tam giác pascal là gì vậy?

Bạn có thể search google hoặc tham khảo tại đây

$\left ( x+a \right )^{^{n}}=\sum_{k=0}^{n}\left \begin{pmatrix} & n & \\ & k & \end{pmatrix}x^{(n-k)}a^{k}$

Với$\left \begin{pmatrix} & n & \\ & k & \end{pmatrix}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$

Gọi là số tổ hợp chập k của n phần tử.

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{^{3}}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}$

$(x+y)^{5}=x^{5}+5x^{^{4}}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{6}$$(x+y)^{6}=x^{6}+6x^{^{5}}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6}$

không bít mấy cái này có nên học thuộc không nữa

Nên sử dụng tam giác Pascal cho việc học thuộc mấy hằng đẳng thức

Bài 201

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M chuyển động trên BC, ME vuông góc AB, MF vuông góc AC,

Chứng MInh đường thẳng qua M vuông góc với EF luôn đi qua điểm cố định

HOMC.jpg Trái Đinh Minh Hà, Phải Nguyễn Đức Thuận

931203_106910729517654_1592764211_n.jpg

Hà đương nhiên là handsome hơn Thuận rùi (Cảm thấy đang thiên vị )

Phải gọi = anh

21/ 

21 /Ta có :

$6+2\sqrt{9-4x^2}=(3-2x)+2\sqrt{(3-2x)(3+2x)}+(3+2x)=(\sqrt{3-2x}+\sqrt{3+2x})^2$

=> A=$\frac{\sqrt{3-2x}+\sqrt{3+2x}}{x}=\frac{(3+2x)-(3-2x)}{x(\sqrt{3-2x}-\sqrt{3+2x})}=\frac{4x}{xa}=\frac{4}{a}$

23/ Cho A=$(\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{ab}):\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}-b^{-1}}$

23/ Ta có :

$\frac{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{ab}=a-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$

$\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}-b^{-1}}=\frac{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{b^2-a^2}{ab(b-a)}=\frac{a+b}{ab}$

=> $A=\frac{ab(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{a+b}$

$\boxed{30}$ Cho $a+b+c=0$ ;$a,b,c$ khác $0$. CMR: $\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|$

Ta có: $\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} = |\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}|$

           $(\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}})^2 = |\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}|^2$

           $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{2}{ab} + \frac{2}{bc} + \frac{2}{ca}$

           $0 = \frac{2}{ab} + \frac{2}{bc} + \frac{2}{ca}$

           $0 = \frac{2c}{abc} + \frac{2a}{bca} + \frac{2b}{cab}$

           $0 = \frac{2(c + a + b)}{abc}$

           $0=0$

       $\Rightarrow$ đpcm

Lười wá

CÁCH HỌC NGỮ PHÁP HIỆU QUẢ

Ngữ pháp là một khía cạnh ngôn ngữ nhận được những ý kiến khác nhau từ người học. Một số người học rất hứng thú với việc tìm ra những qui luật ngữ pháp và làm nhiều bài tập ngữ pháp. Người khác thì ghét học ngữ pháp và nghĩ đó là thứ tẻ nhạt nhất trong ngôn ngữ. Cho dù bạn có ý kiến gì đi nữa thì ngữ pháp vẫn là một phần không thể thiếu trong từng câu bạn nói, nghe, đọc và viết. Ngữ pháp đơn giản là qui luật từ vựng mà người sử dụng ngôn ngữ tuân theo. Chúng ta đều cần những qui tắc này giống như là luật chơi của 1 trò chơi

Nếu không có luật chơi, mỗi người sẽ chơi một kiểu và trò chơi sẽ sớm kết thúc. Ngôn ngữ cũng tương tự như thế. Không có qui tắc, mọi người sẽ không thể giao tiếp được với người khác. Dưới đây là một vài bước đơn giản bạn có thể áp dụng:

Bước 1

Lên kế hoạch. Có cái nhìn tổng quát về ngữ pháp tiếng Anh (từ sách giáo khoa hoặc trên mạng). Ghi chú những đặc điểm ngữ pháp quan trong và lên kế hoạch học từng phần trong vài ngày

Bước 2

Nhận dạng những lỗi thường gặp. Những người nói cùng 1 ngôn ngữ thường mắc những lỗi giống nhau. Ví dụ: người Nga thường gặp rắc rối khi sử dụng “a” và “the”. Hãy tìm ra những phần ngữ pháp mà mọi người thường gặp khó khăn. Và chú ý hơn tới những phần ngữ pháp này

Bước 3

Tìm bài tập ngữ pháp. Để học tốt ngữ pháp, bạn cần luyện tập cho tới khi có thể sử dụng dễ dàng. Kiếm một cuốn sách bài tập ngữ pháp có cả phần đáp án. Các hoạt động trực tuyến và đố vui cũng có thể trợ giúp được. Mỗi lần chỉ tập trung vào 1 phần ngữ pháp nhất định

Bước 4

Chú ý tới ngữ pháp khi đọc tiếng Anh. Khi học ngữ pháp, sẽ là chưa đủ nếu chỉ hiểu được ý chính về những gì bạn đọc được. Bạn cần phải hiểu chính xác tại sao câu lại được viết như vậy. Khi đọc 1 câu văn, hãy tự hỏi liệu bạn có thể viết câu tương tự như vậy không. Nếu không thể hoặc không chắc chắn, hãy tìm những cuốn sách về những phần ngữ pháp và luyện tập.

