Đến nội dung

sinh vien nội dung

Có 261 mục bởi sinh vien (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#566814 Với $A,B,C \in M_{2}(\mathbb{R})$ th...

Đã gửi bởi sinh vien on 19-06-2015 - 09:57 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Mình xin bổ sung thêm một chứng minh ngắn sử dụng các kiến thức về ma trận + số phức

  Cho A,B,C đôi một giao hoán nên ở đây các tính toán trên ma trận tương tự như các tính toán đại số thông thường .

  Ta lưu ý đến đẳng thức sau: $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=(a+\varepsilon b+\varepsilon ^{2}c)(a+\varepsilon ^{2}b+\varepsilon c),\varepsilon =e^{\frac{2\pi i}{3}}$.

  Thay a, b,c bằng các ma trận A,B,C $\in M_{2}(\mathbb{R})$ta được

$det(A^{2}+B^{2}+C^{2}-AB-BC-CA)=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(A+\varepsilon ^{2}B+\varepsilon C)$

        $=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(\overline{A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C})=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)\overline{det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)}$

 $=\left | det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C) \right |^{2}\geqslant 0$




#687849 Tối ưu đồ thị phần II

Đã gửi bởi sinh vien on 17-07-2017 - 19:23 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp

File gửi kèm  Tối ưu đồ thị phần 2.pdf   237.23K   94 Số lần tải




#687848 Tối ưu đồ thị phần I

Đã gửi bởi sinh vien on 17-07-2017 - 19:17 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp

File gửi kèm  Tối ưu đồ thị.pdf   328.18K   89 Số lần tải




#688059 Tối ưu tập hợp phần II

Đã gửi bởi sinh vien on 19-07-2017 - 19:45 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp

File gửi kèm  Tối ưu tập hợp phần II.pdf   275.07K   93 Số lần tải




#687916 Tối ưu tập hợp

Đã gửi bởi sinh vien on 18-07-2017 - 14:18 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp

File gửi kèm  Tối ưu tập hợp.pdf   351.71K   92 Số lần tải




#554976 Tuyển tập đề thi putnam full

Đã gửi bởi sinh vien on 19-04-2015 - 08:10 trong Thảo luận về các kì thi, các kì kiểm tra Toán sinh viên

Đây là tài liệu sưu tầm của mình ( các bài toán đều có lời giải hết) :

putnam 1938 1964

File gửi kèm  Putnam 1938-1964 (2) (1).pdf   30.4MB   283 Số lần tải

putnam 1965 1984File gửi kèm  Putnam 1965-1984.pdf   8.12MB   644 Số lần tải

putnam 1985 2000 File gửi kèm  Putnam1985-2000.pdf   2.06MB   253 Số lần tải

putnam 2001 bài toán File gửi kèm  2001.pdf   77.83K   227 Số lần tải lời giảiFile gửi kèm  2001s.pdf   112.51K   371 Số lần tải

putnam 2002  bài toánFile gửi kèm  Undergraduate_Competitions-Putnam-2002-23.pdf   141.34K   266 Số lần tải lời giải File gửi kèm  2002s.pdf   101.25K   215 Số lần tải

putnam 2003  bài toán File gửi kèm  Undergraduate_Competitions-Putnam-2003-23.pdf   129.57K   228 Số lần tải lời giảiFile gửi kèm  2003s.pdf   87.94K   400 Số lần tảiFile gửi kèm  2003s.pdf   87.94K   400 Số lần tải

putnam 2004 bài toán File gửi kèm  Undergraduate_Competitions-Putnam-2004-23.pdf   149.68K   194 Số lần tải lờ giảiFile gửi kèm  2004s.pdf   71.13K   186 Số lần tải

putnam 2005 bài toán File gửi kèm  Undergraduate_Competitions-Putnam-2005-23.pdf   142.35K   244 Số lần tảiFile gửi kèm  Undergraduate_Competitions-Putnam-2003-23.pdf   129.57K   228 Số lần tải lời giải

putnam 2006 File gửi kèm  2006.pdf   208K   511 Số lần tải

putnam 2007 bài toán File gửi kèm  Undergraduate_Competitions-Putnam-2007-23.pdf   137.65K   243 Số lần tải lời giải File gửi kèm  2007s.pdf   81.36K   258 Số lần tải

putnam 2008  bài toán File gửi kèm  Undergraduate_Competitions-Putnam-2008-23.pdf   130.43K   226 Số lần tải lời giải

