Bài toán 24. Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ bất kỳ trên $(O)$. Lấy $Q$ sao cho $PQ$ vuông góc $BC$ và $A(BC,QP)=-1$. Kẻ hình bình hành $AEQF$ với $E,F$ lần lượt nằm trên $AC,AB$. $K$ là trực tâm $AEF$. Chứng minh $KP$ đi qua trực tâm $H$ của $ABC$.

Bài 27. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $(I)$ có $P$ là điểm chính giữa cung $BC$ nhỏ. $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. và $(AEF)$ cắt $(O)$ tại $Z$ khác $A$. $ZP$ cắt $(I)$ tại $Q$ và $AQ$ cắt $(I)$ tại $T$. $K$ là giao điểm của đường cao $AH$ và đường thẳng Simson của $P$ đối với tam giác $ABC$. Chứng minh $(ATK)$ tiếp xúc $(I)$

Bài toán 23. Cho tam giác $ABC$ nhọn với đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. $M$ là trung điểm $BC$. Trên $EF$ lấy các điểm $Q,R$ sao cho $MQ⊥AB$ và $MR⊥AC$. Lấy các điểm $S,T$ sao cho $CS||RT⊥DE$, $QS||BT⊥DF$. $K$ là hình chiếu của trung điểm $AH$ lên $HM$. Chứng minh $DK⊥ST$

bài bài này đăng vui thôi

Bài 21. JBMO 2022 mới vừa thi xong : Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$ và chân đường cao đỉnh $A$ là $D$ thỏa mãn $HA=HD$. Dựng tiếp tuyến $l$ của $HBC$ sao cho $l$ cắt $AB,AC$ tại $S,T$. $M,N$ là trung điểm $HB,HC$. Chứng minh $SM||TN$.

Bài 29. Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B,C$ cố định nằm trên đường tròn. $A$ di động trên đường tròn ấy và một đường thẳng $d$ bất kỳ không cắt $(O)$ và cố định. $AB,AC$ cắt $d$ tại $D,E$. Chứng minh đường tròn đường kính $DE$ tiếp xúc với 2 đường tròn cố định khác.

để topic tiếp tục hoạt động ( vì bài trên có vẻ hơi quá tầm với mn....)  mình xin post bài mới

Bài 31. Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ bất kỳ nằm trên trung trực $BC$. $X,Y$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABM$ và $ACM$. Chứng minh $(AXY)$ luôn đi qua 1 điểm cố định

Bài 36. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I, Ia lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Gọi AA1 là đường kính của đường tròn (O). IaA1 cắt lại đường tròn (O) tại T, AI cắt BC tại E và đường thẳng qua I vuông góc với AE cắt AC tại P. Chứng minh rằng AT, EP và BI đồng quy

Bài 35. Cho hình bình hành $ABCD$ có $P$ là điểm bất kỳ trên $AB$. $DP,CP$ lần lượt cắt $CB$ và $AD$ tại $E,F$. $G$ là tâm vị tự trong của đường tròn nội tiếp hai tam giác $PAE$ và $PBF$. Chứng minh $PG$ đi qua điểm Nagel của tam giác $PCD$. 

góp vui

Bài toán 6. Trên cạnh $\displaystyle AB$ của ngũ giác $\displaystyle ABCDE$ lấy điểm $\displaystyle F$ sao cho $\displaystyle \Delta ADE\sim \Delta ECF\sim \Delta DBC$. Chứng minh rằng $\displaystyle \frac{AF}{BF} =\frac{EF^{2}}{CF^{2}}$.

Còn bài này ai xử nốt đi ) 

Bài 33. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và điểm $P$ bất kỳ trên $(O)$. $J,K$ là tâm đường tròn $(BOP)$ và $(COP)$. $Y,Z$ là hình chiếu của $J,K$ lên $AC,AB$. Chứng minh $YZ$ đi qua 1 điểm cố định khi $P$ di chuyển trên $(O)$

Bài toán 20. Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm nội tiếp. Đường tròn bàng tiếp góc $B,C$ lần lượt tiếp xúc với $AC,AB$ tại $X,Y$. Gọi $AD,AE$ là đường cao và đường phân giác của tam giác $ABC$. Chứng minh $DE$song song với tiếp tuyến tại $I$ của $(IDE)$.

Bài toán 19. Cho tam giác $ABC$ có tâm ngoại tiếp và trực tâm lần lượt là $O,H$. $M$ bất kỳ trên $(O)$, $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $BC$. $P$ là giao thứ hai của $AM$ và $(OMN)$. Chứng minh $HN$ đi qua trực tâm của $AOP$

Bài toán 9. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ phân giác ngoài $\displaystyle AK$. Gọi $\displaystyle M$ là trung điểm cung $\displaystyle AC$ không chứa $B$ của $\displaystyle ( ABC)$ và lấy $\displaystyle N$ trên phân giác góc $\displaystyle C$ sao cho $\displaystyle AN\parallel BM$. Chứng minh $\displaystyle M,N,K$ thẳng hàng.

um làm hàng điểm cũng được, k thì dùng menelaus tính hết ra 

Bài toán 5. (Sưu tầm) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$ ngoại tiếp $(I)$. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Gọi $X,Y,Z$ là trung điểm của $EF,DF,DE$. $K$ là giao điểm của $BZ$ và $CY$. $DK$ cắt $(I)$ tại $T$. Chứng minh rằng $T,X,I,K$ đồng viên.