Bước 5

Dịch từ ngôn ngữ của bạn sang tiếng Anh. Rất dễ tránh những phần ngữ pháp phức tạp khi viết hoặc nói lên suy nghĩ của mình. Khi dịch, bạn sẽ phải làm việc với tất cả những gì xuất hiện trên trang giấy, kể cả những phần ngữ pháp khó. Bắt đầu dịch những thứ đơn giản như quảng cáo,sau đó chuyển sang dịch báo hoặc tạp chí. Dịch đoạn hội thoại trong các vở kịch cũng là một cách luyện tập hay

Bước 6

Tìm sự giúp đỡ của người bản ngữ. Nếu bạn quen biết người bản ngữ nào, hãy nhờ họ kiểm tra bài viết của mình. Nếu không, bạn cũng có thể tìm kiếm các diễn đàn học tiếng Anh trên mạng hoặc những trang web trao đổi ngôn ngữ. Hãy nhớ rằng nếu người bản ngữ không phải giáo viên thì có thể họ sẽ không lý giải thích được các qui tắc ngữ pháp.

Nguồn: http://english07.com/

MƯỜI BÍ QUYẾT HỌC TỪ VỰNG TIẾNG ANH HIỆU QUẢ

Tại sao từ vựng tiếng Anh lại quan trọng?
Từ vựng hết sức quan trọng vì nó truyền tải quan điểm, tư tưởng của ban. Ngữ pháp kết hợp từ lại với nhau nhưng hầu như ý nghĩa lại ở trong từ ngữ. Bạn càng biết được nhiều từ thì bạn sẽ càng giao tiếp được nhiều hơn. Sở hữu lượng từ vựng phong phú, bạn diễn đạt được nhiều điều hơn, còn nếu chỉ giỏi nguyên ngữ pháp thì vế sau chưa chắc đã đúng.
Bạn học từ vựng tiếng Anh như thế nào?
Chúng ta tăng vốn từ vựng chủ yếu bằng cách đọc thật nhiều tài liệu tiếng Anh. Là một sinh viên, bạn phải thường xuyên học và làm bài tập từ vựng. Dưới đây là mười bí quyết giúp bạn học từ vựng nhanh nhất.
Mười bí quyết học từ vựng tiếng Anh hiệu quả
1. Đọc, đọc và đọc
Chúng ta học từ vựng phần lớn thông qua đọc các văn bản. Bạn càng đọc nhiều thì vốn từ vựng của bạn càng phong phú. Trong khi đọc, hãy chú ý nhiều hơn tới những từ mà bạn không biết. Trước tiên, cố gắng dựa vào văn bản để đoán nghĩa, sau đó thì mới tra từ điển. Đọc và nghe những tài liệu phức tạp là một cách giúp bạn biết thêm được nhiều từ mới.
2. Củng cố kỹ năng đọc văn bản
Một nghiên cứu cho thấy rằng phần lớn các từ được học trong văn cảnh cụ thể. Để củng cố kỹ năng hiểu từ trong văn bản thì bạn nên đặc biệt chú ý đến cách mà ngôn ngữ được sử dụng. 
3. Luyện tập thật nhiều và thường xuyên
Học một từ sẽ chẳng nghĩa lý gì nếu như bạn nhanh chóng quên nó đi. Nghiên cứu cho thấy ra rằng chúng ta thường phải mất 10 đến 20 lần đọc đi đọc lại thì mới có thể nhớ được một từ. Sẽ tốt hơn nếu bạn viết từ đó ra, có thể viết vào một tờ mục lục để có thể xem lại dễ dàng. Khi viết từ thì bạn nên viết cả định nghĩa và đặt câu có sử dụng từ đó. Ngay khi bạn bắt đầu học một từ mới nào đó thì hãy sử dụng từ đó luôn. 
4. Tìm được càng nhiều mối liên hệ của từ càng tốt 
Để không quên từ mới thì khi học bạn nên đọc to từ đó nhằm kích thích vùng nhớ âm thanh. Bên cạnh đó bạn nên tìm thêm nhiều từ đồng nghĩa với từ đó mà bạn đã biết. Ví dụ từ significant (quan trọng, đáng kể) có một nghĩa giống với từ important, momentous, sustantial,…Ngoài ra có thể liệt kê tất cả những thứ có thể khiến bạn nghĩ đến nghĩa của từ SIGNIFICANT. Và cuối cùng bạn hãy vẽ một bức tranh để lại ấn tượng mạnh mẽ mô phỏng ý nghĩa của từ. 
5. Dùng các mẹo ghi nhớ
