Cho mình hỏi ai có file cuốn " Exercises in Functional Analysis" của tác giả Dumitro Popa cho mình xin . Rất cảm ơn các bạn.
sinh vien nội dung
Có 261 mục bởi sinh vien (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)
#589040 Topic yêu cầu tài liệu toán cao cấp
Đã gửi bởi sinh vien on 15-09-2015 - 10:36 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
#559142 Bộ tài liệu ôn thi olympic môn giải tích
Đã gửi bởi sinh vien on 13-05-2015 - 17:23 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Để cho thuận tiện mình có chuyển các file này sang định dạng pdf cho dễ xem
VIETMATHS.COM_Bai_tap_on_luyen_thi_Olympic_Toan_Tran_Van_Su.PDF 480.56K 2176 Số lần tải VIETMATHS.COM_Olympic_Toan_Sinh_vien_Giai_Tich.PDF 807.51K 2048 Số lần tải
#559119 Bộ tài liệu ôn thi olympic môn giải tích
Đã gửi bởi sinh vien on 13-05-2015 - 15:19 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Bài tập giải tích của Kaczor - Nowak ( 2 cuốn tiếng việt + 1 cuốn tiếng anh )
Tập 1 problem_analysis1.pdf 2.35MB 4474 Số lần tải
Tập 2 BaiTapGiaiTich-Tap2- KaczkorNowak-DoanChi-dich.pdf 2.06MB 4683 Số lần tải
Tập 3 Kaczor W.J., Nowak N.T. Problems in mathematical analysis 3. Integration (AMS, 2003)(ISBN 0821832980)(600dpi)(T)(356s)_MCetp_.pdf 12.9MB 5379 Số lần tải
Đề thi một số năm trên diễn đàn có khá nhiều ở đây chỉ nên một số bài mình sở hữu
1993 - 2005 ( có Giải tích + Đại số ) 06-10-2014 22.46.37tuyen tap de thi OLP SV toan quoc.pdf 1.27MB 2108 Số lần tải
2006-2012 ( chỉ Gỉai tích ) VNMATH.COM-De Thi Loi Giai Olympic Toan SV Giai Tich 2006 - 2012.rar 759.92K 1974 Số lần tải
2013 ( Giaỉ tích + Đại số , file này tải lâu à nha ) 7056d1fa-d643-4196-b129-10563fcb9535_kyyeuolympictoan2013.pdf 15.18MB 918 Số lần tải
2014 ( Giaỉ tích + Đại số ) OSV2014_Ky_yeu.pdf 2.87MB 1709 Số lần tải
2015 (chỉ Giaỉ tích ) gt2015.pdf 5.33MB 1315 Số lần tải
Cơ bản ôn nhiêu chắc cũng chủ đậu rồi
#708410 Bài toán chéo hóa
Đã gửi bởi sinh vien on 15-05-2018 - 08:05 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Điểm thứ nhất, thứ ba thì mình rất vui lòng lắng nghe sự đóng góp ý kiến tận tình của bạn, đặc biệt là điều thứ ba rất thú vị bởi vì nó là hướng tiếp cận trên ngôn ngữ thuần túy của không gian vector cho bài toán chéo hóa ma trận và khá kinh điển tìm đọc được ở nhiều tài liệu. Nhưng còn về điểm thứ nhì thì bạn có vẻ hơi hiểu sai về mặt thuật ngữ với vấn đề một chút, xin chỉnh lại tí xíu thôi. Vì mình xét trên một trường K tổng quát nên một đa thức có thể không phải lúc nào cũng tách được và khi tách được thì cũng không chắc gì là số chiều của các không gian con riêng sẽ bằng với số bội của trị riêng tương ứng, cái này thì từng cái cụ thể mình mới có thể tính được số chiều của từng không gian con chỉ duy nhất khi các nghiệm đều có bội 1 thì hai thứ này luôn luôn trùng nhau mình có chỉ ra rồi. Tách được ở đây muốn chỉ rằng ta có thể phân tích đa thức đó thành tích các nhân tử bậc nhất đó bạn, Nói tóm lại là dùng tính tách thôi là ok trong vụ tam giác hóa rồi chứ cần quan tâm gì đến ba cái bội làm gì cho rắc rối, nếu mà có thêm được số chiều của không gian con riêng số bội của trị riêng tương ứng thì mới ok chéo hóa được.
