áp dụng $n^{2}+np+p^{2}\geq \frac{3(n+p)^{2}}{4}$           sau đó chuyển $\frac{3m^{2}}{2}$ sang rồi dùng Cauchy-Chwazt

với n =2 ( đúng )

giả sử đíng với n=k .ta chứng minh đúng với n=k+1

thật vậy ta có $2^{n}+2^{2n+1}= 4.2^{n-1}+4.2^{2n-1}> 4.3^{n}> 3^{n+1}$

vậy ta đc đpcm

cho ab+bc+ca =1.CMR $\sum \frac{1}{c\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\geq \frac{9}{2\sqrt{3}-3\sqrt{6}abc}$

Cho a,b,c,d dương thỏa mãn abcd=1.CMR $\sum \frac{1}{3+a}\geq 1$

P = 2 (b+c) +(bc-2) a .sau đó dùng Cauchy - Schwazt

Cho D nằm giữa H và M cố định.tam giác ABC thay đổi sao cho AH,AD,AM là đường cao ,phân giác .trung tuyến của tam giác ABC .CMR tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thuộc 1 đường thẳng cố định khi tam giác ABC thay đổi

phương trình gi vậy bạn

Từ đề bài ta suy ra bc$\leq 1$

Ta có bổ đề sau  (mình dùng Cauchy -Schwazt )

$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(a+c)^{2}}\geq \frac{1}{a^{2}+bc}$

áp dụng bổ đề ta có P $\geq 2a^{2}-2a+5+ \frac{4}{a^{2}+bc}\geq a^{2}+4+\frac{4}{a^{2}+1}=3+\frac{4}{a^{2}+1}+a^{2}+1\geq 7$ (theo AM- GM )

Vậy min P =7 khi a=b=c=1

quy đồng ta đc bđt cần chứng minh tương đương với $3(a+b)^{2}\leq 2ab(a+b+1)+3(a+b)$ (1)

lại có (a-1)(b-1) >= 0 nên ab >= a+b-1 

thay vào (1) ,rút gọn rồi phân tích nhân tử đc đpcm ( do 1 <= 1+b <= 2)

theo mình thì cái này hiển nhiên mà .....trong 3 số a,b,c có 2 số bằng nhau thì BĐT đc chứng minh

nếu không có 2 số nào bằng nhau  .khi đó trong các hiệu a-b ;b-c ;c-a có 1 số âm suy ra đpcm

a=b=c=0

bạn tìm min max của biểu thức $\frac{x^{2}-xy-3y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}$

khi đó tìm đc max và min của P

bạn cứ nhân bung hết cái vế phải ra

dùng cả Schur bậc 2 nữa là đc

đặt $F(a,b,c)= a+b+c-2-abc$

 xét $F(a,b,c) - F(a,\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}},\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}})\geq 0$

 lại có $F(a,\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}},\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}})\geq 0$

suy ra đpcm

do $2\left | x-2012 \right |+3\geq 3$  nên $\left | y-2013 \right |+2\leq 3$ từ đây tìm đc x và y

bài này bình phương rồi dùng Cauchy-Schwazt

a=0; b=c thay vào

Cho a,b,c là các số thực không âm .CMR: 

         $A=\frac{a^2}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^2}{c^2-ac+c^2}+\frac{c^2}{a^2-ab+b^2}\geq 2$

 làm gì đúng

đổi biến p ,q, r

ta có q^2 >= 3pr >= 9r^2 .

suy ra q >= 3r

mà a^2 + b^2 +c^2 >= q >= 3r

vậy bđt đc cm

Cho a,b,c >0 .CMR $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \sqrt{\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}}+\sqrt{\frac{b^{2}+1}{c^{2}+1}}+\sqrt{\frac{c^{2}+1}{a^{2}+1}}$

chuyển vế rồi phân tích ta đc bđt cần chứng minh tương đương (y-z)(x-y)(x-z) $\leq$ 0 (luôn đúng theo giả thiết)

cho a,b,c >0 .cmr $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})(ab+bc+ca)^{2}\geq 8a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

mình làm thế này viết P = $\frac{7x^{4}+7y^{4}+4x^{2}y^{2}}{(2x^{2}+2y^{2}-xy)^{2}}$

sau đó chia cả tử và mẫu cho  y^4 .

đặt x/y  = t .sau đó dùng pp miền giá trị .không biết có ra không.

 giải hê sau $2x^{2}y^{2}+x^{2}=2+2x$

                    $2x^{2}y-x^{2}y^{2}=1+2xy$

Cho x,y,z là các số thực thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$  .Tìm GTNN P =$(xy+yz+zx)^{2}-\frac{8}{(x+y+z)^{2}-xy-yz+2}$

đặt a=x/y ;b=y/z ;c=z/x rồi chứng minh