 File gửi kèm  Putnam_2008 (1).pdf   141.76K   520 Số lần tải

putnam 2009 bài toán File gửi kèm  Undergraduate_Competitions-Putnam-2009-23.pdf   132.36K   224 Số lần tải lời giảiFile gửi kèm  Putnam_2009.pdf   200.84K   842 Số lần tải

putnam 2010 bài  toán File gửi kèm  Undergraduate_Competitions-Putnam-2010-23.pdf   142.71K   221 Số lần tải lời giải 

putnam 2011 bài toán File gửi kèm  Undergraduate_Competitions-Putnam-2011-23.pdf   141.02K   256 Số lần tải lời giải

File gửi kèm  2011s.pdf   76.89K   215 Số lần tải

putnam 2012File gửi kèm  sol2012.pdf   87.86K   205 Số lần tải

putnam 2013File gửi kèm  sol2013.pdf   228.77K   216 Số lần tải

putnam 2014 bài toán File gửi kèm  4319.pdf   117.51K   343 Số lần tải lời giải File gửi kèm  putnam2014.pdf   150.09K   318 Số lần tải

 Mong rằng đây sẽ là bộ tài liêu hữu ích cho đông đảo mọi người

File gửi kèm




#554984 Tuyển tập đề thi putnam full

Đã gửi bởi sinh vien on 19-04-2015 - 08:35 trong Thảo luận về các kì thi, các kì kiểm tra Toán sinh viên

Không có bạn ơi . Tài liệu này chỉ có bản tiếng anh à !




#555191 Tuyển tập đề thi Baltic Way

Đã gửi bởi sinh vien on 20-04-2015 - 08:44 trong Tài liệu tham khảo khác

Sau bộ tài liệu putnam đây là một bộ tài liệu dành cho phổ thông tốt :

1990 -File gửi kèm  bw90sol.pdf   61.88K   131 Số lần tải

1991File gửi kèm  bw91sol.pdf   69.69K   150 Số lần tải

1992File gửi kèm  bw92sol.pdf   73.12K   134 Số lần tải

1993File gửi kèm  bw93sol.pdf   80.08K   151 Số lần tải

1994File gửi kèm  bw94sol.pdf   87.38K   123 Số lần tải

1995File gửi kèm  bw95sol.pdf   73.61K   145 Số lần tải

1996File gửi kèm  bw96sol.pdf   81.36K   106 Số lần tải

1997File gửi kèm  bw97sol.pdf   123.31K   101 Số lần tải

1998File gửi kèm  bw98sol.pdf   121.46K   106 Số lần tải

1999File gửi kèm  bw99sol.pdf   124.71K   105 Số lần tải

2000File gửi kèm  bw00sol.pdf   102.75K   101 Số lần tải

2001File gửi kèm  bw01sol.pdf   95.83K   112 Số lần tải

2002File gửi kèm  bw02sol.pdf   121.4K   120 Số lần tải

2003File gửi kèm  bw03sol.pdf   157.74K   148 Số lần tải

2004File gửi kèm  bw04sol.pdf   140.7K   107 Số lần tải

2005File gửi kèm  bw05sol.pdf   144.51K   162 Số lần tải

2006File gửi kèm  bw06sol.pdf   145.27K   98 Số lần tải

2007File gửi kèm  bw07sol.pdf   207.33K   103 Số lần tải

2008File gửi kèm  bw08sol.pdf   159.89K   104 Số lần tải

2009File gửi kèm  bw09pb.pdf   49.85K   114 Số lần tải (năm này không thấy có lời giải cụ thể các bạn có thể tham khảo trên trang '' art problem solving'' các lời giải của từng bài )

2010File gửi kèm  bw10sol.pdf   224.59K   152 Số lần tải

2011File gửi kèm  bw11sol.pdf   352.37K   136 Số lần tải

2012File gửi kèm  bw12sol.pdf   204.93K   253 Số lần tải

2013File gửi kèm  PROBSOLS.pdf   1.29MB   236 Số lần tải

     Mong rằng với số lượng tài liệu ít ỏi này sẽ giúp ít cho nhiều bạn




#560292 Tuyển tập đề thi Annual Vojtech Jarnik 1991-2015

Đã gửi bởi sinh vien on 19-05-2015 - 10:06 trong Thảo luận về các kì thi, các kì kiểm tra Toán sinh viên

Lưu ý với các bạn là có một số bài không thấy ghi lời giải

 1991 File gửi kèm  j01solutions.pdf   111.92K   187 Số lần tải               1998 File gửi kèm  j08solutions.pdf   175.1K   167 Số lần tải

 1992File gửi kèm  j02solutions.pdf   114.65K   146 Số lần tải                1999File gửi kèm  j09solutions.pdf   147.21K   176 Số lần tải

 1993File gửi kèm  j03solutions.pdf   130.89K   174 Số lần tải                 2000File gửi kèm  j10solutions.pdf   164.37K   182 Số lần tải

 1994File gửi kèm  j04solutions.pdf   124.13K   128 Số lần tải                 2001File gửi kèm  j11solutions.pdf   180.96K   142 Số lần tải