#708279 Bài toán chéo hóa
Đã gửi bởi sinh vien on 13-05-2018 - 20:08 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Bài toán chéo hóa.pdf 464.85K 558 Số lần tải
Điều kiện cần và đủ để tam giác hóa một tự đồng cấu.pdf 217.8K 468 Số lần tải
#712253 Bài toán chéo hóa
Đã gửi bởi sinh vien on 09-07-2018 - 17:29 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
dien
cho mình hỏi bạn có hiểu khái niệm đa thức đặc trưng của một tự đồng cấu là gì không?
đa thức đặc trưng của một tự đồng cấu là đa thức đặc trưng của ma trận biểu diễn của tự đồng cấu đó trên một cơ sở xác định
#708512 Bài toán chéo hóa
Đã gửi bởi sinh vien on 16-05-2018 - 11:27 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
nếu bạn hiểu một đa thức là tách được khi tât cả các nghiệm đều là nghiệm đơn thì đã kể đến số bội của đa thức đó rồi chứ ! Mà đặc biệt là số bội bằng 1 hết nên thành ra số chiều cũng vậy. Mình sử dụng định nghĩa về tính tách được theo lối thứ hai: mọi nhân tử bất khả quy đều có nghiệm đơn, còn mình viết cụ thể ra chứ không xài lối diễn đạt bằng ngôn ngữ. Bởi vì dùng theo lối này ta có thể khảo sát bài toán trong phạm vi tổng quát hơn chứ !
#713617 Bài toán chéo hóa
Đã gửi bởi sinh vien on 31-07-2018 - 23:15 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
#707950 Định lý Cayley - Hamilton
Đã gửi bởi sinh vien on 09-05-2018 - 09:08 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Định lý Cayley - Hamilton.pdf 197.43K 1061 Số lần tải
#691782 Nguyên lý bao hàm - loại trừ
Đã gửi bởi sinh vien on 29-08-2017 - 14:59 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Nguyên lý bao hàm - loại trừ.pdf 304.94K 944 Số lần tải
#703128 Nguyên lý bao hàm - loại trừ
Đã gửi bởi sinh vien on 09-03-2018 - 08:11 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Công thức tính số toàn ánh.pdf 157.89K 299 Số lần tải
#719606 Nguyên lý bao hàm - loại trừ
Đã gửi bởi sinh vien on 19-01-2019 - 23:00 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Ứng dụng nguyên lý bao hàm – loại trừ mở rộng.pdf 262.42K 469 Số lần tải
#719596 Công thức tính số derangement
Đã gửi bởi sinh vien on 19-01-2019 - 22:29 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Bài toán Bernouli -Euler về những bức thư sai địa chỉ.pdf 263.41K 557 Số lần tải
#703127 Công thức tính số derangement
Đã gửi bởi sinh vien on 09-03-2018 - 08:08 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Công thức tính số derangement.pdf 199.24K 367 Số lần tải
Ứng dụng đại số tuyến tính trong một số bài toán về hoán vị.pdf 222.11K 147 Số lần tải
#692787 Nghịch đảo Mobius trên poset
Đã gửi bởi sinh vien on 10-09-2017 - 14:14 trong Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp
Nghịch đảo Mobius trên poset.pdf 208.89K 150 Số lần tải
#618888 Ma trận
Đã gửi bởi sinh vien on 07-03-2016 - 12:28 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
ta chứng minh được dễ dàng $(A-B)^{3}=(A-B)\Rightarrow det(A-B)$ có thể bằng 0 ,1 ,-1 . Phần sau mình lấy ví dụ là xong , phần này nhường cho các bạn tìm
