Bài này hình như là Đề thi Đại học khối A năm 2005

Có khá nhiều cách giải:

Cách 1:

$hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{xy}+3 & \\ \sqrt{xy}+2\sqrt{xy+\sqrt{xy}+4}=11 & \end{matrix}\right.$

Đến đây có thể đặt $\sqrt{xy}=t$ rồi có thể bình phương $pt(2)$ để tìm $t$ (khá dễ)

Cách 2:

Ta có:

$(1)\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=3+3\sqrt{xy}\le 3+3.\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{4}$

$\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq 2\sqrt{3}$

Khi đó ta có:

$(2)=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=\sqrt{(-\sqrt{x})^2+1}+\sqrt{(-\sqrt{y})^2+1}\\\ge\sqrt{(-\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+4}\ge\sqrt{(-2\sqrt{3})^2+4}=4=VP$

Đến đây xét dấu "="

2006 :v

Giải phương trình $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^2}{1+x^2}$

Rảnh rảnh rang rang ngồi đăng bài :l  
Bài 169 : (số xida :v) Giải hệ phương trình : 
$\begin{cases} &abc=1&\\&\sum \sqrt{a^2+1}=\sqrt{2}.(a+b+c)& \end{cases}$

Câu 137 thiếu đề

Bài 135: $x^{2}+6x-14=\sqrt{98-35x-6x^{2}}$

Bài 136: $\left\{\begin{matrix} &x(y-1)+2y=x(x+1) \\ &4x^{2}+3x+3=4y\sqrt{y+3}+2\sqrt{2x-1} \end{matrix}\right.$

Bài 137: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-\sqrt{y^{4}+2}=y \\ &x^{2}+2x(y-1)+y^{2}-6y+1 \end{matrix}\right.$

 Bài 136 : Xét $x(y-1)+2y-x^2-x=(x+2)(y-x)=0$ dễ rồi

 

Bài 204 : HÚ hú quẩy lên nào :v 
Đề HSG Bắc Giang 9 2014-2015 
1/ Giải phương trình:$\sqrt{2x+1}+\frac{2x-1}{x+3}-(2x-1)\sqrt{x^2+4}-\sqrt{2}=0$

2/ Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^2+2xy-2x-y=0 &\\ x^4-4(x+y-1)x^2+y^2+2xy=0 \end{matrix}\right.$

Bài 242 : Tuyển sinh chuyên Thái Bình 2013-2014 
Giải phương trình : 
$\sqrt{2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}}-\sqrt[3]{2014-\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}}=\sqrt{x+2013}-\sqrt[3]{x+1}$ 
Bài 243 : Chuyên Quảng Bình 2013-2014 
Giải hệ pt : 
$\begin{cases} &x^2-x+y^2=19&\\&xy(x-1)(2-y)=20& \end{cases}$

Cái PT(2) có phải là $y=-2x^3+10x^2-16x+9$ không nhỉ?

Đã sửa 

Bài 274 : (chuyên LHP-Nam Định) 
Giải hệ : 
$\begin{cases} &x=y^3-5y^2+8y-3&\\&y=-2x^3+10x^2-16x+9& \end{cases}$ 

 Bài 270 : Irish 1998 
Giải bất phương trình trên tập số thực : 
$\frac{x^2}{(x+1-\sqrt{x+1})^2}<\frac{x^2+3x+18}{(x+1)^2}$

Em đặt sai STT rồi xem lại đi...bài 243 em xem lại đề coi đúng chưa?

Câu 2 anh

Bài 133: $x^{2}+6x-14=\sqrt{98-35x-6x^{2}}$

 

Bình phương và rút gọn được PT $(x-2)(x+7)(x^2+7x-7)=0$

Bài 125 : Giải hệ pt
$\begin{cases} & x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{4}{y^2}=7 \\ (xy-1)^2=2x^2-y^2+3 & \end{cases}$

Bàn thêm về pp giải phương trình bậc $3$ . 
Kết hợp với máy casio . Nếu máy cho ta $3$ nghiệm. Ta sẽ dùng pp sau : 
Xét pt bậc $3$ có $3$ nghiệm : $ax^3+bx^2+cx+d=0$ là $x_1,x_2,x_3$ 
Theo định lí Vieta cho pt bậc $3$ ta được 
$x_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a},x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a},x_1x_2x_3=\frac{-d}{a}$ 
Đây là hệ đơn giản. Mình nghĩ các bạn giải được (hướng dẫn thế $x_1+x_2=\frac{-b}{a}-x_3,x_1x_2=\frac{-d}{a.x_3}$ thế vào rồi giải. 
TH pt chỉ có một nghiệm duy nhất thì các bạn có thể sử dụng pp đồng nhất hệ số,hệ số bất định để giải quyết. 