Screenshot (1480).png

bài này, trước hết mình xin tách ra thành 1 bài toán nhỏ riêng biệt trước để giải như sau : Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có đường cao $\displaystyle AD$, $\displaystyle G$ là trung điểm $\displaystyle AD$. $\displaystyle X,Y$ là hình chiếu của $\displaystyle D$ lên $\displaystyle GB,GC$. Gọi $\displaystyle Z$ là giao điểm $\displaystyle BX,CY$. Chứng minh $\displaystyle \odot ( XYZ)$ tiếp xúc $\displaystyle \odot ( AD)$.

Gọi $\displaystyle M$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $\displaystyle BYXZ$. Chú ý rằng ta cũng có $\displaystyle GD^{2} =GY.GB=GX.GC$ nên tứ giác $ \displaystyle BYCX$ nội tiếp. Gọi $ \displaystyle J$ là giao điểm của $\displaystyle XY$ và $l\displaystyle BC$. Gọi $ \displaystyle O$ là tâm của $ \displaystyle \odot ( BYC)$. Theo bổ đề quen thuộc thì $ \displaystyle O,Z,M$ thẳng hàng vì cũng vuông góc $\displaystyle JG$. Mặt khác xét $\displaystyle M\in \odot ( GD)$.Nên $ \displaystyle \angle GMD=\angle GYD=90^{0}$

Dẫn tới $ \displaystyle DM\perp JG$ hay 4 điểm $ \displaystyle M,Z,D,O$ thẳng hàng.

Gọi $ \displaystyle T$ là giao điểm thứ hai của $ \displaystyle OM$ với $\displaystyle \odot ( AD)$. Ta có $ \displaystyle GM\perp TD$ nên dẫn tới $l \displaystyle T$ và $ \displaystyle D$ đối xứng nhau qua $\displaystyle GM$. Vì vậy $ \displaystyle JD=JT$. Mặt khác gọi $ \displaystyle N$ là chân đường cao từ $ \displaystyle G$ xuống $ \displaystyle JGO$. Biến đổi góc cho ta

$ \displaystyle \angle OYC=90^{0} -\angle GBC=\angle YGD=\angle YMD$

Nên $\displaystyle YMOC$ nội tiếp. Dẫn tới

$ \displaystyle ZM.ZO=ZY.ZC=ZG.ZN=ZT.ZD$

Vì $\displaystyle T\in \odot ( JG)$. Bằng biến đổi góc , chú ý $ \displaystyle TYDC$ nội tiếp thì $ \displaystyle \angle YTD=\angle YCD=\angle YXB$

Dẫn tới $ \displaystyle T\in ( XYZ)$. Đến đây cũng có $l \displaystyle JD^{2} =JT^{2} =JM.JG=JY.JZ$ nên $latex \displaystyle JT$ vừa là tiếp tuyến của $\displaystyle ( AD)$ vừa là tiếp tuyến của $ \displaystyle ( XYZ)$. Bài toán hoàn tất.

Sau đó thì giải tiếp như sau 

Một bài cực hay và đẹp từ đề thi Sharygin mà mình sưu tầm được

Bài toán 7.(Sharygin 2011) Cho tứ giác $\displaystyle ABCD$ nội tiếp. Phân giác trong của góc $\displaystyle \angle A,\angle B,\angle C,\angle D$ cắt nhau tạo thành một tứ giác nội tiếp đường tròn $\displaystyle ( I)$. Tương tự với các phân giác ngoài ta thu được đường tròn $\displaystyle ( J)$. Chứng minh $\displaystyle O$ là trung điểm $\displaystyle IJ$

Bài 14. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nhọn, $\displaystyle BE,CF$ là các đường cao của tam giác đó. Trên $\displaystyle BE,CF$ lấy $\displaystyle M,N$ sao cho $\displaystyle EF=MF=NE$. $\displaystyle MF$ cắt $\displaystyle NE$ tại $\displaystyle K$. Chứng minh trực tâm của $\displaystyle KMN$ nằm trên trung trực $\displaystyle BC$.

Mô hình bài toán 5 rất đẹp và trong lúc làm thì mình có rút ra được 1 số hệ quả như sau đây 

Hệ quả 1. Gọi $\displaystyle O$ là tâm của $\displaystyle BYZC$. $\displaystyle JO$ cắt $\displaystyle IK$ tại $\displaystyle G$ thì $\displaystyle A,T,G$ thẳng hàng.

Bài toán 17. Cho tam giác $ABC$ với $P$ là điểm bất kỳ. Đường tròn $(PAB),(PAC)$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$. Đường tròn $(AEF)$ cắt $AP$ tại $M$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(AEF)$ cắt EF tại $X$. Chứng minh đối xứng của $M$ qua $XP$ nằm trên $(ABC)$.  

bài toán 15

Bài toán 16

lòi giải bài 14

Bài toán 2. (Trần Quang Hùng) Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB<AC$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $DE,DF$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. Gọi $R$ là trung điểm của $PQ$. $OH$ cắt $AR$ tại $L$. Gọi $N$ là tâm đường tròn Euler của $\Delta ABC$. Chứng minh rằng trực tâm của $\Delta ALN$ nằm trên $EF$.

Screenshot (1475).png