#560145 tuyển chọn các bài toán tính định thức
Đã gửi bởi sinh vien on 18-05-2015 - 13:15 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Bài toán. Cho ma trận vuông A cấp n , với $a_{ij}=(i,j)$, trong đó (i,j) là ước chung lớn nhất của i và j
Tính det A
#558175 tuyển chọn các bài toán tính định thức
Đã gửi bởi sinh vien on 07-05-2015 - 12:35 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Bài toán:(Putnam 2009 )Cho n > 3, n nguên dương. Tính định thức:
$D_{n}=\begin{vmatrix} cos1 &cos2 &... &cosn \\ cos(n+1) & cos(n+2) &... &cos2n \\... &... &... &... \\cos(n^{2}-n+1) & cos(n^{2}-n+2) &... &cosn^{2} \end{vmatrix}$
Lời giải. Lấy cột thứ 3 + cột thứ 1$\rightarrow$ cột thứ 1 và sử dụng biến đổi lượng giác , ta được :
$D_{n}=\begin{vmatrix} 2cos2cos1 &cos2 &... & ... &... cos(n) \\2cos(n+2)cos1 &cos(n+2) &... & ... &cos2n \\... & ... & & ... &... \\... &... & ... & ... &... \\2cos(n^{2}-n+2)cos1 & cos(n^{2}-n+2) &... &... & cosn^{2} \end{vmatrix}$
Lúc này cột thứ 1= 2cos1 cột thứ 2 $\Rightarrow$ det$D_{n}=0$.
Bài toán . Xét các số phức$z_{1},z_{2},...,z_{2n}$ thỏa mãn điều kiện $\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{n+3} \right |$ và $argz_{1}\geqslant argz_{2}\geqslant ...\geq argz_{n+3}$.
Tính định thức của ma trận B ,trong đó $b_{ij}=\left | z_{i}-z_{j+n} \right |,i,j\in \left \{ 1,2,...n \right \}$.
Lời giải . Ta có nhận xét sau bài toán đề cập đến modun và argument của một số phức nên ta sẽ sử dụng dạng lượng giác của số phức trong các tính toán.
Với hai số phức $z=r(cosx+isinx);\omega =r(cosy+isiny)\Rightarrow \left | z-\omega \right |=2r\left | sin\left ( \frac{x-y}{2} \right ) \right |$.
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài, ta thấy B có dạng như sau:
$B=(2r)^{n}\begin{vmatrix} sin(x_{1}-x_{n+1}) &sin(x_{1}-x_{n+2}) & sin(x_{1}-x_{n+3}) & ...\\... &... & ... &... \\ sin(x_{n}-x_{n+1}) & sin\left ( x_{n}-x_{n+2} \right ) & sin(x_{n}-x_{n+3}) & ... \end{vmatrix}$
trong đó $x_{i}$ kí hiệu tương ứng argument của $z_{i}$ và r=$\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{2n} \right |$
Nếu ta tách det B theo các cột thì dễ dàng nhận thấy det B=0
#558174 tuyển chọn các bài toán tính định thức
Đã gửi bởi sinh vien on 07-05-2015 - 12:35 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Bài toán:(Putnam 2009 )Cho n > 3, n nguên dương. Tính định thức:
$D_{n}=\begin{vmatrix} cos1 &cos2 &... &cosn \\ cos(n+1) & cos(n+2) &... &cos2n \\... &... &... &... \\cos(n^{2}-n+1) & cos(n^{2}-n+2) &... &cosn^{2} \end{vmatrix}$
Lời giải. Lấy cột thứ 3 + cột thứ 1$\rightarrow$ cột thứ 1 và sử dụng biến đổi lượng giác , ta được :
$D_{n}=\begin{vmatrix} 2cos2cos1 &cos2 &... & ... &... cos(n) \\2cos(n+2)cos1 &cos(n+2) &... & ... &cos2n \\... & ... & & ... &... \\... &... & ... & ... &... \\2cos(n^{2}-n+2)cos1 & cos(n^{2}-n+2) &... &... & cosn^{2} \end{vmatrix}$
Lúc này cột thứ 1= 2cos1 cột thứ 2 $\Rightarrow$ det$D_{n}=0$.