1995File gửi kèm  j05solutions.pdf   133.48K   137 Số lần tải                  2002File gửi kèm  j12solutions.pdf   146.28K   277 Số lần tải

 1996File gửi kèm  j06solutions.pdf   117.64K   120 Số lần tải                 2003File gửi kèm  j13solutions.pdf   132.82K   167 Số lần tải

 1997File gửi kèm  j07solutions.pdf   176.82K   144 Số lần tải                 2004File gửi kèm  j14solutions.pdf   258.96K   145 Số lần tải

                                    2005 File gửi kèm  j15solutions.pdf   156.88K   163 Số lần tải

                                    2006File gửi kèm  j16solutions.pdf   162.29K   144 Số lần tải

         2007File gửi kèm  j17solutions1.pdf   85.79K   242 Số lần tảiFile gửi kèm  j17solutions2.pdf   77.4K   170 Số lần tải

        2008File gửi kèm  j18solutions1.pdf   86.36K   143 Số lần tảiFile gửi kèm  j18solutions2.pdf   91.7K   166 Số lần tải

        2009File gửi kèm  j19solutions1.pdf   81.52K   134 Số lần tảiFile gửi kèm  j19solutions2.pdf   87.67K   126 Số lần tải

        2010File gửi kèm  j20solutions1.pdf   87.35K   164 Số lần tảiFile gửi kèm  j20solutions2.pdf   90.56K   143 Số lần tải

        2011File gửi kèm  j21solutions1.pdf   148.38K   139 Số lần tảiFile gửi kèm  j21solutions2.pdf   149.88K   138 Số lần tải

        2012File gửi kèm  j22solutions2.pdf   185.63K   136 Số lần tảiFile gửi kèm  j22solutions1.pdf   211.59K   131 Số lần tải

        2013File gửi kèm  j23solutions1.pdf   136.86K   143 Số lần tảiFile gửi kèm  j23solutions2.pdf   156.03K   147 Số lần tải

        2014File gửi kèm  j24solutions1.pdf   133.64K   147 Số lần tảiFile gửi kèm  j24solutions2.pdf   155.63K   133 Số lần tải

        2015File gửi kèm  j25solutions1.pdf   147.43K   209 Số lần tảiFile gửi kèm  j25solutions2.pdf   157.17K   168 Số lần tải




#559297 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 14-05-2015 - 11:14 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

  Lưu ý với các bạn bài toán này mình đã thay đổi yêu cầu để cho đơn giản bạn có thể tìm thấy nội dung đầy đủ của nó ở Putnam 1984

 Bài toán . Cho n là một số nguyên dương. Gỉa sử a,b,x là các số thực , với $a^{2}\neq b^{2}$, Ma trận vuông $M_{n}$ cấp 2n trong đó phần tử (i,j) được xác định:

$m_{ij}=\left\{\begin{matrix} x & i=j\\ a & i\neq j &i+j =2k \\ b & i\neq j & i+j=2k+1 \end{matrix}\right.$ 

  Tính $detM_{n}$ theo a,b,n

Lời giải. Gọi N là ma trận $M_{n}$ khi x =a . Từ định nghĩa ta dễ dàng nhận thấy N có hạng bằng 2 ( chỉ có hai hàng phân biệt ). Do đó 0 là một giá trị riêng của N với số bội bằng 2n-2.

  Nếu gọi e là ma trận $2n\times 1$ với các phần tử bằng một . 

  Với một chút tính toán ta sẽ thấy Ne=n(a+b)e- điều này có nghĩa là n(a+b) là một giá trị riêng khác của N ứng với vector riêng e

   Ta thấy vết của N bằng 2an $\Rightarrow$ Tồn tại một giá trị riêng thứ ba bằng 2an-n(a+b)=n(a-b)

 Từ đây dễ dàng suy ra rằng

$det(N-\lambda I_{2n})=\lambda ^{2n-2}(\lambda -n(a+b))(\lambda -n(a-b))$

  Để giải quyết trọn vẹn bài toán ta chú ý một điểm quan trọng sau $M_{n}=N-(a-x)I_{2n}$

  Thay $\lambda =a-x$ từ công thức trên ta suy ra

 $detM_{n}=(a-x)^{2n-2}(a-x-n(a-b))(a-x+n(a-b))$.

 




#560719 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 21-05-2015 - 16:37 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bài toán ( Sydney-2013). Tính định thức của ma trận vuông cấp n trong đó phần tử (i,j) bằng i nếu $i\neq j$ và bằng i+1 nếu i=j

Lời giải. Gọi $M_{n}$ là ma trận được định nghĩa, $I_{n}$ là ma trận đơn vị cấp n.

