :

1/$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}$

2/ (a+b)(b+c)(c+a)=8abc

3/ a³ + b³ + c³ = 3abc

Bài 10 đừng dùng Bất đẳng thức thì hay hơn. Thử làm bằng cách biến đổi đi.

Còn mấy bài này là mình dạo chơi trên mạng rồi có thôi

Bài đó mình kiếm trên mạng mà mình không biết lời giải  , bài gợi ý là dùng BĐT.

Cho : x, y > 0 thỏa mãn : $\frac{x+y}{2}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}=2\sqrt[3]{\frac{x^{3}+y^{3}}{2}}$. Chứng minh rằng : x = y

Bài 7 : 

_ Gọi N là đa thức cần rút gọn.

_ Xét : $N = ... = \frac{1}{(a+b)^{3}}.\frac{b^{4}-a^{4}}{a^{4}b^{4}}+\frac{2}{(a+b)^{4}}.\frac{b^{3}-a^{3}}{a^{3}b^{3}}+\frac{2}{(a+b)^{5}}.\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{1}{(a+b)^{3}}.\frac{(b^{2}+a^{2}).(a+b).(b-a)}{a^{4}b^{4}}+\frac{2(b^{3}-a^{3})}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}+\frac{2}{(a+b)^{5}}.\frac{(b-a)(a+b)}{a^{2}b^{2}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2(b^{3}-a^{3})}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}+\frac{2(b-a)}{a^{2}b^{2}(a+b)^{4}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2b^{3}-2a^{3}+2ab^{2}-2a^{2}b}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}$

$=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2(a+b)^{2}(b-a)}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2(b-a)}{a^{3}b^{3}(a+b)^{2}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)+2ab(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}=\frac{(b-a)(a+b)^2}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}=\frac{b-a}{a^{4}b^{4}} \Rightarrow N=\frac{b-a}{a^{4}b^{4}}$

Bài giải câu c) :

+ Cách 1 : Ở câu e/ Nếu khai thác tiếp VP ta sẽ có :

$VP=2(-ab-bc-ca)= 2\left [-b(a+c)-ca \right ]=2(b^{2}-ac)$

Tương tự : 

$VP=2(c^{2}-ab)=2(a^{2}-bc)$

+ Cách 2 : 

$a+b+c=0\Rightarrow (b+c)^{2}=a^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(a^{2}-bc)$

Tương tự, có đpcm.

Bài 2 : Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa : a + b + c = 0

a/ Tìm giá trị của biểu thức :

$A=\frac{a}{c}.\frac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{b^{2}-c^{2}-a^{2}}.\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{b}$

b/ Chứng minh rằng : 2(ab + bc + ca)² = a⁴ + b⁴ + c⁴  

a) (Cách khác) TỪ giả thiết :$a+b+c=0\Rightarrow a+b = -c; b+c=-a; a+c=-b \Rightarrow (a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(a+c)^{2}=(-a)^{2}+(-b)^{2}+(-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

c) Gợi ý : Có 2 cách :

+ Cách 1 : Áp dụng vế phải bài a/

+ Cách 2 : Khai thác giả thiết

Nếu ko có ai làm thì mình sẽ ... 

Bài 1 : Cho a, b, c là các số thực thỏa : a + b + c = 0. Chứng minh rằng :

a/ a² + b² + c² = (a + b)² + (b + c)² + (c + a)².

b/ (a² + b² + c²)² = 2(a⁴ + b⁴ + c⁴)

c/ a² - bc = b² - ac = c² - ab

d/ a⁴ + b⁴ + c⁴ > (ab + bc + ca)²  

e/ a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca)

Bài 3 : 

a/ Cho a + b + c = a³ + b³ + c³ = 1. Chứng minh rằng có ít một ba số a, b, c bằng 1.

b/ Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa : ab + bc + ca = 2015.abc và (a + b + c).2015 = 1.

