2/
*Chú ỷ rằng một số chính phương chia 8 dư 0;1 hoặc 4.
a. $ b^2 \equiv 0;4 (mod 8) <=> b \vdots 2 <=> abc \vdots 2 $
b. $ b^2 \equiv 1 (mod 8) & b^2-4ac \equiv 0;1;4 (mod 8) <=> 4ac \vdots 8 <=> ac \vdots 2 <=> abc \vdots 2$
*Một số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1.
a. $ b^2 \equiv 0 (mod 3) <=> b \vdots 3 <=> abc \vdots 3 $
b. $ b^2 \equiv 1 (mod 3) & b^2-4ac \equiv 0;1 (mod 3) <=> 4ac \equiv 0;1 (mod 3)$
$ b^2 \equiv 1 (mod 3) & b^2+4ac \equiv 0;1 (mod 3) <=> 4ac \equiv 0;2 (mod 3)$
$\rightarrow 4ac \equiv 0 (mod 3) <=> ac \equiv 0 (mod 3) (do (3,4)=1) <=> abc\vdots 3$
*Một số chính phương chia 5 dư o;1 hoặc 4.
a.$b^2 \vdots 5 <=> abc \vdots 3$
b. $b^2 \equiv 1 (mod 5); b^2-4ac \equiv 0;1;4 (mod 5) <=> 4ac \equiv 1;0;2 (mod 5)$
$b^2+4ac \equiv 0;1;4 (mod 5) <=> 4ac \equiv 4;0;3$
Vậy $4ac \equiv 0 (mod 5) <=> abc \vdots 5$
* Do (2,3,5)=1 $=>abc \vdots (2.3.5=30)$
pth_tdn nội dung
Có 91 mục bởi pth_tdn (Tìm giới hạn từ 25-04-2020)
#222149 Vài bài khó!
Đã gửi bởi
on 03-12-2009 - 11:24
trong
Số học
#205812 tìm số dư
Đã gửi bởi
on 20-07-2009 - 14:35
trong
Số học
$\dfrac{x^{100}-1}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)(x^{99}-x^{98}+...+x-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x^{99}-x^{98}+...+x-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)+x^2(x-1)+...+x^{98}(x-1)}{x-1}=1+x^2+x^4+...+x^{98}$
Vậy $x^{100}-1 \vdots (x-1)^2$
Suy ra $x^{100}$ chia $(x-1)^2$ dư 1.
Vậy $x^{100}-1 \vdots (x-1)^2$
Suy ra $x^{100}$ chia $(x-1)^2$ dư 1.
#205772 tìm số dư
Đã gửi bởi
on 20-07-2009 - 08:55
trong
Số học
$x^{100}-1=(x^{50}-1)(x^{50}+1)=(x^{25}-1)(x^{25}+1)(x^{50}+1)
=(x^{25}-1)(x+1)(x^{24}-x^{23}+...-x+1).(x+1)(x^{49}-x^{48}+...-x+1) \vdots (x+1)^2$
Vậy $x^{100}$ chia $(x+1)^2$ dư 1.
=(x^{25}-1)(x+1)(x^{24}-x^{23}+...-x+1).(x+1)(x^{49}-x^{48}+...-x+1) \vdots (x+1)^2$
Vậy $x^{100}$ chia $(x+1)^2$ dư 1.
#199391 TTSP
Đã gửi bởi
on 30-05-2009 - 09:26
trong
Tài liệu - Đề thi
2, Có số 3 không anh? Nếu có thì:nhìn lại đề thi mới thấy sao lớp 9 mình dốt đến thế :L
01,cho các số thực a,b:CMR:
$(a^2+1)(b^2+1)$$(a+1)(b+1)(ab+1)$
02,ch0 các số $1,2,,4,5,6,7,8,9$
chia các số này thành 3 tập .Xét tích các phần tử trong mỗi tập .Gọi A là tích lớn nhất CMR:
$A$$71$
Giả sử cả 3 tích này đều bé hơn 71 thì tích của cả chín số trên sẽ bé hơn $71^3$
Ta lại có: 1.2.3.4.5.6.7.8.9=(8.9)(2.5.7)(3.4.6)=72.70.72=72.(71+1).(71-1)=72.($71^2$-1)>72. $71^2$>$71^3$ (trái với điều ở trên)
Vậy: tích lớn nhất phải lớn hơn hoặc bằng 71.