Khi đó ta thấy từ định nghĩa thì ma trận $M_{n}-I_{n}$ có hàng thứ i là (i,i,...,i) nên có hạng bằng 1 và định thức bằng 0 .

 Suy ra 1 là một giá trị riêng của ma trận $M_{n}$ có số bội bằng n-1.

Ta thấy vết của ma trận $M_{n}$ bằng $\sum_{i=1}^{n}(i+1)=\frac{n^{2}+3n}{2}$ nên giá trị riêng còn lại của ma trận $M_{n}$ bằng $\frac{n^{2}+3n}{2}-(n-1)=\frac{n^{2}+n+2}{2}$

  Do đó : $detM_{n}=1^{n-1}\times\frac{n^{2}+n+2}{2}=\frac{n^{2}+n+2}{2}$




#561548 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 25-05-2015 - 18:59 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bài toán ( ĐH-FPT 2013 ) Tính định thức sau

         $\begin{vmatrix} x+a_{1} &a_{2} & ... &a_{n} \\a_{1} & x+a_{2} & ... & a_{n}\\ ... &... &... &... \\a_{1} & a_{2} &... & x+a_{n} \end{vmatrix}$

Cách 1 ( Biến đổi sơ  cấp )  Cộng  tất cả các cột 2 ,3,...,n vào cột đầu tiên ta thu được

                                 $\begin{vmatrix} x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} & a_{2} &... & a_{n}\\ x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n}&x+a_{2} &... &a_{n} \\ ...& ....& ... &.... \\x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} &a_{2} &... &x+a_{n} \end{vmatrix}$

 Tiếp theo trừ hàng thứ 1 cho các hàng 2,3,...n ta được

                  $\begin{vmatrix} x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} & a_{2} & ... & a_{n}\\ 0 & x & ... & a_{n}\\... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & x \end{vmatrix}$

  Đến đây dễ  thấy giá trị định thức cần tìm bằng $x^{n-1}(x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$

Cách 2 ( Lý thuyết về giá trị riêng - đa thức đặc trưng )  Đặt  $P(\lambda )=det(A-\lambda I_{n})$,

trong đó $A=\begin{bmatrix} a_{1} &a_{2} & ... &a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & ... &a_{n} \\ ...& ... & ... &... \\a_{1} & a_{2}& ... & a_{n} \end{bmatrix}$. 

  Ta thấy rank A=1 , nên 0 là một  giá trị riêng của ma trận A và có số bội bằng $n-rankA=n-1$. 

  Theo đó giá trị riêng còn lại của ma trận A  bằng $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ . Lưu ý là hệ  số của $\lambda ^{n}$ trong $P(\lambda )$ là $(-1)^{n}$

nên $P(\lambda )=det(A-\lambda I_{n})(-1)^{n}\lambda ^{n-1}(\lambda +a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$ 

 Thay $\lambda =-x$ thay thấy $det(A+xI_{n})=x^{n-1}(x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$.

  Chú ý vế trái là định thức ta cần tính.

      




#558174 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 07-05-2015 - 12:35 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bài toán:(Putnam 2009 )Cho n > 3, n nguên dương. Tính định thức:

 $D_{n}=\begin{vmatrix} cos1 &cos2 &... &cosn \\ cos(n+1) & cos(n+2) &... &cos2n \\... &... &... &... \\cos(n^{2}-n+1) & cos(n^{2}-n+2) &... &cosn^{2} \end{vmatrix}$

Lời giải.  Lấy cột thứ 3 + cột thứ 1$\rightarrow$ cột thứ 1 và sử dụng biến đổi lượng giác , ta được :

$D_{n}=\begin{vmatrix} 2cos2cos1 &cos2 &... & ... &... cos(n) \\2cos(n+2)cos1 &cos(n+2) &... & ... &cos2n \\... & ... & & ... &... \\... &... & ... & ... &... \\2cos(n^{2}-n+2)cos1 & cos(n^{2}-n+2) &... &... & cosn^{2} \end{vmatrix}$

   Lúc này cột thứ 1= 2cos1 cột thứ 2 $\Rightarrow$ det$D_{n}=0$.

Bài toán . Xét các số phức$z_{1},z_{2},...,z_{2n}$ thỏa mãn điều kiện  $\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{n+3} \right |$ và $argz_{1}\geqslant argz_{2}\geqslant ...\geq argz_{n+3}$.

  Tính định thức của ma trận B ,trong đó  $b_{ij}=\left | z_{i}-z_{j+n} \right |,i,j\in \left \{ 1,2,...n \right \}$.

 Lời giải . Ta có nhận xét sau bài toán đề cập đến modun và argument của một số phức nên ta sẽ sử dụng dạng lượng giác của số phức trong các tính toán. 

    Với hai số phức $z=r(cosx+isinx);\omega =r(cosy+isiny)\Rightarrow \left | z-\omega \right |=2r\left | sin\left ( \frac{x-y}{2} \right ) \right |$. 

