cơ sở đâu để dự đoán được min

Bấm máy thôi bạn 

Mọi người giải hộ em bài bđt. Cho a,b,c>0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$.  Chứng minh rằng

 $ \frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$

Tìm min $A=\frac{x^{2}+12}{x+y} + y$

Bài này đã có lời giải trên tạp chí TTT 

Sau đây mình xin trình bày cách khác 

$A=\frac{x^{2}+12}{x+y}+y+x-x \geq 2\sqrt{\frac{x^{2}+12}{x+y}.(x+y)}-x=2\sqrt{x^{2}+12}-x$

Dự đoán $Min A=6$ $\Leftrightarrow x=y=2$

Ta cần chứng minh: $2\sqrt{x^{2}+12}-x \geq 6$

                 $\leftrightarrow 4x^{2}+48 \geq (x+6)^{2}$

                 $\leftrightarrow 3(x-2)^{2} \geq 0$ :Đúng 

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=2$

5 ; 13 ; 35 ; 97 ; 275 ; ...
Xác định quy luật !

Có thêm một quy luật nữa:

5 x 2 +3^1 =13

13 x 2+ 3^2=35

35 x 2+3^3=97

97 x 2+3^4=275

......

đấy là max chứ có phải min đâu bạn!

Mình nghĩ nó không có Min đâu

Bạn đưa ra lời giải đi!

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $2A^{2}=2x^{2}(1-x^{2})^{2}=2x^{2}.(1-x^{2}).(1-x^{2}) \leq \frac{(2x^{2}+1+1-x^{2}-x^{2})^{3}}{27}=\frac{8}{27}$

$\rightarrow A \leq \sqrt{\frac{4}{27}}=\frac{2.\sqrt{3}}{9} $

Dấu '=' xảy ra khi $2x^{2}=1-x^{2}$ 

                   $\Leftrightarrow 3x^{2}=1$

                   $\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Các bạn bàn luận không được sôi nổi lắm nhỉ! Tiếp nhé!

Bài 15: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

 

                    $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$

 

 

 

 

Bài 22: Cho các số dương a, b, c, d. Biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$

 

Chứng minh rằng $abcd\leq \frac{1}{81}$

 

 

Từ gt ta có: $\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d} \leq 1-\frac{a}{1+a}$

Có ai có chuyên đề hình học của phẳng hay ôn thi vào lớp 10 (Có nêu chút ít phương pháp) cho em xin ạ :v

Đúng rồi. Bài 4 mình chịu rồi

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a.a.b}{b.c.b}}=3\frac{a}{\sqrt[3]{abc}}$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có đpcm

 

 

 

*Bài 1 : Giải các phương trình sau ;

1/ $x^{2}-\left | x \right |-6=0$

1,Đặt $|x|=t \geq 0$

PT $\leftrightarrow t^2-t-6=0$

     $\leftrightarrow (t-3)(t+2)=0$

     $\leftrightarrow t=3$ (Vì $t \geq 0$)

     $\leftrightarrow |x|=3$

     $\leftrightarrow x=\pm 3$

Câu b bài hình chứng minh BP và CQ đi qua trung điểm EF
Gọi AK là đường kính của (O) và W là trung điểm BC.
Tam giác RBC và tam giác RFE đồng dạng
R, W, K thẳng hàng. Gọi T là trung điểm EF
Từ đó biến đổi góc như sau FRT=BRW=KRB=SAB=FRS nên RS đí qua T

Anh Khoa thi tốt không ạ  

Bài 158. Giải phương trình: $(6x+7)\sqrt{3x-2}+(10x-3)\sqrt{x+3}=27$.

Dễ thấy $x=1$ là nghiệm duy nhất của pt

Xét $x>1 \rightarrow VT>13.1+7.2=27$

Xét $\frac{2}{3} \leq x<1 \rightarrow VT<13.1+7.2$=27

Vậy nghiệm của pt là $x=1$

đặt x=b+c-a y=... z=...

BĐT tương đương 8xyz<=(x+y)(y+z)(z+x) (c/m = coossi)

Như mình đã nói ở trên.Cách chứng minh của bạn bị lỗi do chưa chắc x,y,z dương (mà âm thi dùng Cauchy không được) :v

ý mình là chỗ $(\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}})^{2}\geq 3^{2}.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}$

BĐT AM-GM đó bạn.

Chứng minh bị lỗi do không thể kết luận $a\geq2$ bởi $x,y$ có thể âm.

Spoiler

Không lên có $2$ ngày mà nhộn gớm

đã check lại 

Bài 68:Cho $a,b,c>0 ,ab+bc+ca=1 $

Chứng minh $\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{9}{2}$ 

Bài 34:(Hình học):Cho (O) đường kính AB và bán kính OC sao cho $\angle BOC$>90 lấy D,E thứ tự trên các cung BC,CA(D khác B và C, E khác C và A).Gọi G và K lần lượt là hình chiếu của E và D trên OC.F và H lần lượt là hình chiếu của E và D trên AB

Chứng minh: Cung (GEF của đường tròn ngoại tiếp tiếp tam giác GEF)=Cung (KOH của đường tròn ngoại tiếp tam giác KOH)

Bài 88: (Đây là 1 bài toán khá hay)

Cho ba số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng : 

$\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{(2b+c+a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{(2c+b+a)^{2}}{2c^{2}+(a+b)^{2}}\leq 8$

Bài này dùng chuẩn hóa.Và mình nghĩ bạn không nên đưa nó vào topic này 

Bài 96(Bài này dễ nhưng thú vị  ):

Tính $A=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+......}}}}$ (lặp vô hạn lần )

Bài 126: Gỉa sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca\leq 4.$ Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$

Đề có nhầm không vậy.hình như là $ab+bc+ca+abc \leq 4$

trong violympic toán vòng 1 bài 1 cũng có bài kiểu thế này lun bạn nào đã thi chưa

Thấy rồi,không biết học sinh nghỉ sao nhĩ?

BÀI 115:  Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: n²+11n+39 không chia hết cho 49.

 

BÀI 116:   GPT nghiệm nguyên : x²-25y²-2x+6=0

 

BÀI 117:    CM: n⁸-n⁶-n⁴+n² $\vdots 5760 \forall n\in \mathbb{N}$ và n lẻ

Bài 130: Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Bài 131:Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $(ab+bc+ca-3)^{2}\geq 27(abc-1)$

Bài 132:Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc-2ca)^{2}+9(ab+bc+ca)^{2}\geq 90abc$

Bài 132:Cho các số thực dương $a,b,c$ .Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc+5\geq 3(a+b+c)$

Bài 133:Cho các số thực $a,b,c$ .Chứng minh rằng $(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-3}{12})^{2}+2\geq \frac{ab+bc+ca}{3}+abc$

Bài 134:Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc+4$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}-3\geq (2+\sqrt{3})(a+b+c-3)$

Bài 135: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=4$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc+8\geq 4(a+b+c)$

Bài 130:Đây là bổ đề có nhiều ứng dụng trong chứng minh Bất đẳng thức  

Sử dụng bđt AM-GM ta có$2abc+1=abc+abc+1 \geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}} \geq \frac{9abc}{a+b+c}$

Vậy ta cần chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c} \geq 2(ab+bc+ca)$

Khai triển trực tiếp ta được bđt tương đương:$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)$ (Đúng theo bđt schur bậc 3)

Vậy ta có đpcm