#204168 TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Đã gửi bởi
on 06-07-2009 - 21:22
trong
Số học
Gọi vận tốc tàu khi nước lặn là a (km/h)
Theo đề bài: $\dfrac{80}{a+4}+\dfrac{80}{a-4}=8h30'=\dfrac{17}{2} (h)
<=> 80 (\dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{a-4})=\dfrac{17}{2}
<=> \dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{a-4}=\dfrac{17}{160} <=>\dfrac{2a}{a^2-4}=\dfrac{17}{160}
<=> 2a=\dfrac{17a^2-68}{160} <=> 320a=17a^2-68 <=> 17a^2-320a-68=0$
Tời đây giải pt bậc 2 để tìm a
Theo đề bài: $\dfrac{80}{a+4}+\dfrac{80}{a-4}=8h30'=\dfrac{17}{2} (h)
<=> 80 (\dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{a-4})=\dfrac{17}{2}
<=> \dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{a-4}=\dfrac{17}{160} <=>\dfrac{2a}{a^2-4}=\dfrac{17}{160}
<=> 2a=\dfrac{17a^2-68}{160} <=> 320a=17a^2-68 <=> 17a^2-320a-68=0$
Tời đây giải pt bậc 2 để tìm a
#235463 T7 (:D)
Đã gửi bởi
on 23-04-2010 - 20:29
trong
Số học
Cách em hơi dở >"<...
$A=\dfrac{1}{5}(1+\dfrac{1}{3}+...)$
$=\dfrac{1}{5}[1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+(\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{15})+(\dfrac{1}{17}+...+\dfrac{1}{25})+(\dfrac{1}{27}+...+\dfrac{1}{35})+(\dfrac{1}{37}+...+\dfrac{1}{45})+...]$
$>\dfrac{1}{5}(1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+5.\dfrac{1}{15}+5.\dfrac{1}{25}+5.\dfrac{1}{35}+5.\dfrac{1}{45})$
$>\dfrac{1}{5}.(1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9})=\dfrac{1}{5}.(\dfrac{31}{15}+\dfrac{16}{63})>\dfrac{1}{5}.(2+\dfrac{1}{4})=\dfrac{9}{20}$
$A=\dfrac{1}{5}(1+\dfrac{1}{3}+...)$
$=\dfrac{1}{5}[1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+(\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{15})+(\dfrac{1}{17}+...+\dfrac{1}{25})+(\dfrac{1}{27}+...+\dfrac{1}{35})+(\dfrac{1}{37}+...+\dfrac{1}{45})+...]$
$>\dfrac{1}{5}(1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+5.\dfrac{1}{15}+5.\dfrac{1}{25}+5.\dfrac{1}{35}+5.\dfrac{1}{45})$
$>\dfrac{1}{5}.(1+\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9})=\dfrac{1}{5}.(\dfrac{31}{15}+\dfrac{16}{63})>\dfrac{1}{5}.(2+\dfrac{1}{4})=\dfrac{9}{20}$
#199799 Sử dụng tính chẵn lẻ trong giải toán số học
Đã gửi bởi
on 01-06-2009 - 22:58
trong
Chuyên đề toán THCS
3. $ n^2 $ chia 4 dư 0 hoặc 1.
Nên $ n^2+2002$ chia 4 dư 2 hoặc 3 (2002 chia 4 dư 2) ->không thể là số chính phương được.
Nên $ n^2+2002$ chia 4 dư 2 hoặc 3 (2002 chia 4 dư 2) ->không thể là số chính phương được.
#210530 số hoc. số nguyên tố>>>>>>>>
Đã gửi bởi
on 16-08-2009 - 17:03
trong
Số học
Giả sử $x_0$ là nghiệm của phương trình trên.
Th1: x=0
=>q=0 (không thỏa mãn)
Th2: $x \neq 0$
=>$0 \vdots x$ => $x^4-px+q \vdots x$ => $q \vdots x$
Suy ra x=q hoặc x=1.