  Kết hợp với điều kiện ở đầu bài, ta thấy B có dạng như sau:

$B=(2r)^{n}\begin{vmatrix} sin(x_{1}-x_{n+1}) &sin(x_{1}-x_{n+2}) & sin(x_{1}-x_{n+3}) & ...\\... &... & ... &... \\ sin(x_{n}-x_{n+1}) & sin\left ( x_{n}-x_{n+2} \right ) & sin(x_{n}-x_{n+3}) & ... \end{vmatrix}$

 trong đó $x_{i}$ kí hiệu tương ứng argument của $z_{i}$ và r=$\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{2n} \right |$

 Nếu ta tách det B theo các cột thì dễ dàng nhận thấy det B=0 

 

 




#566709 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 18-06-2015 - 18:45 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Tiếp theo chúng ta sẽ ôn tập lại phương pháp giá trị riêng thông qua một ví dụ nhỏ.

Bài toán ( Saint Peterburg -2007) Cho ma trận $M=(m_{ij})_{n\times n},$ trong đó $m_{ij}=\begin{cases} a_{i}a_{j} & \text{ }i\neq j \\ a_{i}^{2}+k& \text{ if } i= j \end{cases}$.

Tính detM.

Lời giải. 

Đặt: $A=\begin{pmatrix} a_{1}^{2} &a_{1} a_{2} & ... & a_{1}a_{n}\\ a_{2}a_{a} &a_{2}^{2} &... & a_{2}a_{n}\\ ...& ... &... &... \\a_{n}a_{1} &a_{n}a_{2} & ... &a_{n}^{2} \\ & & & \end{pmatrix}$

thì khi đó detM=det(A+kE), trong đó E là ma trận đơn vị cấp n.

  Dễ dàng nhận thấy rankA=1 do đó 0 là một giá trị riêng của ma trận A và có số bội là n-1 nên giá trị riêng còn lại sẽ là $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}$ nên ta suy ra đẳng thức bên dưới đây

              $det(A-\lambda E)=(-1)^{n}\lambda ^{n-1}(\lambda -(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}))$.

Thay $\lambda =-k$ ta sẽ thu được đáp án cho câu hỏi ban đầu là $k^{n-1}(k+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})$.

 Bên dưới đây là một file đề thi bằng tiếng Nga dành cho các bạn nghiên cứu thêm

 File gửi kèm  2007.pdf   172.63K   183 Số lần tải




#561074 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 23-05-2015 - 09:12 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bài toán ( Sydney-2011) Cho m, n là hai số nguyên dương sao cho $m\geq n$ Gọi A là ma trậ vuông cấp n sao cho phần tử (i,j) bằng $C_{mj}^{i}$ . Tính det A .

    Đáp số : $detA=m^{\frac{n(n+1)}{2}}$




#560145 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 18-05-2015 - 13:15 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bài toán. Cho ma trận vuông A cấp n , với $a_{ij}=(i,j)$, trong đó (i,j) là ước chung lớn nhất của i và j

Tính det A




#562808 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 01-06-2015 - 10:05 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích


Tiếp theo là một số bài toán tính toán định thức có trên tạp chí American Mathematical ....

Bài toán ( AMM-11179) Cho các số nguyên dương i, j đặt $m_{i,j}=\left\{\begin{matrix} -1 &i+1\equiv 0(mod j) \\0 & i+1\not\equiv 0(modj) \end{matrix}\right.$.Gỉa sử $M_{n}$ là ma trận vuông cấp n-1 có phần tử (i,j) là $m_{i,j}$.

  Chứng minh rằng $det(M_{n})=\mu (n)$, trong đó $\mu$ là hàm Mobius . ( Tạp chí Epsilon)




#558175 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 07-05-2015 - 12:35 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bài toán:(Putnam 2009 )Cho n > 3, n nguên dương. Tính định thức:

 $D_{n}=\begin{vmatrix} cos1 &cos2 &... &cosn \\ cos(n+1) & cos(n+2) &... &cos2n \\... &... &... &... \\cos(n^{2}-n+1) & cos(n^{2}-n+2) &... &cosn^{2} \end{vmatrix}$

Lời giải.  Lấy cột thứ 3 + cột thứ 1$\rightarrow$ cột thứ 1 và sử dụng biến đổi lượng giác , ta được :

$D_{n}=\begin{vmatrix} 2cos2cos1 &cos2 &... & ... &... cos(n) \\2cos(n+2)cos1 &cos(n+2) &... & ... &cos2n \\... & ... & & ... &... \\... &... & ... & ... &... \\2cos(n^{2}-n+2)cos1 & cos(n^{2}-n+2) &... &... & cosn^{2} \end{vmatrix}$

   Lúc này cột thứ 1= 2cos1 cột thứ 2 $\Rightarrow$ det$D_{n}=0$.

