Bài 210: $(x+2)\left (\sqrt{2x^{2}+4x+6}+\sqrt{-2x-1} \right )=2x^{2}+6x+7$

ĐK:$x \leq \frac{1}{2}$

Sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta có:

$PT \leftrightarrow (x+2)\frac{2x^2+6x+7}{\sqrt{2x^2+4x+6}-\sqrt{-2x-1}}=2x^2+6x+7$

     $\leftrightarrow x+2+\sqrt{-2x-1}=\sqrt{2(x^2+2x+3)}$

Đặt $x+2=a,\sqrt{-2x-1}=b$ 

$PT \leftrightarrow a+b=\sqrt{2(a^2+b^2)}  $

     $\leftrightarrow a=b$

Ok !.................

P/s:Happy lunar new year

Mình thấy thi đại học đa phần những bài phương trình hệ phương trình sẽ rất lằng nhằng, đánh đố và hầu như chỉ có một, hai phương pháp giải quyết

Đóng góp một bài trong số đó

ĐK:$x \geq 1$

Hệ phương trình: 

Đến đây thì ngon lành rồi ..................................

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 177: $\left\{\begin{matrix} &x^{4}y+\frac{1}{y}+x^{2}-7y=0 \\ &x^{3}y+x^{3}+x-5xy=0 \end{matrix}\right.$

 

Đến đây ok rồi    

Bài 171: Giải phương trình (bài khá hay )
$\frac{1001x^4+x^4\sqrt{2x^2+2002}+4x^2}{999}=2002$

 

PT đã cho $\leftrightarrow x^4(1001+\sqrt{2x^2+2002})+4x^2=2002.999$

                 $\leftrightarrow x^4(1001+\sqrt{2x^2+2002})+2(2x^2+2002)=2002.1001$

                 $\leftrightarrow x^4(1001+\sqrt{2x^2+2002})=2[1001^2-(2x^2+2002)]$

                 $\leftrightarrow x^4(1001+\sqrt{2x^2+2002})=2(1001-\sqrt{2x^2+2002})(1001+\sqrt{2x^2+2002})$

                 $\leftrightarrow x^4=2.(1001-\sqrt{2x^2+2002})$

                 $\leftrightarrow x^4+2x^2+1=2002+2x^2-2\sqrt{2x^2+2002}+1$

                 $\leftrightarrow (x^2+1)^2=(\sqrt{2002+2x^2}-1)^2$

Đến đây là ok rồi

Chủ topic tổng hợp những bài chưa có lời giải để giải quyết cho xong đi 

Bài 212: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{2}+(2y-1)(x-y)}+\sqrt{xy}=2y \\ &x(2x+2y-5)+y(y-3)+3=0 \end{matrix}\right.$

 

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 212: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{2}+(2y-1)(x-y)}+\sqrt{xy}=2y \\ &x(2x+2y-5)+y(y-3)+3=0 \end{matrix}\right.$

 

 

Một bài toán khá hay

Rút ra/học từ các bài của NTA1907  đó em! Anh không biết tài liệu như vậy!

Vậy chắc phải tự ghi chép lại cho cẩn thận rồi  

 

Vài bài liên tiếp cứ theo tư duy

$$\begin{cases} & u+v= f(u,v),\\ & u^2+v^2=g(u,v,x,y), \end{cases}$$

trong đó $[f(u,v,x,y)]^2=g(u,vx,y)+2uv$ có các nhân tử.

Vài đặc điểm của $f, g$: $f$ thường chứa các số hạng bậc nhất của $u, v$, và $g$ chứa các số hạng bậc hai theo hai biến $ u, v$ (có thể không tường minh theo $u, v$).

 

Cách chọn $u (, v)$: nhìn vào 2 phương trình, trong một phương trình này số hạng $u (,v)$ được xuất hiện, trong phương trình còn lại chứa $u^2 (, v^2)$.

 

 

 

Quào. Những tư duy, kinh nghiệm như thế này được anh tích lũy trong lúc làm bài hả ?. Có tài liệu nào viết về những kiểu như này không ạ.
------ Nếu có thì anh có thể share cho em được không . 