*Nếu x=1 thì p-q=1=>Có một số chẵn và một số lẻ. Chú ý rằng p,q nguyên tố, ta được p=3;q=2.
*Nếu x=q thì: $q^4-pq+q=0$
$=>q(q^3-p+1)=0 <=>q^3-p+1=0$ (do q nguyên tố, khác 0).
$=> p-q^3=1$ =>$p$ và $q^3$ khác tính chẵn lẻ. => p và q khác tính chẵn lẻ. Ta đc p=3;q=2 hoặc p=2;q=3.
Thử lại:không có trường hợp nào thỏa mãn.
*Kết luận: p=3;q=2;x=1.
Th1: x=0
=>q=0 (không thỏa mãn)
Th2: $x \neq 0$
=>$0 \vdots x$ => $x^4-px+q \vdots x$ => $q \vdots x$
Suy ra x=q hoặc x=1.
*Nếu x=1 thì p-q=1=>Có một số chẵn và một số lẻ. Chú ý rằng p,q nguyên tố, ta được p=3;q=2.
*Nếu x=q thì: $q^4-pq+q=0$
$=>q(q^3-p+1)=0 <=>q^3-p+1=0$ (do q nguyên tố, khác 0).
$=> p-q^3=1$ =>$p$ và $q^3$ khác tính chẵn lẻ. => p và q khác tính chẵn lẻ. Ta đc p=3;q=2 hoặc p=2;q=3.
Thử lại:không có trường hợp nào thỏa mãn.
*Kết luận: p=3;q=2;x=1.
#201532 Siêu dễ
Đã gửi bởi
on 16-06-2009 - 21:36
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Chia vế phải cho ab:Cho a,b là hai số kô âm. CMR:
$a^2 + b^2 \ge (a + b)\sqrt[{a + b}]{{a^a b^b }}$
$(a + b) \dfrac{\sqrt[a + b]{a^a b^b }}{ab} = (a + b) \dfrac{\sqrt[a + b]{a^a b^b}}{\sqrt[a + b]{a^{a+b} b^{b+a}}} = (a+b) \sqrt[{a+b}]{\dfrac{1}{a^b.b^a}} \leq (a+b) . \dfrac{\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}}{a+b} = \dfrac{a^2+b^2}{ab}$ .
=> $ VP \leq \dfrac{a^2+b^2}{ab}.ab=a^2+b^2=VT$.
#235122 rời rạc
Đã gửi bởi
on 21-04-2010 - 11:30
trong
Các dạng toán khác
Lúc đầu có 2005 tấm xanh,0 tấm đỏ. Hiệu chia 4 dư 1.
Sau khi lật 4 tấm bất kì, giả sử trong đó có n tấm xanh và m tấm đỏ (n+m=4). thì số tấm đỏ sau đó tăng thêm n giảm m; số tấm xanh giảm n tăng thêm m. Hiệu của chúng so với trước đó là $x+n-m-(y-n+m)=x-y+2(n-m)$.
Ta có $n-m=n+m-2m=4-2m$ chẵn. => Hiệu số tấm xanh và số tấm đỏ sau và trước khi chuyển đổi có cùng dư khi chia cho 4 (chia 4 dư 1).
Nếu 2005 tấm đỏ, 0 tấm xanh thì hiệu là -2005 chia 4 dư 3 => Không thể thực hiện được.
Sau khi lật 4 tấm bất kì, giả sử trong đó có n tấm xanh và m tấm đỏ (n+m=4). thì số tấm đỏ sau đó tăng thêm n giảm m; số tấm xanh giảm n tăng thêm m. Hiệu của chúng so với trước đó là $x+n-m-(y-n+m)=x-y+2(n-m)$.
Ta có $n-m=n+m-2m=4-2m$ chẵn. => Hiệu số tấm xanh và số tấm đỏ sau và trước khi chuyển đổi có cùng dư khi chia cho 4 (chia 4 dư 1).
Nếu 2005 tấm đỏ, 0 tấm xanh thì hiệu là -2005 chia 4 dư 3 => Không thể thực hiện được.