Bài toán . Xét các số phức$z_{1},z_{2},...,z_{2n}$ thỏa mãn điều kiện $\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{n+3} \right |$ và $argz_{1}\geqslant argz_{2}\geqslant ...\geq argz_{n+3}$.
Tính định thức của ma trận B ,trong đó $b_{ij}=\left | z_{i}-z_{j+n} \right |,i,j\in \left \{ 1,2,...n \right \}$.
Lời giải . Ta có nhận xét sau bài toán đề cập đến modun và argument của một số phức nên ta sẽ sử dụng dạng lượng giác của số phức trong các tính toán.
Với hai số phức $z=r(cosx+isinx);\omega =r(cosy+isiny)\Rightarrow \left | z-\omega \right |=2r\left | sin\left ( \frac{x-y}{2} \right ) \right |$.
Kết hợp với điều kiện ở đầu bài, ta thấy B có dạng như sau:
$B=(2r)^{n}\begin{vmatrix} sin(x_{1}-x_{n+1}) &sin(x_{1}-x_{n+2}) & sin(x_{1}-x_{n+3}) & ...\\... &... & ... &... \\ sin(x_{n}-x_{n+1}) & sin\left ( x_{n}-x_{n+2} \right ) & sin(x_{n}-x_{n+3}) & ... \end{vmatrix}$
trong đó $x_{i}$ kí hiệu tương ứng argument của $z_{i}$ và r=$\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{2n} \right |$
Nếu ta tách det B theo các cột thì dễ dàng nhận thấy det B=0
#560719 tuyển chọn các bài toán tính định thức
Đã gửi bởi sinh vien on 21-05-2015 - 16:37 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Bài toán ( Sydney-2013). Tính định thức của ma trận vuông cấp n trong đó phần tử (i,j) bằng i nếu $i\neq j$ và bằng i+1 nếu i=j
Lời giải. Gọi $M_{n}$ là ma trận được định nghĩa, $I_{n}$ là ma trận đơn vị cấp n.
Khi đó ta thấy từ định nghĩa thì ma trận $M_{n}-I_{n}$ có hàng thứ i là (i,i,...,i) nên có hạng bằng 1 và định thức bằng 0 .
Suy ra 1 là một giá trị riêng của ma trận $M_{n}$ có số bội bằng n-1.
Ta thấy vết của ma trận $M_{n}$ bằng $\sum_{i=1}^{n}(i+1)=\frac{n^{2}+3n}{2}$ nên giá trị riêng còn lại của ma trận $M_{n}$ bằng $\frac{n^{2}+3n}{2}-(n-1)=\frac{n^{2}+n+2}{2}$
Do đó : $detM_{n}=1^{n-1}\times\frac{n^{2}+n+2}{2}=\frac{n^{2}+n+2}{2}$
#560738 tuyển chọn các bài toán tính định thức
Đã gửi bởi sinh vien on 21-05-2015 - 17:51 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Bài toán ( Sydney-2009 ) Cho $A_{n}$ là ma trận vuông cấp n trong đó phần tử (i,j) bằng 1 nếu $n\leq i+j\leq n+1$ và bằng 0 trong các trường hợp còn lại.
Tìm các giá trị riêng của $A_{n}$
#566808 tuyển chọn các bài toán tính định thức
Đã gửi bởi sinh vien on 19-06-2015 - 09:42 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Bài toán (AMM11270) Gọi $S_{n}$ là ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc tập $\left \{ 1,2,...,n^{2} \right \}$ .Các phần tử được sắp xếp theo hình xoắn ốc theo chiều tăng của các giá trị.