Bài toán . Xét các số phức$z_{1},z_{2},...,z_{2n}$ thỏa mãn điều kiện  $\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{n+3} \right |$ và $argz_{1}\geqslant argz_{2}\geqslant ...\geq argz_{n+3}$.

  Tính định thức của ma trận B ,trong đó  $b_{ij}=\left | z_{i}-z_{j+n} \right |,i,j\in \left \{ 1,2,...n \right \}$.

 Lời giải . Ta có nhận xét sau bài toán đề cập đến modun và argument của một số phức nên ta sẽ sử dụng dạng lượng giác của số phức trong các tính toán. 

    Với hai số phức $z=r(cosx+isinx);\omega =r(cosy+isiny)\Rightarrow \left | z-\omega \right |=2r\left | sin\left ( \frac{x-y}{2} \right ) \right |$. 

  Kết hợp với điều kiện ở đầu bài, ta thấy B có dạng như sau:

$B=(2r)^{n}\begin{vmatrix} sin(x_{1}-x_{n+1}) &sin(x_{1}-x_{n+2}) & sin(x_{1}-x_{n+3}) & ...\\... &... & ... &... \\ sin(x_{n}-x_{n+1}) & sin\left ( x_{n}-x_{n+2} \right ) & sin(x_{n}-x_{n+3}) & ... \end{vmatrix}$

 trong đó $x_{i}$ kí hiệu tương ứng argument của $z_{i}$ và r=$\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{2n} \right |$

 Nếu ta tách det B theo các cột thì dễ dàng nhận thấy det B=0 

 

 




#566808 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 19-06-2015 - 09:42 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bài toán (AMM11270) Gọi $S_{n}$ là ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc tập $\left \{ 1,2,...,n^{2} \right \}$ .Các phần tử được sắp xếp theo hình xoắn ốc theo chiều tăng của các giá trị.

Tính $detS_{n}$.

Đáp số: $detS_{n}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}4^{n-1}\frac{3n-1}{2}\prod_{k=0}^{n-2}\left ( k+\frac{1}{2} \right )$

File lời giải:

 File gửi kèm  AMM11270.pdf   63.73K   141 Số lần tải




#560899 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 22-05-2015 - 14:15 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Lời giải. Ta sẽ tính định thức bằng các xác định các giá trị riêng của ma trận.

  Trước tiên để cho thuận tiện trong các trình bày ta sẽ xét một trường hợp đặc biệt khi a=0 và bc=1

kí hiệu là $D_{n}$ . Đặt $P_{n}(\lambda )=det(\lambda I_{n}-D_{n})$ .

  Áp dụng khai triển Laplace liện tiếp cho ma trận $\lambda I_{n}-D_{n}$ , lần thứ nhất theo cột thứ nhất , lần thứ hai theo hàng thứ nhất, ta thu được hệ thức

$P_{n}(\lambda )=(-1)^{1+1}\lambda P_{n-1}(\lambda )+(-1)^{2+1}(-c) (-1)^{1+1}(-b)P_{n-2}(\lambda )=\lambda P_{n-1}(\lambda )-P_{n-2}(\lambda )$

  Ta qui ước $P_{0}(\lambda )=1$, bằng tính toán trực tiếp $P_{1}(\lambda )=1$ nên với mọi $n\geq 2$ ta luôn có

                     $P_{n}(\lambda )=\lambda P_{n-1}(\lambda )-P_{n-2}(\lambda )$

 Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng nhận thấy;

                                 $P_{n}(2cos\theta )=\frac{sin(n+1)\theta )}{sin\theta }, 0< \theta < \pi$

  Dễ dàng nhận thấy $P_{n}(\lambda _{k})=0$ với $\lambda _{k}=2cos\frac{k\pi }{n+1},k=1,2,...n$  mà $degP_{n}(x)=n$ . Từ đây suy ra $\left \{ 2cos\frac{k\pi }{n+1} \right \}_{k=1}^{n}$ là tất cả các giá trị riêng của $D_{n}$.