#235249 PTNN
Đã gửi bởi
on 22-04-2010 - 06:36
trong
Số học
Tìm x,y,z nguyên: $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$.
#204243 PT nghiệm nguyên đây
Đã gửi bởi
on 07-07-2009 - 17:23
trong
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
98=2.7.7 chia hết cho 7.
Ta có: x nguyên.=>$x^3$ chia 7 dư -1;0;1.
$19x^3$ chia 7 dư 0 hoặc 2.
=> $19x^3-98y^2$ chia 7 dư 0 hoặc 2. Mà 1998 chia 7 dư 3.
=> Pt vô nghiệm nguyên.
Ta có: x nguyên.=>$x^3$ chia 7 dư -1;0;1.
$19x^3$ chia 7 dư 0 hoặc 2.
=> $19x^3-98y^2$ chia 7 dư 0 hoặc 2. Mà 1998 chia 7 dư 3.
=> Pt vô nghiệm nguyên.
#201414 Phương trình nghiệm nguyên, số chính phương
Đã gửi bởi
on 15-06-2009 - 21:36
trong
Số học
Do 4 chia 3 dư 1 nên $4^y \equiv 1 (mod 3) $=>$5^z \equiv 1 (mod 3)$Giải PT nghiệm nguyên : $3^{x}+4^{y}=5^{z}$
Ta có: $5^z \equiv 2^z (mod 3)$ nên $2^z \equiv 1 (mod 3)$. Mà $2 \equiv -1 (mod 3)$ nên ta có z chẵn. Đặt z=2a (a là một số tự nhiên).
=>$3^x=(5^a-2^y)(5^a+2^y)$.
Suy ra cả 2 số $5^a-2^y;5^a+2^y$ đều là lũy thừa của 3.
Nếu $5^a-2^y>1$ thì $5^a-2^y; 5^a+2^y$ phải đồng thời chia hết cho 3.
=>$(5^a-2^y)+(5^a+2^y)=2.5^a$ chia hết cho 3. Điều này không thỏa mãn do cả 2 và $5^a$ đều nguyên tố cùng nhau với 3 nên không thể chia hết cho 3 được.
=>$5^a-2^y=1$ và $5^a+2^y=3^k$
=>$2.5^a \equiv 2. (-1)^a \equiv 1 \equiv -2 (mod 3)$=>a phải là một số lẻ.
Ta có: $5^a$ tận cùng bằng 5. Suy ra $2^y$ phải tận cùng bằng 4.
=> y chia 4 dư 2 (chia hết cho 2). Đặt a=2p+1; y=2q
Ta có pt: $5^{2p+1}+2^{2q}=3^x$.
Nếu q=1 thì: $5^{2p+1}-4=1$ nên 2p+1=1=>p=0.=>a=1=>z=2;y=2 và x=2.
Nếu q>1 thì: $2^{2q}$ chia hết cho 8.
$5^{2p+1}=25^p.5 \equiv 5 (mod 8)$.
$3^x \equiv 0;3 (mod 8)$ mà $5^{2p+1}+2^{2q} \equiv 5 (mod 8)$ nên không thỏa mãn.
Vậy ta có duy nhất bộ (x;y;z)=(2;2;2) thỏa mãn.
#201769 Phương trinh và hệ phương trình
Đã gửi bởi
on 18-06-2009 - 15:59
trong
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
2.$ \sqrt[2005]{x^{3}+3x-3}+ \sqrt[2005]{-x^{3}-3x+3}= \sqrt[2005]{x^{3}+3x-3}+ \sqrt[2005]{-(x^{3}+3x-3)}=0 \forall x$Giải các phương trình sau :
1, $(x+1)^{2006}+(x+2)^{2006}=\dfrac{1}{2^{2005}}$
2,$ \sqrt[2005]{x^{3}+3x-3}+ \sqrt[2005]{-x^{3}-3x+3} $
#212638 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Đã gửi bởi
on 31-08-2009 - 16:31
trong
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
1. $2008^{2008} \equiv 1(mod 3)$
$\Rightarrow 2008^{2008}+1 \equiv 2 (mod 3)$
Ta có $n^3+2006n=(n^3-n)+2007n=(n-1)n(n+1)+2007n \vdots 3 \forall n \in Z$
Vậy pt vô nghiệm nguyên
$\Rightarrow 2008^{2008}+1 \equiv 2 (mod 3)$
Ta có $n^3+2006n=(n^3-n)+2007n=(n-1)n(n+1)+2007n \vdots 3 \forall n \in Z$
Vậy pt vô nghiệm nguyên
#203803 Những bài dùng nguyên tắc Đi-gíc-lê
Đã gửi bởi
on 03-07-2009 - 17:42
trong
Số học
1)Một số khi chia cho 3 sẽ nhận 1 trong 3 số dư. Mà có 5 số => Có ít nhất 2 số cùng số dư khi chia cho 3.