Tính $detS_{n}$.
Đáp số: $detS_{n}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}4^{n-1}\frac{3n-1}{2}\prod_{k=0}^{n-2}\left ( k+\frac{1}{2} \right )$
File lời giải:
AMM11270.pdf 63.73K 141 Số lần tải
#566709 tuyển chọn các bài toán tính định thức
Đã gửi bởi sinh vien on 18-06-2015 - 18:45 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Tiếp theo chúng ta sẽ ôn tập lại phương pháp giá trị riêng thông qua một ví dụ nhỏ.
Bài toán ( Saint Peterburg -2007) Cho ma trận $M=(m_{ij})_{n\times n},$ trong đó $m_{ij}=\begin{cases} a_{i}a_{j} & \text{ }i\neq j \\ a_{i}^{2}+k& \text{ if } i= j \end{cases}$.
Tính detM.
Lời giải.
Đặt: $A=\begin{pmatrix} a_{1}^{2} &a_{1} a_{2} & ... & a_{1}a_{n}\\ a_{2}a_{a} &a_{2}^{2} &... & a_{2}a_{n}\\ ...& ... &... &... \\a_{n}a_{1} &a_{n}a_{2} & ... &a_{n}^{2} \\ & & & \end{pmatrix}$
thì khi đó detM=det(A+kE), trong đó E là ma trận đơn vị cấp n.
Dễ dàng nhận thấy rankA=1 do đó 0 là một giá trị riêng của ma trận A và có số bội là n-1 nên giá trị riêng còn lại sẽ là $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}$ nên ta suy ra đẳng thức bên dưới đây
$det(A-\lambda E)=(-1)^{n}\lambda ^{n-1}(\lambda -(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}))$.
Thay $\lambda =-k$ ta sẽ thu được đáp án cho câu hỏi ban đầu là $k^{n-1}(k+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})$.
Bên dưới đây là một file đề thi bằng tiếng Nga dành cho các bạn nghiên cứu thêm
2007.pdf 172.63K 183 Số lần tải
#561548 tuyển chọn các bài toán tính định thức
Đã gửi bởi sinh vien on 25-05-2015 - 18:59 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Bài toán ( ĐH-FPT 2013 ) Tính định thức sau
$\begin{vmatrix} x+a_{1} &a_{2} & ... &a_{n} \\a_{1} & x+a_{2} & ... & a_{n}\\ ... &... &... &... \\a_{1} & a_{2} &... & x+a_{n} \end{vmatrix}$
Cách 1 ( Biến đổi sơ cấp ) Cộng tất cả các cột 2 ,3,...,n vào cột đầu tiên ta thu được
$\begin{vmatrix} x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} & a_{2} &... & a_{n}\\ x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n}&x+a_{2} &... &a_{n} \\ ...& ....& ... &.... \\x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} &a_{2} &... &x+a_{n} \end{vmatrix}$
Tiếp theo trừ hàng thứ 1 cho các hàng 2,3,...n ta được
$\begin{vmatrix} x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} & a_{2} & ... & a_{n}\\ 0 & x & ... & a_{n}\\... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & x \end{vmatrix}$
Đến đây dễ thấy giá trị định thức cần tìm bằng $x^{n-1}(x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$
Cách 2 ( Lý thuyết về giá trị riêng - đa thức đặc trưng ) Đặt $P(\lambda )=det(A-\lambda I_{n})$,
trong đó $A=\begin{bmatrix} a_{1} &a_{2} & ... &a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & ... &a_{n} \\ ...& ... & ... &... \\a_{1} & a_{2}& ... & a_{n} \end{bmatrix}$.
Ta thấy rank A=1 , nên 0 là một giá trị riêng của ma trận A và có số bội bằng $n-rankA=n-1$.