 

Bài 500: $\left\{\begin{matrix} &(x-2y)\left ( 3x+8y+4\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-6 \\ &(y-4x)\left ( 3y+2x+2\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-10 \end{matrix}\right.$

Bài đã có lời giải ở đây. Nhìn lời giải khủng thật ~.~

Bài 311: Giải hệ với $x,y,z>0$:

 

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=3 & \\ \sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}} =\frac{3}{\sqrt{2}}& \end{matrix}\right.$

 

(Một bổ đề quan trọng)

PT(2) chính xác là 1 bất đẳng thức của Vas,Xem chứng minh tại đây

Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z$

Thay vào PT(1) ta có nghiệm của hệ là (1;1;1)

 

Bài 173: Tìm $x\in \left [ 0;3 \right ]$ thỏa mãn:

 

$x\sqrt{5-x}+\left ( 3-x \right )\sqrt{2+x}=3\sqrt{2}$

 

P/S: bài chế @~

Không biết có giải bằng phương pháp đánh giá được không.Nếu được thì xin chỉ giáo

Lời giải:
Bình phương 2 vế:

PT $\leftrightarrow x^{2}-3x+2x(3-x)\sqrt{(5-x)(2+x)}=0$

      $\leftrightarrow 2(3x-x^{2})\sqrt{10+3x-x^{2}}=3x-x^{2}$

Đặt $3x-x^{2}=a$

PT $\leftrightarrow 2a\sqrt{10+a}=a$

      $\leftrightarrow 40a^{2}+4a^{3}=a^{2}$

      $\leftrightarrow 4a^{3}-39a^{2}=0$

      $\leftrightarrow a=0$ hoặc $4a-39=0$ 

Đến đây coi như xong.

PT có 2 nghiệm $x=3$ và $x=0$ 

Tiếp tục topic với hai bài tập như sau:

Bài 53: $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}+x^2+2x-3-\sqrt{2}=0$

p/s: Bài 53 làm theo 2 cách!!!

Làm thử không biết có đúng không :v

Ta có một bđt quen thuộc $\sqrt{a}+\sqrt{b} \geq \sqrt{a+b}$ (Biến đổi tương đương ra được $ab \geq 0$.Dấu '=' xảy ra khi $a=0$ hoặc $b=0$)

--------------

Trở lại bài toán:

$ĐK$:$3 \geq x \geq 1$ 

Viết lại pt trên $\leftrightarrow \sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=\sqrt{2}-(x^{2}+2x-3)$

Sử dụng bđt đã chứng minh ở trên ta có:

$VT=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x} \geq \sqrt{x-1+3-x}=\sqrt{2}$

$VP=\sqrt{2}-(x-1)(x+3) \leq \sqrt{2}$      (Vì $3 \geq x \geq 1$ nên $(x-1)(x+3) \geq 0$)

$\rightarrow VT \geq \sqrt{2} \geq VP$

Dấu '=' xảy ra khi $x=1$

Mọi người cùng tiếp tục xây dựng topic nhé 

Bài 59: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2y}=2(y^2-x^2) & & \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}=(3x^2+y^2)(x^2+3y^2) & & \end{matrix}\right.$

 

Hình như đề sai à anh.Phải là $2(y^{4}-x^{4})$ chứ nhỉ

Lời giải:

Lần lượt cộng và trừ 2 PT cho nhau ta có:

Đến đây chắc giải tiếp được

ĐK: $x^2-2x-1 \geq 0$

 

$\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}-(x-2)=0$

 

$\iff \sqrt{x^2-2x-1}+\dfrac{x^3-14-(x-2)^3}{\sqrt[3]{x^3-14}^2+\sqrt[3]{x^3-14}.(x-2)+(x-2)^2}=0$

 

$\iff \sqrt{x^2-2x-1}+\dfrac{6(x^2-2x-1)}{\sqrt[3]{x^3-14}^2+\sqrt[3]{x^3-14}.(x-2)+(x-2)^2}=0$

 

$\iff \sqrt{x^2-2x-1}(\sqrt{x^2-2x-1}+\dfrac{6\sqrt{x^2-2x-1}}{\sqrt[3]{x^3-14}^2+\sqrt[3]{x^3-14}.(x-2)+(x-2)^2}=0$

 

$\iff x^2-2x-1=0$ (vì phần trpng ngoặc luôn dương)

 

$\iff x=1+\sqrt{2}$  v  $x=1-\sqrt{2}$ (t/m)

 

P/S: ai có cách khác không, vì cách trên vẫn phải dùng liên hợp

Cách đẹp nhất cho bài toán này:

Mình nghĩ mọi người nên đăng bài sử dụng liên hợp ít lại.Bài nào mà cũng dùng liên hợp thì còn gì là hay 

Bài 25:Giải phương trình:$\sqrt{x^{2}-2x-1}+\sqrt[3]{x^{3}-14}=x-2$

Bài 26:Giải hệ

a,$\left\{\begin{matrix} 5(x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})+2xy(1-\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})=35 & \\ \frac{3x-y}{x^{2}-y^{2}}+3x+y=9\end{matrix}\right.$

---

b) $3-x=\dfrac{2x^{2} - 9x + 17}{\sqrt{2x^{2} - 6x + 16} + \sqrt{3x - 1}}$

Sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta có:

PT $\leftrightarrow 3-x=\sqrt{2x^{2}-6x+16}-\sqrt{3x-1}$

      $\rightarrow (3-x)^{2}=(\sqrt{2x^{2}-6x+16}-\sqrt{3x-1})^{2}$

Đặt $\sqrt{2x^{2}-6x+16}=a;\sqrt{3x-1}=b$

Ta có PT $\leftrightarrow \frac{1}{2}a^{2}-b^{2}=(a-b)^{2}$

                $\leftrightarrow \frac{1}{2}a^{2}+2b^{2}-2ab=0$

                $\leftrightarrow (\frac{a}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}b)^{2}=0$

$\rightarrow \frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}b$

$\leftrightarrow a=2b$

$\leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-6x+16}=2\sqrt{3x-1}$

$\leftrightarrow 2x^{2}-6x+16=12x-4$

$\leftrightarrow 2x^{2}-18x+20=0$

$\leftrightarrow x=\frac{9-\sqrt{41}}{2}$ hoặc $x=\frac{9+\sqrt{41}}{2}$

 Thử lại ta có $x=\frac{9-\sqrt{41}}{2}$ là nghiệm của phương trình

Lăng tăng vài bài dễ cho vui nhé.Topic nhộn kinh 

Bài 108: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = |x| + y\\{y^2} = |y| + x\end{array} \right.$

Bài 135 : Giải hệ pt 
$\begin{cases} &5x^3+3y^3=6+2xy& \\ &3x^3+2y^3=8-3xy& \end{cases}$

Bẳng phương pháp rút thế từ hệ ta tìm được:

Bài 163: $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x + 3} = \sqrt[3]{12(x-1)}$

 

Lập phương 2 vế ta có:

$3x+3+3\sqrt[3]{x(2x+3)}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{2x+3})=12x-12$

$\leftrightarrow 3\sqrt[3]{12x(2x+3)(x-1)}=9x-15$ (Vì $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x + 3} = \sqrt[3]{12(x-1)}$)

$\leftrightarrow \sqrt[3]{12x(2x+3)(x-1)}=3x-5$

Đến đây tiếp tục lập phương 2 vế giải phương trình bậc 3 ẩn $x$

P/s:Nghiệm lẻ quá.Chắc phải dùng cả công thức Cardano @@

 

 

Bài 154: $\begin{cases} & \sqrt{3y+1}+\sqrt{5x+4}=3xy-y+3 \\ &\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}+\sqrt{\dfrac{4(x^{2}+xy+y^{2})}{3}}= 2(x+y) \end{cases}$

 

Ta có 2 bất đẳng thức phụ sau:

$2(x^{2}+y^{2}) \geq (x+y)^{2} \Rightarrow \sqrt{2(x^{2}+y^{2})} \geq x+y$

$4(x^{2}+xy+y^{2})=(x-y)^{2}+3(x+y)^{2} \geq 3(x+y)^{2} $ $\Rightarrow \sqrt{\frac{4(x^{2}+xy+y^{2})}{3}} \geq x+y$

Cộng 2 vế của 2 bđt trên lại ta có

 $\sqrt{\frac{4(x^{2}+xy+y^{2})}{3}}+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})} \geq 2(x+y)$

Dấu '=' xảy ra khi $x=y $

Đến đây chắc tự làm được rồi nhé

Bài 140:Giải phương trình

$a,3x(2+\sqrt{9x^{2}+3})+(4x+2)(1+\sqrt{1+x+x^{2}})=0 $

$b,x(13\sqrt{1-x^{2}}+9\sqrt{1+x^{2}}) \leq 16 $ (Bài khá quen thuộc

Bài 131: $\sqrt{3x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}-x}-x\sqrt{x^{2}+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^{2}-x+4)$

 

ĐK: $x \geq 1$ hoặc $x \leq \frac{-1}{\sqrt{3}}$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swarchz ta có:

$VT=1.\sqrt{3x^{2}-1}+1.\sqrt{x^{2}-x}-x\sqrt{x^{2}+1} \leq \sqrt{(x^{2}+1+1)(3x^{2}-1+x^{2}-x+x^{2}+1)}=\sqrt{(x^{2}+2)(5x^{2}-x)}$

Mà theo bđt AM-GM ta có $\sqrt{(x^{2}+2)(5x^{2}-x)}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{(5x^{2}-x)(2x^{2}+4)} \leq \frac{7x^{2}-x+4}{2\sqrt{2}}=VP$

Từ 2 bđt trên $\rightarrow VT \leq VP$

Dấu '=' xảy ra khi...........$x=-1$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-1$

 

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x + 1}(3x^{2} + x + 1) = x^{3} + 3x^{2} + 3x$

b) $3-x=\dfrac{2x^{2} - 9x + 17}{\sqrt{2x^{2} - 6x + 16} + \sqrt{3x - 1}}$

Load lại latex