+Nếu có 3 số cùng dư trở lên thì lấy 3 trong số các số đó cộng lại sẽ được tổng chia hết cho 3.
+Nếu chỉ có 2 số có cùng số dư thì chia 5 số thành 3 cặp: $(a_1,a_2);(a_3,a_4);a_5$. Trong đó các số cùng cặp sẽ có cùng số dư khi chia cho 3.Các cặp này phải lần lượt nhận các số dư khác nhau khi chia cho 3. Chọn một số bất kì từ mỗi cặp và cộng lại sẽ được tổng chia hết cho 3 (do tổng 3 số dư chia hết cho 3)
2)Nếu trong 52 số có 2 số chia 100 nhận cùng một số dư thì hiệu của chúng chia hết cho 100.
Nếu 52 số chia cho 100 nhận các số dư đôi một khác nhau. Chia 100 số dư có thể nhận được khi chia 1 số cho 100 thành các nhóm: (0,0);(1,99);...;(50,50). Tổng 2 số trong mỗi cặp chia hết cho 100. Ta có: Có 51 cặp. Mà lại có 52 số nên phải có ít nhất 2 số cùng tập. Khi đó, tổng 2 số này chia hết cho 100.
+Nếu có 3 số cùng dư trở lên thì lấy 3 trong số các số đó cộng lại sẽ được tổng chia hết cho 3.
+Nếu chỉ có 2 số có cùng số dư thì chia 5 số thành 3 cặp: $(a_1,a_2);(a_3,a_4);a_5$. Trong đó các số cùng cặp sẽ có cùng số dư khi chia cho 3.Các cặp này phải lần lượt nhận các số dư khác nhau khi chia cho 3. Chọn một số bất kì từ mỗi cặp và cộng lại sẽ được tổng chia hết cho 3 (do tổng 3 số dư chia hết cho 3)
2)Nếu trong 52 số có 2 số chia 100 nhận cùng một số dư thì hiệu của chúng chia hết cho 100.
Nếu 52 số chia cho 100 nhận các số dư đôi một khác nhau. Chia 100 số dư có thể nhận được khi chia 1 số cho 100 thành các nhóm: (0,0);(1,99);...;(50,50). Tổng 2 số trong mỗi cặp chia hết cho 100. Ta có: Có 51 cặp. Mà lại có 52 số nên phải có ít nhất 2 số cùng tập. Khi đó, tổng 2 số này chia hết cho 100.
#235264 Một bài vào tổng hợp
Đã gửi bởi
on 22-04-2010 - 11:18
trong
Các dạng toán khác
Không nhất thiết. Ta có thể xét 10 có cùng số dư khi chia cho 10. Khi cộng mỗi số với stt trong hàng sẽ nhận 10 số dư khác nhau.