Theo đó giá trị riêng còn lại của ma trận A bằng $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ . Lưu ý là hệ số của $\lambda ^{n}$ trong $P(\lambda )$ là $(-1)^{n}$
nên $P(\lambda )=det(A-\lambda I_{n})(-1)^{n}\lambda ^{n-1}(\lambda +a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$
Thay $\lambda =-x$ thay thấy $det(A+xI_{n})=x^{n-1}(x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$.
Chú ý vế trái là định thức ta cần tính.
#555380 tuyển chọn các bài toán tính định thức
Đã gửi bởi sinh vien on 21-04-2015 - 08:53 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Sau đây là một số bài toán tính định thức theo các hướng độc đáo đã được sau trên các cuộc thi danh tiếng (đề mục này sẽ được bổ sung dần dần )
Bài toán 1. (PUTNAM 2014) Cho A là ma trận $n\times n$ trong đó phần tử ở hàng thứ i cột thứ j được cho bởi $\frac{1}{min(i,j)}$ với $1\leqslant i,j\leqslant n$ . Tính định thức của ma trận A
Lời giải. Từ điều kiện ở đầu ta thấy
A=$\begin{bmatrix} 1 & 1 &1 ...& 1& \\ 1& \frac{1}{2} &\frac{1}{2} ...& \frac{1}{2}& \\ 1 & \frac{1}{2}&\frac{1}{3} ...&\frac{1}{3} & \\1 &\frac{1}{2}&\frac{1}{3}...& \frac{1}{4}\\ ... & ... & ... &... \\ 1 & \frac{1}{2}&\frac{1}{3} ... & \frac{1}{n} & \end{bmatrix}$
Để giải bài toán này ta sẽ áp dụng khai triển Laplace cho hàng thứ n . Chú ý khi đó ma trận con thu được khi xóa hàng thứ n có dạng
\begin{bmatrix} 1 & 1& 1 & ... &1& 1\\1 & \frac{1}{2}&\frac{1}{2} & ...& \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ ... & ... &... & ...&... & ...\\1 & \frac{1}{2}&\frac{1}{3} &..& \frac{1}{n-1} &\frac{1}{n-1} \end{bmatrix}$
Khi đó cột thứ n và cột thứ n-1 trùng nhau nên ma trận con chứa cả hai cột n và n-1 có định thức bằng 0 . Từ đó ta thấy
$\begin{vmatrix} 1& 1 & 1 & ... &1 \\1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} &... & \frac{1}{2}\\ 1& \frac{1}{2}&\frac{1}{2} &... &\frac{1}{2} \\ ...& ... &... & ... &... \\ 1& \frac{1}{2} &\frac{1}{3} & ... &\frac{1}{n} \end{vmatrix}=-\frac{1}{n-1}\begin{vmatrix} 1 & 1 & ... &1 \\ 1 & \frac{1}{2} &... &\frac{1}{2} \\... & ...& ... & ...\\ 1 & \frac{1}{2}&... &\frac{1}{n-1} \end{vmatrix}+\frac{1}{n}\begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1\\1 & \frac{1}{2} & ... & \frac{1}{2}\\ ... &\... & ... &... \\ 1 & \frac{1}{2} &... &\frac{1}{n-1} \end{vmatrix}$
Nếu đặt $D_{n}=det(A)$ trong đó A có cấp n thì $D_{n}=\left ( \frac{1}{n} -\frac{1}{n-1}\right ) D_{n}=\frac{-1}{n(n-1)}D_{n-1}$
Sử dụng hệ thức truy hồi này và chú ý $D_{1}=1$ ta được
$D_{n}=\frac{-1}{n(n-1)}\frac{-1}{(n-1)(n-2)}...\frac{-1}{3.2}\frac{-1}{2.1}=\frac{(-1)^{n+1}}{n!(n-1)!}$
Bài toán 2 (ĐHBK -2013) .Cho $x_{i},y_{i},1\leq i\leq n$ là các số phức với $x_{i}y_{j}$$\neq 1$ với mọi cặp $x_{i},y_{j}$.