Một ví dụ thú vị với từ EGREGIOUS (rất tồi tệ). Nghĩ đến câu trứng ném vào chúng tôi (EGG REACH US)- hãy tưởng tượng chúng ta vừa phạm sai lầm tệ đến mức bị ném trứng và một quả trứng thối bay vào người chúng tôi (rotten EGG REACHes US). Bức tranh thú vị bằng ngôn ngữ này sẽ giúp bạn nhớ nghĩa của từ nhanh và lâu hơn. Người học cũng cảm thấy thú vị. Tương tự, bạn hãy tìm cho mình phương thức học phù hợp nhất. Mỗi người học theo cách khác nhau.
6. Dùng từ điển để tìm nghĩa những từ mà bạn không biết
Nếu bạn có sẵn chương trình tra từ trên máy tính thì hãy mở sẵn ra. Chúng ta có rất nhiều các dịch vụ hỗ trợ tra từ trên internet như http://vndic.net hoặc http://vdict.co . Bạn nên tìm và sửa dụng chúng để tra những từ mà bạn không chắc chắn về nghĩa. Sử dụng từ điển đồng nghĩa khi bạn muốn tìm từ phù hợp nhất.
7. Chơi những trò chơi liên quan đến từ ngữ
Chơi trò chơi đố chữ như Scrabble, Boggle và ô chữ (crossword puzzles). Những trò chơi như thế này và nhiều trò chơi khác đều có sẵn trong máy tính vì thế mà bạn có thể tự chơi chứ không cần phải có người chơi cùng.Bạn cũng hãy thử dùng Từ điển điện tử. Đây là từ điển cài nhiều trò chơi đố chữ.
8. Sử dụng danh sách từ vựng 
Đối với những sinh viên chú trọng nhiều tới từ vựng thì có rất nhiều tài liệu đáp ứng được nhu cầu này như SAT và GRE. Trên Internet cũng có nhiều trang học từ vựng hấp dẫn, thậm chí một số trang còn hỗ trợ tính năng gửi từ vựng cho bạn qua email mỗi ngày.
9. Thực hiện các bài kiểm tra từ vựng
Chơi các trò chơi như đã đề cập ở phần 7 để kiểm tra kiến thức của bạn đồng thời cũng giúp bạn học thêm được nhiều từ mới. Ngoài ra bạn cũng có thể làm các bài kiểm tra trình độ như SAT, GMAT, TOEIC, … Mỗi lần làm kiểm tra là một lần bạn biết được sự tiến bộ trong quá học tập của mình.
10. Tạo hứng thú khi học từ vựng
Học để đánh giá sự khác biệt tinh vi giữa các từ. Ví dụ cùng có nghĩa là “bao hàm” nhưng hai từ “denote” và “connote” lại không hoàn toàn giống nhau về mặt sắc thái biểu cảm. Học cách diễn đạt ý muốn nói bằng lời và khám phá cảm giác sung sướng khi có thể thổ lộ hết cảm xúc trong từng câu chữ. Biết đâu có khi vốn từ ngữ giàu có, phong phú lại quyết định tương lai của bạn. Ở các nước nói tiếng Anh, nắm vững từ vựng giúp chúng ta vượt qua xuất sắc các bài kiểm tra trình độ như SAT và GRE. Đây là những chương trình học có tính chất quyết định việc chúng ta có được vào Đại học không và nếu đỗ thì sẽ đủ điểm học trường nào. Nhìn chung kiểm tra ngôn ngữ cũng là một cách đánh giá chất lượng giao tiếp. Xây dựng vốn từ vựng là công cuộc cả đời của mỗi chúng ta. Hãy nhớ rằng “Mọi thứ bắt đầu từ ngôn ngữ”. 

Nguồn: http://english07.com/

Ai muốn nghe tốt thì xem ở đây

https://www.facebook...174446175978225

Các bạn có thể học tiếng anh thông qua trang web: http://www.tienganh123.com

Bí kíp tự học tiếng Anh thành tài - không cần đi học thêm 

Mình xem HBO, Discovery Channel hiểu hết, đọc báo or sách cũng như đọc sách Việt. Tất cả là nhờ tự học không mất đồng nào và mình khuyến khích các bạn tự học thì hơn. Mặc dù làm giáo viên và là chủ 1 trung tâm tiếng Anh đấy. Học sinh của trung tâm cũng toàn được học cách để tự học )) Sau đây mình sẽ chia sẻ cho các bạn hành trình tự học của mình. Cuộc đời có rất nhiều thứ cần phải làm, nên học tiếng Anh là phải thật nhanh để còn làm việc khác. Học khôn ngoan chứ không học chăm chỉ nhé. Nếu tự học mà lười thì đi học trung tâm cho lành. Tiếng Anh là cái BẮT BUỘC PHẢI GIỎI bằng mọi giá. 