#204167 Mệnh đề tương đương
Đã gửi bởi
on 06-07-2009 - 21:10
trong
Đại số
Đặt 11...1=k (trong đó có 8 chữ số 1). Ta có:
$\dfrac{5.10k+3}{5.10k+7}=1-\dfrac{4}{50k+7}$
$\dfrac{6.10k+4}{6.10k+9}=1-\dfrac{5}{60k+9}$
Ta có: 4(60k+9)=240k+36=240k+1+35<250k+35=5(50k+7) (do 240k+1<250k)
Vì vậy $\dfrac{4}{50k+7}<\dfrac{5}{60k+9}$
$=> \dfrac{5.10k+3}{5.10k+7}=1-\dfrac{4}{50k+7}>1-\dfrac{5}{60k+9}=\dfrac{6.10k+4}{6.10k+9}$
$\dfrac{5.10k+3}{5.10k+7}=1-\dfrac{4}{50k+7}$
$\dfrac{6.10k+4}{6.10k+9}=1-\dfrac{5}{60k+9}$
Ta có: 4(60k+9)=240k+36=240k+1+35<250k+35=5(50k+7) (do 240k+1<250k)
Vì vậy $\dfrac{4}{50k+7}<\dfrac{5}{60k+9}$
$=> \dfrac{5.10k+3}{5.10k+7}=1-\dfrac{4}{50k+7}>1-\dfrac{5}{60k+9}=\dfrac{6.10k+4}{6.10k+9}$
#222339 Mệnh đề tương đương
Đã gửi bởi
on 05-12-2009 - 16:23
trong
Đại số
1/$\dfrac{\dfrac{(x-1)^{2}}{3x+(x-1)^{2}}-\dfrac{1-2x^{2}+4x}{x^{3}-1}+\dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{x^{2}+x}{x^{3}+x}} (x \neq 0;1)$
$=\dfrac{\dfrac{(x-1)^3}{(x^2+x+1).(x-1)}-\dfrac{1-2x^2+4x}{(x-1)(x^2+x+1)}+\dfrac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}}{\dfrac{x+1}{x^2+1}}$
$=\dfrac{\dfrac{x^3-3x^2+3x-1-1+2x^2-4x+x^2+x+1}{(x^2+x+1).(x-1)}}{\dfrac{x+1}{x^2+1}}$
$=\dfrac{x^3-1}{x^3-1}.\dfrac{x^2+1}{x+1}=\dfrac{x^2+1}{x+1}$
Do $x^2+1>0$ nên D>0 khi $x+1>0 <=> x>-1$
2/ $Q=\dfrac{3x^{2}+9x+17}{3x^{2}+9x+7}=1+\dfrac{10}{3x^2+9x+7}$
Để Q đạt max thì $\dfrac{10}{3x^2+9x+7}$ đạt max.
$3x^2+9x+7=3(x^2+2.1,5x+2,25)+0,25=3(x+1,5)^2+0,25 \geq 0,25 (>0)$
Vậy để Q đạt max thì $(3x^2+9x+7)$ đạt min.
$\Leftrightarrow x=-1,5$
Khi đó: $Max Q = 1+\dfrac{10}{0,25}=1+40=41$
$=\dfrac{\dfrac{(x-1)^3}{(x^2+x+1).(x-1)}-\dfrac{1-2x^2+4x}{(x-1)(x^2+x+1)}+\dfrac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}}{\dfrac{x+1}{x^2+1}}$
$=\dfrac{\dfrac{x^3-3x^2+3x-1-1+2x^2-4x+x^2+x+1}{(x^2+x+1).(x-1)}}{\dfrac{x+1}{x^2+1}}$
$=\dfrac{x^3-1}{x^3-1}.\dfrac{x^2+1}{x+1}=\dfrac{x^2+1}{x+1}$
Do $x^2+1>0$ nên D>0 khi $x+1>0 <=> x>-1$
2/ $Q=\dfrac{3x^{2}+9x+17}{3x^{2}+9x+7}=1+\dfrac{10}{3x^2+9x+7}$
Để Q đạt max thì $\dfrac{10}{3x^2+9x+7}$ đạt max.
$3x^2+9x+7=3(x^2+2.1,5x+2,25)+0,25=3(x+1,5)^2+0,25 \geq 0,25 (>0)$
Vậy để Q đạt max thì $(3x^2+9x+7)$ đạt min.