Tính Giá trị bểu thức : M = a²⁰¹⁵ + b²⁰¹⁵ + c²⁰¹⁵

^{(Câu b/ là đề thi HSG cấp thành phố lớp 9, Bến Tre)} 

Bài 4 : Rút gọn các biểu thức sau bằng cách nhanh nhất :

a)  $a^{3}+\left [ \frac{a(2b^{3}-a^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3} + \left [ \frac{b(2a^{3}-b^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3}$

b) $\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Nếu các bạn có đề thì có thể đưa lên chủ đề này để cùng giải !   

Nhất là bài b đó

Cố gắng đi, bài b và cách 2 bài c là đều là những cách hay ko đó ...

Mình gửi thêm bài 5 :

a/ Cho a, b, c là các số dương và x, y, z là ba số thực không đồng thời bằng 0 thỏa : ax + by + cz = 0. Chứng minh rằng Giá trị biểu thức : 

$P=\frac{ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}{ab(x-y)^{2}+bc(y-z)^{2}+cz^{2}(z-x)^{2}}$ không phụ thuộc vào x, y, z.

b/ Biết rằng : $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\neq 0$. Rút gọn biểu thức sau bằng cách nhanh nhất (không cần nhân các đa thức):

$A=\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(ax + by+ cz)^{2}}$ 

c/ Viết x, y, z đôi một khác nhau, chứng minh rằng :

$\frac{(y-z)}{(x-z)(x-y)}+\frac{(z-x)}{(y-x)(y-z)}+\frac{(x-y)}{(z-y)(z-x)}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}$ (Giải bằng 2 cách)

d/ Biết a³ + b³ = 3ab - 1. Tính giá trị biểu thức : A = a + b

Câu 4a : $a^{3}+\left [ \frac{a(2b^{3}-a^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3} + \left [ \frac{b(2a^{3}-b^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3} =a^{3}+\frac{(2ab^{3}-a^{4})^{3}-(2a^{3}b-b^{4})}{(a^{3}+b^{3})^{3}}=a^{3}+\frac{8a^{3}b^{9}-12a^{6}b^{6}+6a^{9}b^{3}-a^{12}-8a^{9}b^{3}+12a^{6}b^{6}-6a^{3}b^{9}+b^{12}}{(a^{3}+b^{3})^{3}}=a^{3}+\frac{(b^{3}-a^{3})(b^{3}+a^{3})^{3}}{(a^{3}+b^{3})^{3}}=a^{3}+b^{3}-a^{3}=b^{3}$

Bài 6 :

a/ $x+y=a+b\Rightarrow (x+y)^{2}=(a+b)^{2}\Rightarrow x^{2}+2xy+y^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \Rightarrow xy = ab$

Có :$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=(a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2} \Rightarrow (x-y)^{2}=(a-b)^{2}\Rightarrow x-y=a-b$ hoặc $x-y=b-a$

*Với x - y = a - b, có :

$x-y=a-b; x+y=a+b \Rightarrow x=a$ Từ đó có đpcm

*Với x-y = b-a thì ta cũng có điều tương tự

Từ đây ta có đpcm

Cách này ko tổng quát, nhưng đối với bài này thì mình áp dụng cách này

b/ Đặt ab = x; bc = y; ca=x. $\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz \Rightarrow (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=0\Rightarrow(ab+bc+ca)(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}-ab^{2}c-abc^{2}-a^{2}bc)=0$

* Với a²b² + b²c² + c²a² - ab²c - abc² - a²bc = 0. Ta có

$(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}-ab^{2}c-abc^{2}-a^{2}bc)=0 \Leftrightarrow (ab-bc)^{2}+(bc-ca)^{2}+(ca-ab)^{2}=0\Leftrightarrow a=b=c$ 

Từ đó ta có P=(1+1)(1+1)(1+1)=8

*Với ab + bc + ca = 0 (Trường hợp này mình chưa giải đc)