1. Mục tiêu của việc học:

Bật kênh truyền hình nước ngoài lên hiểu được hoàn toàn. Đọc sách bằng Eng cũng hiểu hoàn toàn. Gặp người Mỹ nói với họ thoải mái và không cảm thấy khó diễn đạt ý của mình. Đừng bao giờ học chỉ để lấy IELTS hoặc TOEIC. Ngôn ngữ là phải dùng được, ngôn ngữ chỉ để thi là ngôn ngữ chết.

2. Phương pháp tiếp cận:

Cái gì mình phải yêu thì mới giỏi được, ghét thì không đời nào . Vì thế nên đừg cắm đầu vào học quyển Grammar xanh xanh của Raymond Murfy nữa. Phải bắt đầu từ những thứ mình thấy thích như nhạc, phim, truyện...

3. Học cái đầu tiên: Phát âm. Phát âm. Phát âm. Phát âm.

Nghe thì đơn giản và dường như chỉ dành cho gà thôi nhưng cái này cực quan trọng và ở những mà chỉ 5% những người học trường "top" như Ngoại Thương và Ngoại Ngữ or Hà Nội là nói hay. Đúng ngữ điệu, nói không sai âm và không bị thiếu từ, nghe tự nhiên... . (true story). Học bằng phần mềm Tell Me More và Pronunciation Workshop. Khi học phải ghi âm và sửa 1 cách kiên nhẫn cẩn thận. Không được vội với bước này. Nhưng học phát âm mà tự học giỏi được cũng phải khá là có năng khiếu. Còn không thì đi học thêm gv VN nào nói thật hay ấy, đừng học GV NN người ta không sửa cho mình kĩ được đâu.

4. Nghe Nói trước, Đọc viết sau.
Nghe Nghe Nghe Nghe Nghe Nghe Nghe Nghe Nghe Nghe Nghe Nghe

-Chăm nghe là chắc chắc giỏi tiếng Anh. Và nghe là cách học ngôn ngữ tốt nhất. Nghe ngày nghe đêm không cần hiểu. Bắt đầu nghe bằng cái thật chậm trước đã. Nghe cái Learn Via Listening hoặc là Dialogues for beginners.

Sau 2-3 tuần nghe liên tục thế có thể bắt đầu nghe nhạc và phim. Qua Step Up 18 ngách 23 ngõ 82 Chùa Láng mua nhé. Giá photo. Bao nhiêu công các anh chị trung tâm của a làm và dịch đấy.

-Học nghe qua bộ Effortless English cũng được, đợi Biển Sách ra đĩa có 30k thôi mà được full 4bộ. (đừng trách a quảng cáo gì vì các em search trên mạng cũng phải 90k rồi) .

-Download bộ audio trên của a về. Rồi cắm vào đt nghe suốt ngày nhé.

https://bitly.com/a/...n-tap-bai-hat-1

https://bitly.com/a/...n-tap-bai-hat-2

150 bài nghe VOA 

https://bitly.com/a/...50-bai-nghe-VOA

5. Từ mới là chìa khoá: 

-PHải có 1 quyển sổ siêu đẹp siêu cute (cả con trai cũng nên mua sổ cute =))) ) để cho mìh thật thích viết vào đó, nên viết bút đỏ. Chuyên ghi lại những gì mình học được trong ngày, những "tín hiệu" tiếng Anh mà mình gặp được và học được trong ngày. 1 ngày 10 từ trong 6 tháng chắc chắn là nghe hiểu được khá khá rồi. Dùng cả giấy dán loạn xị trong nhà nữa nhé, viết to đẹp và trang trí lên nữa. Ngày xưa a học 1 ngày được 50-100 từ . Do áp dụg kĩ thuật âm thanh tương tự trong quyển Tôi Tài Giỏi ấy. Nhưng ko phải ai cũng học dc theo cách này,cần sáng tạo 1 tí. Học từ mới qua phim và nhạc, thấy cái văn cảnh nào mình thích thì ghi lại, nhớ là chỉ thấy cái nào mình thích và cho mình nhiều cảm xúc thôi. Học qua quyển Vocabulary in Use trình độ elementary cũng hay. (hỏi chị Nguyệt quyển "từ vựng" nốt)

-Sẽ có những thứ các em biết thừa các từ lẻ nhưng đọc chẳgn hiểu (vd as long as hay là work out...) thì đó là idioms. Trong cái link a gửi cũng có. Mang ra ngoài hàng mà in nhé.

Từ điển bằng hình hơn 1000 từ tiếng ANh cơ bản rất hay. 

http://bit.ly/8in1-English-dictionary

6. Nói: Grammar kills your speaking. Nói dở cũng được nhưng phải nói ra thật nhiều.

Để nói có ngữ điệu hay thì không gì bằng nhại phim, người ta nói gì mình nhại theo đó là tự dưng sau 1 tháng sẽ có ngữ điệu tự nhiên. Khi người ta không nói thì mình ngồi bình luận phim hoặc diễn tả hành động diễn viên bằng lời. Cách nữa học nói là luyện nghĩ bằng tiếng Anh. Dịch toàn bộ câu mà mình nghe dc từ người nói chuyện với mình sang tiếng Anh. Dịch keyword thôi nhé, ko thì lại ko kịp.