$\Leftrightarrow x=-1,5$
Khi đó: $Max Q = 1+\dfrac{10}{0,25}=1+40=41$
#223361 Mệnh đề tương đương
Đã gửi bởi
on 22-12-2009 - 05:39
trong
Đại số
$A=a^{3k}-a+b^{3k}-b+...+n^{3k}-n=a[(a^k)^2-1]+b[(b^k)^2-1]+...+n[(n^k)^2-1]=a(a^k-1)(a^k+1)+b(b^k-1)(b^k+1)+...+n(n^k-1)(n^k+1)$
Xét số có dạng $x(x^k-1)(x^k+1)$. Lần lượt xét từng số dư của x khi chia cho 3 được $A \vdots 3$
$=>a^{3k}+b^{3k}+...+n^{3k} \vdots 3$
Xét số có dạng $x(x^k-1)(x^k+1)$. Lần lượt xét từng số dư của x khi chia cho 3 được $A \vdots 3$
$=>a^{3k}+b^{3k}+...+n^{3k} \vdots 3$
#223301 Mệnh đề tương đương
Đã gửi bởi
on 20-12-2009 - 19:44
trong
Đại số
Chắc là anh nhầm rồi, vì $\dfrac{1}{k^2}>\dfrac{1}{k^2+k}$ mà!
$\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{4}{4a^2}<\dfrac{4}{(2a-1)(2a+1)}=2(\dfrac{1}{2a-1}-\dfrac{1}{2a+1})$
$=> \dfrac{1}{1^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<1+\dfrac{1}{4}+2(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1})=1,25+2.(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{2n+1})<1,25+2.\dfrac{1}{5}=1,25+0,4=1,65$
$\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{4}{4a^2}<\dfrac{4}{(2a-1)(2a+1)}=2(\dfrac{1}{2a-1}-\dfrac{1}{2a+1})$
$=> \dfrac{1}{1^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<1+\dfrac{1}{4}+2(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1})=1,25+2.(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{2n+1})<1,25+2.\dfrac{1}{5}=1,25+0,4=1,65$
#203831 Mệnh đề tương đương
Đã gửi bởi
on 03-07-2009 - 21:45
trong
Đại số
Giải pt: $x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+\dfrac{3}{4}=0$
#222223 Mệnh đề tương đương
Đã gửi bởi
on 04-12-2009 - 06:55
trong
Đại số
Sử dụng tc dãy tí số bằng nhau:
$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z$ (do a+b+c=1)
$\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+y^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2$ (do $a^2+b^2+c^2=1$)
$\Rightarrow (x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=(\dfrac{x}{a})^2-\dfrac{x^2}{a^2}=0$
$\Rightarrow 2(xy+yz+zx)=0 \rightarrow xy+yz+zx=0$
$\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z$ (do a+b+c=1)
$\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+y^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2$ (do $a^2+b^2+c^2=1$)
$\Rightarrow (x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=(\dfrac{x}{a})^2-\dfrac{x^2}{a^2}=0$
$\Rightarrow 2(xy+yz+zx)=0 \rightarrow xy+yz+zx=0$
#201095 Mua tem nào!
Đã gửi bởi
on 12-06-2009 - 08:35
trong
Số học
Lập hệ: Gọi số tem 1 xento là a; 2 xento là b và 5 xento là c.Một cô gái đưa cho ông nhân viên bưu điện 1 đô la và nói:
- Xin ông bán cho tôi ba loại tem: 2 xentơ, 1 xentơ và 5 xentơ. Số tem 1 xentơ gấp 10 lần số tem 2 xentơ. Còn bao nhiêu ông bán cho tem 5 xentơ.
Bạn hãy cho biết, ông nhân viên bưu điện giải bài toán này thế nào cho nhanh?
Ta có: a+2b+5c=100
a=10b
Suy ra: 12b+5c=100
=>12b chia hết cho 5.
=>b chia hết cho 5.
Mà 12b<100.
Suy ra b<9.
b khác 0 nên b=5.
Suy ra a=50.
Vậy, c=8.
#235389 Min
Đã gửi bởi
on 23-04-2010 - 11:58
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y,z dương thỏa: x+2y+3z=1.
Tìm GTNN của: $x+4y+9z+\dfrac{9}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{13}{x+y}+\dfrac{5}{x+z}+\dfrac{10}{y+z}+\dfrac{14}{x+y+z}$
Tìm GTNN của: $x+4y+9z+\dfrac{9}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{13}{x+y}+\dfrac{5}{x+z}+\dfrac{10}{y+z}+\dfrac{14}{x+y+z}$