Tính định thức của ma trận $M=(m_{ij})_{n\times n}$ tróng đó $m_{ij}=\frac{1}{1-x_{i}y_{j}}$
lời giải. Để cho thuận tiện ta quy ước $D_{y_{1}y_{2}...y_{n}}^{x_{1}x_{2}...x_{n}}=det(M)$. Ta thấy
n=2 : $D_{y_{1}y_{2}}^{x_{1}x_{2}}=\begin{vmatrix} \frac{1}{1-x_{1}y_{1}} &\frac{1}{1-x_{1}y_{2}} \\ \frac{1}{1-x_{2}y_{1}} &\frac{1}{1-x_{2}y_{2}} \end{vmatrix}=\frac{(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})}{(1-x_{1}y_{1})(1-x_{1}y_{2})(1-x_{2}y_{1})(1-x_{2}y_{2})}$ ( tính toán tương đối đơn giản nên mình không nêu ra cụ thể )
Ta có thể tính trực tiếp thêm một số giá trị của n . Dự đoán :
$D_{y_{1}...y_{n}}^{x_{1}...x_{n}}=\frac{\prod_{1\leqslant i< j\leqslant n}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(1-x_{i}y_{j})}$. Ta sẽ chứng minh quy nạp công thức này.
Áp dụng khai triển Laplace cho cột thứ nhất ta được
$D_{y_{1}..y_{n+1}}^{x_{1}...y_{n+1}}=\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i+1}\frac{1}{1-x_{i}y_{1}}D_{y_{2}...y_{n+1}}^{x_{1}...x_{i-1}x_{i+1}...x_{n+1}}$
$=\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}\frac{1}{1-x_{i}y_{1}}\frac{\prod_{1\leq k< l\leq n+1,k,l\neq i}(x_{k}-x_{l})\prod_{2\leq k< l\leq n+1}(y_{k}-y_{l})}{\prod_{1\leq k\leqslant n+1,k\neq i,2\leq l\leqslant n+1}(1-x_{k}y _{l})}$
$\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}\prod_{k=1,k\neq i}^{n+1}(1-x_{k}y_{1})\frac{\prod_{1\leqslant k< l\leq n+1}(x_{k}-x_{l})\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k})\prod_{2\leq k< l\leq n+1}(y_{k}-y_{l})}{\prod_{k=1}^{i-1}(x_{k}-x_{i})\prod_{k=i+1}^{n+1}(x_{i}-x_{k})\prod_{1\leqslant k,l\leqslant n+1}(1-x_{k}y_{l})}$
$=\left ( \sum_{i=1}^{n+1}\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k})\prod_{k=1,k\neq i}^{n+1} \frac{1-x_{k}y_{1}}{x_{i}-x_{k}}\right )\frac{\prod_{1\leq k< l\leq n+1}(x_{k}-x_{l})\prod_{2\leq k< l\leq n+1}(y_{k}-y_{l})}{\prod_{1\leqslant k,l\leq n+1}(1-x_{k}y_{l})}$
Đặt $P(x)=\prod_{k=2}^{n+1}(1-xy_{k})$ thì $P(x)$ là một đa thức bậc n và $P(x_{i})=\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k}),i=1,2,..n+1$ . Áp dụng công thức Lagrange ta được:
$P(x)=\sum_{i=1}^{n+1}\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k})\prod_{k=1,k\neq i}^{n+1}\frac{x-x_{k}}{x_{i}-x_{k}}$
Thay $x=\frac{1}{y_{1}}$ , nhân hai vế cho $y_{1}^{n}$ ta được
$\prod_{k=2}^{n+1}(y_{1}-y_{k})=\sum_{i=1}^{n+1}\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k})\prod_{k=1,k\neq i}^{n+1}\frac{1-x_{k}y_{1}}{x_{i}-x_{k}}$.
Từ đây ta dễ dàng thu được kết quả mong muốn.
- Diễn đàn Toán học
- → sinh vien nội dung