Đi các clb speaking như Seamap cũng hay. Không thì ngồi nhà lẩm bẩm 1 mình hoặc nói chuyện với đứa cùng phòg cũng dc.

7. Đọc và viết: 

-Đọc truyện đê. Manga là thứ rất lôi cuốn và dễ vào đầu. http://kissmanga.com/ và search Doraemon hay là Dragon balls, Naruto... (cái này cực kì cực kì hay )
-Đọc Harry Potter bằng Eng cũng hay,miễn là cái gì mìhn thích đọc là được. Hoặc truyện cười .
-Đọc sách kinh doanh bằng tiếng Anh. Phải chấp nhận là 3 quyển đầu đọc chỉ để học. Quyển thứ 4 đọc là sẽ hiểu hiểu.

Đọc nhiều là viết sẽ lên .

8. Không bao giờ được bỏ cuộc

Thuốc có thể hợp với người này không hợp với người nọ, bạn không học có hứng chỉ là do chưa tìm được đúng thứ mình thích và chưa nỗ lực đủ thôi. Không được trách hay đổ lỗi vì 1 cái gì đó mà 10 năm học rồi vẫn không giỏi tiếng Anh. Tất cả là do mình. Đừng đợi đến khi ra trường rồi mới học vì chắc chắn chẳng còn thời gian đâu. Việc hnay là của hnay. Nhớ là không ngừng tìm cho mình chỗ học mới, phương pháp mới và tài liệu mới nhé. Mình ngày xưa mất công down và mua tới gần 200GB tài liệu cơ đấy. Tiếng Việt đã là ngôn ngữ khó nhất nhì thế giới rồi đấy. Tiếng Anh là còn dễ chán. CHẮC CHẮN bạn có thể giỏi Eng mà.

Trong 1000 sinh viên chắc chỉ có khoảng dưới 100 sinh viên là giỏi tiếng Anh, 80 trong số giỏi ấy là từ khối D và có sẵn năng khiếu nào đó về ngôn ngữ rồi. Và 20 là từ khối A, và trong 20 ấy chắc chỉ có vài ba người là tự học thành tài hiếm như lá mùa thu. Những gì bạn được đọc là thuộc vào hàng rất hiếm đó .

Chúc các em sẽ thành công. Nhớ rằng chỉ cần 1 ngày 1 giờ, sau 9 tháng là sẽ dùng tiếng Anh ổn ổn đấy, từ trình độ super gà như anh ngày xưa. Nhớ là phải share cái note này vì sẽ có rất rất nhiều người sẽ bế tắc với tiếng Anh đấy.

Nguồn: https://www.facebook...aily?ref=stream

CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐA THỨC 

Trần Nam Dũng

PHẦN I: ĐA THỨC

1. Đa thức và các phép toán trên đa thức  

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},$ trong đó $a_{i}\in \mathbb{R}$ và $a_{n}\neq 0.$

$a_{1}$ được gọi là các hệ số của đa thức, trong đó $a_{n}$ được gọi là hệ số cao nhất và $a_{0}$ được gọi là hệ số tự do.

$n$ được gọi là bậc của đa thức và kí hiệu là $n=deg(P).$ Ta quy ước bậc của đa thức hằng $P(x)=a_{0}$ với mọi $x$ là bằng $0$ nếu $a_{0}\neq 0$ và bằng nếu $a_{0}=0.$

Để tiện lợi cho việc viết các công thức, ta quy ước với đa thức $P(x)$ bậc $n$ thì vẫn có các hệ số $a_{k}$ với $k>n,$ nhưng chúng đều bằng $0.$

Tập hợp các đa thức $1$ biến trên trường các số thực được kí hiệu là $R[x].$ Nếu các hệ số được lấy trên tập hợp các số hữu tỷ, các số nguyên thì ta có khái niệm đa thức với hệ số hữu tỷ, đa thức với hệ số nguyên và tương ứng là các tập hợp $Q[x],Z[x].$

1.2. Đa thức bằng nhau

Hai đa thức $P(x)=\sum_{k=0}^{m}a_{k}x^{k},Q(x)=\sum_{k=0}^{n}b_{k}x^{k}$ bằng nhau khi và chỉ khi 

$m=n$ và $a_{k}=b_{k}\forall k=0,1,2,...,m.$

1.3. Phép cộng trừ đa thức.

Cho hai đa thức $P(x)=\sum_{k=0}^{m}a_{k}x^{k},Q(x)=\sum_{k=0}^{n}b_{k}x^{k}$. Khi đó phép cộng và trừ hai đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ được thực hiện theo từng hệ số của $x_{k},$ tức là