   Trong trường hợp tổng quát ta thấy $A_{n}=aI_{n}+\sqrt{bc}\overline{D_{n}}$, trong đó $A_{n}$ là ma trận cho trong đề bài còn $\overline{D_{n}}$ có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 và thỏa mãn các tính chất trong trường hợp riêng mà ta đã khảo sát. Theo kết quả trên ta thấy $\left \{ a+2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right \}_{k=1}^{n}$ là các giá trị riêng của $A_{n}$

   Do đó

       $det(A_{n})=\prod_{k=1}^{n}\left ( a+2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right )=\prod_{k=1}^{n}\left ( a-2\sqrt{bc}cos\frac{(n+1-k)\pi }{n+1} \right )=\prod_{k=1}^{n}\left ( a-2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right )$




#555380 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 21-04-2015 - 08:53 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Sau đây là một số bài toán tính định thức theo các hướng độc đáo đã được sau trên các cuộc thi danh tiếng  (đề mục này sẽ được bổ sung dần dần )

   

Bài toán 1. (PUTNAM 2014)  Cho A là ma trận $n\times n$ trong đó phần tử ở hàng thứ i cột thứ j được cho bởi $\frac{1}{min(i,j)}$ với $1\leqslant i,j\leqslant n$ . Tính định thức của ma trận A

Lời giải. Từ điều kiện ở đầu ta thấy 

           A=$\begin{bmatrix} 1 & 1 &1 ...& 1& \\ 1& \frac{1}{2} &\frac{1}{2} ...& \frac{1}{2}& \\ 1 & \frac{1}{2}&\frac{1}{3} ...&\frac{1}{3} & \\1 &\frac{1}{2}&\frac{1}{3}...& \frac{1}{4}\\ ... & ... & ... &... \\ 1 & \frac{1}{2}&\frac{1}{3} ... & \frac{1}{n} & \end{bmatrix}$

   Để giải bài toán này ta sẽ áp dụng khai triển Laplace  cho hàng thứ n . Chú ý khi đó ma trận con thu được khi xóa hàng thứ n có dạng 

         \begin{bmatrix} 1 & 1& 1 & ... &1& 1\\1 & \frac{1}{2}&\frac{1}{2} & ...& \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ ... & ... &... & ...&... & ...\\1 & \frac{1}{2}&\frac{1}{3} &..& \frac{1}{n-1} &\frac{1}{n-1} \end{bmatrix}$

Khi đó cột thứ n và cột thứ n-1 trùng nhau nên ma trận con chứa cả hai cột n và n-1 có định thức bằng 0 . Từ đó ta thấy

        $\begin{vmatrix} 1& 1 & 1 & ... &1 \\1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} &... & \frac{1}{2}\\ 1& \frac{1}{2}&\frac{1}{2} &... &\frac{1}{2} \\ ...& ... &... & ... &... \\ 1& \frac{1}{2} &\frac{1}{3} & ... &\frac{1}{n} \end{vmatrix}=-\frac{1}{n-1}\begin{vmatrix} 1 & 1 & ... &1 \\ 1 & \frac{1}{2} &... &\frac{1}{2} \\... & ...& ... & ...\\ 1 & \frac{1}{2}&... &\frac{1}{n-1} \end{vmatrix}+\frac{1}{n}\begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1\\1 & \frac{1}{2} & ... & \frac{1}{2}\\ ... &\... & ... &... \\ 1 & \frac{1}{2} &... &\frac{1}{n-1} \end{vmatrix}$

    Nếu đặt $D_{n}=det(A)$ trong đó A có cấp n thì $D_{n}=\left ( \frac{1}{n} -\frac{1}{n-1}\right ) D_{n}=\frac{-1}{n(n-1)}D_{n-1}$

    Sử dụng hệ thức truy hồi này và chú ý $D_{1}=1$ ta được

$D_{n}=\frac{-1}{n(n-1)}\frac{-1}{(n-1)(n-2)}...\frac{-1}{3.2}\frac{-1}{2.1}=\frac{(-1)^{n+1}}{n!(n-1)!}$

   Bài toán 2 (ĐHBK -2013) .Cho $x_{i},y_{i},1\leq i\leq n$ là các số phức với $x_{i}y_{j}$$\neq 1$ với mọi cặp $x_{i},y_{j}$.

  Tính định thức của ma trận $M=(m_{ij})_{n\times n}$ tróng đó $m_{ij}=\frac{1}{1-x_{i}y_{j}}$

lời giải. Để cho thuận tiện ta quy ước $D_{y_{1}y_{2}...y_{n}}^{x_{1}x_{2}...x_{n}}=det(M)$. Ta thấy

 n=2 : $D_{y_{1}y_{2}}^{x_{1}x_{2}}=\begin{vmatrix} \frac{1}{1-x_{1}y_{1}} &\frac{1}{1-x_{1}y_{2}} \\ \frac{1}{1-x_{2}y_{1}} &\frac{1}{1-x_{2}y_{2}} \end{vmatrix}=\frac{(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})}{(1-x_{1}y_{1})(1-x_{1}y_{2})(1-x_{2}y_{1})(1-x_{2}y_{2})}$  ( tính toán tương đối đơn giản nên mình không nêu ra cụ thể )

Ta có thể tính trực tiếp thêm một số giá trị của n . Dự đoán :

$D_{y_{1}...y_{n}}^{x_{1}...x_{n}}=\frac{\prod_{1\leqslant i< j\leqslant n}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(1-x_{i}y_{j})}$. Ta sẽ chứng minh quy nạp công thức này.

