1. Lấy K trên DE sao cho DK = DB.

$\Rightarrow \vartriangle DBI =\vartriangle DKI$
ID là phân giác góc KIB (1)

Đồng thời $\angle DKI = \angle DBI = \angle ECI$ tứ giác CEKI nội tiếp

Mà KE = EC (do BD = DK) => cung KE = cung EC của đường tròn CEKI => IE là phân giác góc KIC (2)

(1) và (2) => DIE = 90°

2. Cho DI cắt phân giác góc DEC tại M. Ta có thể chứng minh 2 cặp tam giác sau bằng nhau:
DBM và Đánh con mèo,
ECM và EKM

$\Rightarrow \angle MKD = \angle MBA;\angle MKE = \angle MCA$

mà $\angle MKD + \angle MKE = 180^o \Rightarrow \angle MBA + \angle MCA = 180^o \Rightarrow$ M thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC
mà MB = MC (= MK) => M là trung điểm cung BC của đường tròn

=> DI luôn đi qua M.

Bạn làm được câu a mình đoán là bạn đã chứng minh được DE//TY, DF//TX rồi.

Phần việc của câu b có 2 bước:

- cm $\dfrac{SD}{ST} = \dfrac{FD}{XT}$;
- cm$\dfrac{FD}{XT} = \dfrac{HD}{MT} (\vartriangle FHD \sim \vartriangle XMT)$
$\Rightarrow \dfrac{SD}{ST} = \dfrac{HD}{MT}$

Xét 2 tam giác SDH và STM có 2 cặp cạnh tỉ lệ trên và góc chung SDH => 2 tam giác này đồng dạng
$\Rightarrow \angle DSH = \angle TSM \Rightarrow$ SH trùng SM (đpcm)

Thân.

Chào bạn, mình có 1 hướng sau:

Gọi H là giao điểm của AB và MCD.

Từ câu b: MEIK nội tiệp => HE.HK = HI.HM (1)
(cái này hình như là 1 định lý trong SGK, nếu ko có thì bạn cũng có thể dùng tam giác đồng dạng chứng minh, không mất nhiều thời gian lắm).

Ta lại có AIBM nội tiếp (đường kính OM), => HI.HM = HA.HB (2)

ACBD nội tiếp => HA.HB = HC.HD (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có HE.HK = HC.HD, như vậy CEDK cũng nội tiếp.

Bạn chứng minh thêm 1 bước nhỏ nữa là DCEO nội tiếp (do ME.MO = MB² = MC.MD) => K, C, O, E, D cùng nằm trên 1 đường tròn.
Mà góc KEO = 90° nên KDO = 90° (đpcm).

Thân.