$P(x)\pm Q(x)=\sum_{k=0}^{max\begin{Bmatrix} m,n \end{Bmatrix}}(a_{k}\pm b_{k})x^{k}$ 

Ví dụ: $(x^{3}+3x^{2}-x+2)+(x^{2}+x-1)=x^{3}+4x^{2}+1$

1.4. Phép nhân đa thức

Cho hai đa thức $P(x)=\sum_{k=0}^{m}a_{k}x^{k},Q(x)=\sum_{k=0}^{n}b_{k}x^{k}$. Khi đó $P(x).Q(x)$ là một đa thức có bậc $m+n$ và có các hệ số xác định bởi 

$c_{k}=\sum_{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$

Ví dụ: $(x^{3}+x^{2}+3x+2)(x^{2}+3x+1)=(1.1)x^{5}+(1.3+1.1)x^{4}+(1.1+1.3+3.1)x^{3}+(1.1+3.3+2.1)x^{2}+(3.1+2.3)x+(2.1)=x^{5}+4x^{4}+7x^{3}+12x^{2}+9x+1$

1.5. Bậc của tổng, hiệu và tích của các đa thức

Từ các định nghĩa trên đây, dễ dàng suy ra các tính chất sau đây 

Đinh lý 1. Cho $P(x),Q(x)$ là các đa thức bậc $m,n$ tương ứng. Khi đó

a) $deg(P\pm Q)\leq max\begin{Bmatrix} m,n \end{Bmatrix}$ trong đó nếu $deg(P)\neq deg(Q)$ thì dấu bằng xảy ra. Trong trường hợp $m=n$ thì $deg(P\pm Q)$ có thể nhận bất cứ giá trị nào $\leq m$.

b) $deg(P.Q)=m+n$

1.6. Phép chia có dư

Định lý  2. Với hai đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ bất kỳ, trong đó $deg(Q)\geq 1,$ tồn tại duy nhất các đa thức $S(x)$ và $R(x)$ thoả mãn đồng thời các điều kiện:

$i)$ $P(x)=Q(x).S(x)+R(x)$

$ii)$ $deg(R)<deg(Q)$

Chứng minh. Tồn tại. Ta có thể chứng minh bằng quy nạp theo $m=deg(P).$ Nếu $deg(P)<deg(Q)$ thì ta có thể chọn $S(x)\equiv 0)$ và $R(x)=P(x)$ thoả mãn đồng thời các điều kiện $i)$ và $ii)$. Giả sử $m\geq n$ và định lý đã được chứng minh với đa thức có bậc nhỏ hơn $m.$ Ta chứng minh định lý đúng với các đa thức bậc $m.$ Giả sử 

$P(x)=\sum_{k=0}^{m}a_{k}x^{k},Q(x)=\sum_{k=0}^{n}b_{k}x^{k}$

Xét đa thức 

$H(x)=P(x)-\dfrac{a_{m}}{b_{n}}x^{m-n}Q(x)$

$=(a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x+a_{0})-\dfrac{a_{m}}{b_{n}}x^{m-n}(b_{n}x^{n}+...+b_{0})$

$=\begin{pmatrix} a_{m-1}-\dfrac{a_{m}b_{n-1}}{b_{n}} \end{pmatrix}x^{m-1}+...$

Do hệ số của $x^{m}$ ở hai đa thức bị triệt tiêu nên bậc của $H(x)$ không vượt quá $m-1$.

Theo giả thiết quy nạp, tồn tại các đa thức $S*(x)$ và $R*(x)$ sao cho 

$H(x)=S*(x).Q(x)+R*(x)$

Nhưng khi đó 

$P(x)=H(x)+\frac{a_{m}}{b_{n}}x^{m-n}Q(x)=(\frac{a_{m}}{b_{n}}x^{m-n}+S*(x))+R*(x)$

Vậy đặt $S(x)=\frac{a_{m}}{b_{n}}x^{m-n}+S*(x)$ và $R(x)=R*(x)$ ta được biểu diễn cần tìm cho $P(x)$ 

Duy nhất. Giả sử ta có hai biểu diễn $P(x)=S(x).Q(x)+R(x)$ và $P(x)=S*(x).Q(x)+R*(x)$ thoả mãn điều kiện ii). Khi đó 

$Q(x).(S(x)-S*(x))=R*(x)-R(x).$ 

Ta có, theo điều kiện $ii)$ và định lý $1$ thì $deg(R*(x)-R(x))<deg(Q).$ Mặt khác, nếu $S(x)-S*(x)$ không đồng nhất bằng $0$ thì 

$deg(Q(x).(S(x)-S*(x)))=deg(Q(x))+deg(S(x)-S*(x))\geq deg(Q).$

Mâu thuẫn vì hai vế bằng nhau.