Phương pháp Cardano : Trâu bò nhưng rất đáng để sử dụng giải quyết các pt bậc $3$ hóc búa 
Với $a,b,c$ bất kỳ, ta có:
$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ad)$$
Bây giờ giả sử cần giải phương trình bậc 3
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,,, (1)$$
Ta đặt $y=x+k$, thế vào phương trình $(1)$, lại nhân hết ra, nhận được phương trình mới với ẩn $y$ và tham số $k$. Ta tìm $k$ sao cho trong phương trình này không có $y^2$. Như vậy có thể chọn được $k$ sao cho phương trình (1) đưa về dạng
$$uy^3+vy+t=0,,, (2)$$
Nếu $u=0$ thì coi như phương trình giải xong.
Nếu $u \neq 0$ thì ta chia 2 vế phương trình $(2)$ cho $u$, nhận được phương trình tương đương
$$ x^3+qx+r=0 (3) $$
Bước tiếp theo, ta tìm 2 số $a,b$ sao cho chúng thỏa mãn cả 2 điều kiện sau :
$$r=a^3+b^3,,,, (*)$$
$$q=-3ab,,, (**)$$
Hai số này luôn tim được trên tập số thực hoặc phức (chỉ cần dùng định lý Viet đảo cho 2 số $a^3 $ và $ b^3$)
Thay các biểu thức (*)và (**) vào phương trình $(3)$ nhận được phương trình tương đương
$$x^3+a^3+b^3-3xab=0 (4)$$
Theo đẳng thức anh nêu ra ban đầu thì vế trái phương trình trên bằng
$$(x+a+B)(x^2+a^2+b^2-xa-xb-ab)$$
 $x^2+a^2+b^2-xa-xb-ab geq 0$ và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=a=b$
Thế nên tư đây dễ dàng giải được $(4)$ và do đó, cả $(1)$

File (tạm cái này về nhà thêm file)

Mình xin chia sẻ thêm về dạng UCT hệ số bất định cho tam thức bậc hai.

$\begin{cases} &  a_1x^2+b_1y^2+c_1xy+d_1x+e_1y+f_1=0 \\  &  a_2x^2+b_2y^2+c_2xy+d_2x+e_2y+f_2=0 \end{cases}$

 

Ta sẽ giả sử $PT(1)+kPT(2)$ sẽ tạo đc một đa thức có $\Delta$ đẹp, nghĩa là số chính phương.

Khi đó đa thức mới thu đc là: $(a_1+ka_2)x^2+(b_1+kb_2)y^2+(c_1+k.c_2)xy+(d_1+kd_2)x+(e_1+ke_2)y+(f_1+kf_2)=0$

 

Đặt $a=a_1+ka_2 ; \ b=b_1+kb_2; \ c=c_1+k.c_2; \ d=d_1+kd_2; \ e=e_1+ke_2; \ f=f_1+kf_2$.

 

Khi đó: $k$ sẽ là nghiệm của pt: $cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$ 

 

Tìm đc k rồi bạn sẽ tìm đc mới t/ứ và phân tích nhân tử đẹp với đa thức đó

 

Bạn có thể lấy VD 40 của bạn I LOVE MC để kiểm chứng.

Bài 49 Giải hệ pt
$\begin{cases} & x^2+3y^2=4 \\ & x^4+9y^4=10 \end{cases}$

Bạn xem đề đúng không, tại mình thấy số hơi lẻ 

Sửa -8x thành -18x đề dài nên cũng ko kĩ lắm. Có pp rồi cũng ko sao 

Link download  tài liệu mới  https://www.dropbox....rinh-dai-so.pdf

 

Bài 80: $\begin{cases} & x^{3}-y^{3}+5x^{2}+14y^{2}+97x+28y=755 \\ & (x-3)(x-4)= (y-11)(14-y) \end{cases}$

Bài 81 : $\begin{cases} & 1+x^3y^3-19x^3=0 \\ & y+xy^2+6x^2=0 \end{cases}$ 

Bài 124 : Giải hệ pt 
$\begin{cases} & 2.\sqrt{x^2+3x-y}=\sqrt{y^2+4x}+x+1 \\ y^2-3x-3+\sqrt{x+y}=\sqrt{x-4} & \end{cases}$

Bài 123 : 

Bài 114 : Giải phương trình $2x^2-3x+7-\sqrt[3]{4x+1}=0$ 

Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng Casio (nên tham khảo) 

 

Post thêm lí thuyết rồi đi ngủ ~~ 
PP sử dụng đơn điệu của hàm số :  
Đ/lí 1 : Nếu hàm số $y=f(x)$ luôn đồng hoặc nghịch biến và liên tục trên $D$ thì số nghiệm trên $D$ của pt $f(x)=k$ ko nhiều hơn một và với $x,y \in D$ thì 
$f(x)=f(y) \Leftrightarrow x=y$ 
Đ/lí 2 : Nếu hàm số $f(x),g(x)$ đơn điệu ngược chiều  và liên tục trên $D$ thì số nghiệm của pt $f(x)=g(x)$ ko nhiều hơn một 
Đ/lí 3 : Nếu $f(x)$ luôn đồng hoặc nghịch biến trên $D$ thì $f(x)>f(y) \Leftrightarrow x>y$ hoặc $x<y$