   Áp dụng khai triển Laplace cho cột thứ nhất ta được

$D_{y_{1}..y_{n+1}}^{x_{1}...y_{n+1}}=\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i+1}\frac{1}{1-x_{i}y_{1}}D_{y_{2}...y_{n+1}}^{x_{1}...x_{i-1}x_{i+1}...x_{n+1}}$

$=\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}\frac{1}{1-x_{i}y_{1}}\frac{\prod_{1\leq k< l\leq n+1,k,l\neq i}(x_{k}-x_{l})\prod_{2\leq k< l\leq n+1}(y_{k}-y_{l})}{\prod_{1\leq k\leqslant n+1,k\neq i,2\leq l\leqslant n+1}(1-x_{k}y _{l})}$

$\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}\prod_{k=1,k\neq i}^{n+1}(1-x_{k}y_{1})\frac{\prod_{1\leqslant k< l\leq n+1}(x_{k}-x_{l})\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k})\prod_{2\leq k< l\leq n+1}(y_{k}-y_{l})}{\prod_{k=1}^{i-1}(x_{k}-x_{i})\prod_{k=i+1}^{n+1}(x_{i}-x_{k})\prod_{1\leqslant k,l\leqslant n+1}(1-x_{k}y_{l})}$

$=\left ( \sum_{i=1}^{n+1}\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k})\prod_{k=1,k\neq i}^{n+1} \frac{1-x_{k}y_{1}}{x_{i}-x_{k}}\right )\frac{\prod_{1\leq k< l\leq n+1}(x_{k}-x_{l})\prod_{2\leq k< l\leq n+1}(y_{k}-y_{l})}{\prod_{1\leqslant k,l\leq n+1}(1-x_{k}y_{l})}$

 Đặt $P(x)=\prod_{k=2}^{n+1}(1-xy_{k})$ thì $P(x)$ là một đa thức bậc n và $P(x_{i})=\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k}),i=1,2,..n+1$ . Áp dụng công thức Lagrange ta được:

  $P(x)=\sum_{i=1}^{n+1}\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k})\prod_{k=1,k\neq i}^{n+1}\frac{x-x_{k}}{x_{i}-x_{k}}$

 Thay $x=\frac{1}{y_{1}}$ , nhân hai vế cho $y_{1}^{n}$ ta được

      $\prod_{k=2}^{n+1}(y_{1}-y_{k})=\sum_{i=1}^{n+1}\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k})\prod_{k=1,k\neq i}^{n+1}\frac{1-x_{k}y_{1}}{x_{i}-x_{k}}$.

  Từ đây ta dễ dàng thu được kết quả mong muốn.




#560738 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 21-05-2015 - 17:51 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bài toán ( Sydney-2009 ) Cho $A_{n}$ là ma trận vuông cấp n trong đó phần tử (i,j) bằng 1 nếu $n\leq i+j\leq n+1$ và bằng 0 trong các trường hợp còn lại.

 Tìm các giá trị riêng của $A_{n}$




#560844 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 22-05-2015 - 07:51 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bài toán ( Sydney-2005). Tính định thức của ma trận vuông A cấp n trong đó

                                                             $a_{ij}=\frac{(2i+2j-2)!}{2^{2i+2j-2}(i+j-1)!}$

Lời giải. Ta chứng minh kết quả sau:

  Cho  $\alpha \in \mathbb{R}$ , giả sử $C=(c_{ij})_{i,j=1}^{n}$ thỏa $c_{i,j+1}=(i+j-\alpha )c_{ij}$

 với mọi $1\leq i\leq n,1\leq j\leq n-1$ thì $detC=\prod_{i=1}^{n}(i-1)!c_{i,1}$




#560858 tuyển chọn các bài toán tính định thức

Đã gửi bởi sinh vien on 22-05-2015 - 10:53 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Bài toán ( Nordic-2011) Chứng minh rằng

$\begin{vmatrix} a & b & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 &0 \\ c &a &b & 0 & 0 & ... & 0 &0 &0 \\0 & c & a & b &0 & ... & 0 & 0 &0 \\... & ... & ... &... &... &... &... &... &... \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 & ... & a &b &0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & c & a &b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &... &0 &c & a \end{vmatrix}_{n\times n}=\prod_{k=1}^{n}\left ( a-2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right )$




#589040 Topic yêu cầu tài liệu toán cao cấp

Đã gửi bởi sinh vien on 15-09-2015 - 10:36 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp

Cho mình hỏi ai có file cuốn " Exercises in Functional Analysis" của tác giả Dumitro Popa cho mình xin . Rất cảm ơn các bạn.