Theo ký hiệu của định lý thì $S(x)$ được gọi là thương số và $R(x)$ được gọi là dư số trong phép chia $P(x)$ cho $Q(x).$ 

Phép chứng minh nói trên cũng cho chúng ta thuật toán tìm thương số và dư số của phép chia hai đa thức, gọi là phép chia dài (long division) hay sơ đồ Horner

Ví dụ: Thực hiện phép chia $3x^{3}-2x^{2}+4x+7$ cho $x^{2}+2x$ được $3x-8$, dư $20x+7.$

1,7. Sự chia hết. Ước và bội.

Trong phép chia $P(x)$ cho $Q(x),$ nếu dư số $R(x)$ đồng nhất bằng $0$ thì ta nói rằng đa thức $P(x)$ chia hết cho đa thức $Q(x).$ Như vậy, $P(x)$ chia hết cho $Q(x)$ nếu tồn tại đa thức $S(x)$ sao cho $P(x) = Q(x).S(x).$ Trong trường hợp này ta cũng nói $Q(x)$ chia hết $P(x),$ $Q(x)$ là ước của $P(x)$ hoặc $P(x)$ là bội của $Q(x).$ Ký hiệu tương ứng là $Q(x) | P(x)$ và $P(x)\vdots Q(x).$

Ví dụ: Tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức $x^5-5x+4$ và $x^3-3x^2+2$

Bài toán 3. Tìm dư trong phép chia $x^{100}$ cho $\left ( x-1 \right )^2$.

Giải: Giả sử $x^{100}=\left ( x-1 \right )^2Q\left ( x \right )+Ax+B$. Thay $x=1$, ta được

            $1 = A + B$.

Lấy đạo hàm hai vế rồi cho $x = 1$, ta được

            $100 = A$

Từ đó suy ra dư là $100x – 99$.

$\bigstar$ $\bigstar$ PHẦN II: ĐA THỨC VÀ NGHIỆM $\bigstar$ $\bigstar$

Nghiệm của đa thức đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của đa thức. Nhiều tính chất của đa thức được thể hiện qua nghiệm của chúng. Ngược lại, việc nghiên cứu tính chất các nghiệm của đa thức cũng cũng là một trong các vấn đề trung tâm của đại số.

2.1. Ví dụ mở đầu

            Xét xem số $\alpha=\sqrt[3]{3+\sqrt{3+\sqrt{3}}}$ là hữu tỉ hay vô tỉ

Ta có thể giải bài toán này bằng cách chứng minh lần lượt các mệnh đề sau:

$1)$ Nếu $a$ vô tỷ thì $\alpha$ vô tỷ

$2)$ Nếu $a$ vô tỷ thì $\sqrt[3]{\alpha}$ vô tỷ

$3)$ $\sqrt{3}$ vô tỷ

Nhưng ta cũng có thể có một cách tiếp cận khác như sau:

$1)$ Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận $\alpha$ làm nghiệm

$2)$ Chứng minh rằng đa thức này không có nghiệm hữu tỷ

Việc tìm đa thức với hệ số nguyên nhận $\alpha$ làm nghiệm được tiến hành như sau

Vấn đề còn lại là chứng minh $(*)$ không có nghiệm hữu tỷ. Việc này sẽ được thực hiện ở cuối bài.

2.2. Nghiệm của đa thức, định lý Bezout.

Định nghĩa. Số thực $a$ (trong một số trường hợp, ta xét cả các số phức) được gọi là nghiệm của đa thức $P(x) = a^nx_n + a^{n-1}x_{n-1} +...+ a_1x + a_0$ nếu $P(a)=0,$ tức là

            $$a^na_n + a^{n-1}a_{n-1} +..+ a_1a + a_0 = 0.$$

Ta có định lý đơn giản nhưng rất có nhiều ứng dụng sau đây về nghiệm của đa thức:

Định lý 5. $a$ là nghiệm của đa thức $P(x)$ khi và chỉ khi $P(x)$ chia hết cho $x – a.$

Định lý này là hệ quả của định lý sau:

Định lý 6. Số dư trong phép chia đa thức $P(x)$ cho $x – a$ là $P(a).$

Cả định lý $5$ và định lý $6$ đều được gọi là định lý $Bezout.$ Để chứng minh định lý $6,$ ta chỉ cần chứng minh $P(x) – P(a)$ chia hết cho $x – a.$ Nhưng điều này là hiển nhiên vì

$$P(x)–P(a) = a_n(x^n-a^n) + a_{n-1}(x^{n-1}-a^{n-1}) +...+ a_1(x-a)$$

và

 $$x^k-a^k=(x-a)(x^{k-1}+x^{k-2}a+...+a^{k-1})$$

Từ định lý $5,$ ta có thể có một định nghĩa khác cho nghiệm của đa thức như sau: $a$ là nghiệm của đa thức $P(x)$ nếu $P(x)=(x-a)Q(x)$ với $Q(x)$ là một đa thức nào đó. Với định nghĩa này, ta có thể phát triển thành định nghĩa về nghiệm bội.

Định nghĩa. $a$ được gọi là nghiệm bội $r$ của đa thức $P(x)$ nếu $P(x)=(x-a)^{r}Q(x)$ với $Q(a)\neq 0$

2.3. Định lý Vieta

Định lý 7. Xét đa thức $P(x) \in R[x].$ Nếu $x_1,x_2,...,x_k$ là các nghiệm phân biệt của $P(x)$ với các bội $r_1,r_2,...,r_k$ tương ứng thì $P(x)$ chia hết cho $(x-x_1)^{r_1}(x-x_2)^{r_2}...(x-x_k)^{r_k}$.

Chứng minh: Điều này là hiển nhiên theo định nghĩa và do các đa thức $(x-x_i)^{r_i}$ đôi một nguyên tố cùng nhau.

Hệ quả:

a) Một đa thức bậc $n$ với hệ số thực có không quá $n$ nghiệm thực.

b) Nếu hai đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ có bậc nhỏ hơn hay bằng $n$ bằng nhau tại $n+1$ điểm thì hai đa thức này bằng nhau.

$$x^k-a^k=(x-a)(x^{k-1}+x^{k-2}a+...+a^{k-1})$$

Định lý 8. Xét đa thức $P(x) \in R[x]$ bậc $n.$ Giả sử $x_1,x_2,...,x_k$ các nghiệm phân biệt của $P(x)$ với các bội $r_1,r_2, …,r_k$ tương ứng. Nếu $r_1+r_2+…+r_k=n$ thì 

$$P(x)=a_n(x-x_1)^{r_1}(x-x_2)^{r_2}...(x-x_k)^{r_{k}}$$

Chứng minh: Dùng định lý 9, ta suy ra $P(x)$ chia hết cho $(x-x_1)^{r_1}(x-x_2)^{r_2}…(x-x_k)^{r_k}$, suy ra$P(x)=(x-x_1)^{r_1}(x-x_2)^{r_2}…(x-x_k)^{r_k}Q(x)$. So sánh bậc và hệ số cao nhất, ta suy ra $Q(x)=a_n$.

Định lý 9. (Định lý $Vieta$) Giả sử đa thức $P(x)=a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ có $n$ nghiệm (trong đó có thể có các nghiệm bội)  là $x_1,x_2,..,x_n$ thì $P(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$

và như hệ quả ta có:

$$x_1+x_2+...+x_n=\frac{-a_{n-1}}{a_n};$$

$$x_1x_2+x_1x_3+...+x_1x_n+x_2x_3+...+x_2x_n+...+x_{n-1}x_n=\frac{a_{n-2}}{a_n};$$

$$...$$

$$x_1x_2...x_n=(-1)\frac{na_0}{a_n}.$$

Định lý 10. (Định lý $Vieta$ đảo) 

a) Nếu $x+y=S$, $x.y=P$ thì $x,y$ là 2 nghiệm của phương trình 

$$X^2-SX+P=0$$

b) Nếu $x+y+z=S$, $xy + yz + zx = T, xyz = P$ thì x, y, z là 2 nghiệm của phương trình

Hệ quả 1. Một đa thức bậc n có không quá n nghiệm.

Bài 2: Tập hợp các bội của 10 là tập hợp các số dạng: $x=10.k$, $k\epsilon N\Rightarrow 20<10k\leq 84\Rightarrow 2

Vậy ta lấy: $k=3,4,5,6,7,8$ và có tập hợp các số x là: $={30,40,50,60,70,80}$

Bài 3: Đối với người thứ hai thì điều quan trọng là chữ số cuối cùng mà anh ta viết. Sau khi người thứ nhất viết chữ số cuối cùng, ta được chữ số có 9 chữ số. Đem chia cho 7, ta được số dạng $7k+r$ với $\leq r\leq 7$

Người thứ hai, đến lượt mình cần chọn một chữ số sao cho con số cuối cùng đạt được, chia hết cho 7

Con số với 10 chữ số có dạng $(7k+r).10+a=(7k+7r)+(3r+a)$

Do vậy phải chọn a sao cho $3r+a\vdots 7$

* Với r=0 $\Rightarrow$ chọn a=7

* Với r=1 $\Rightarrow$ chọn a=4

* Với r=2 $\Rightarrow$ chọn a=1 hoặc a=8

* Với r=3 $\Rightarrow$ chọn a=5

* Với r=4 $\Rightarrow$ chọn a=2 hoặc a=9

* Với r=5 $\Rightarrow$ chọn a=6

* Với r=6 $\Rightarrow$ chọn a=3

Bài 4: Vì n là số lẻ, đặt $n=2k+1$

Ta có: $A=n^{2}+4n+5=(2k+1)^{2}+4(2k+1)+5=4k^{2}+4k+1+8k+4+5=4k^{2}+4k+8k+8+2\Rightarrow A=4k(k+1) +8(k+1)+2$

Trong hai số k, k+1 có một số chẵn 

Do vậy $4k(k+1)$$\vdots 8$

Rõ ràng $8(k+1)$$\vdots 8$

Nhưng 2 không chia hết cho 8

Vậy A không chia hết cho 8