Cho parabol (P) : $y=2x^{2}+x-3$ và đường thẳng (d): $y=mx$. Dễ thấy rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung điểm K của AB

giải phương trình vô tỉ sau

$\sqrt[3]{x^{2}+4}=\sqrt{x-1}+2x-3$

mình đã nhẩm đc nghiệm x=2 và nhân liên hợp, nhưng thầy mình nói bài này có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ 

giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phủ đưa về hệ 

$\sqrt[3]{x^{2}+4}=\sqrt{x-1}+2x-3$

Đặt $t=x-1$ suy ra $x=t+1$. Rồi gán ẩn phụ này vào pt mà giải: cách giải loằng ngoằng lắm, bạn có thể xem coccoc.com giải sao đó mà ra được hai nghiệm phụ $t=1\mbox{hay}t\approx 2,59$. Bạn tự suy ra x.

có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ không

Giải phương trình vô tỉ 1. $\sqrt[3]{x^{2}-1}+x=\sqrt{x^{3}-1}$

                                    2. $\sqrt[3]{x^{2}+4}=\sqrt{x-1}+2x-3$

Tiện thể các bạn cho mình hỏi những phương trình dạng như trên ( có một căn bậc 2, một căn bậc 3 và một nhị thức ax+b ) có phương pháp tổng quát để giải không ? cảm ơn các bạn rất nhiều. 

bài 1 đề sai . phải là $\sqrt[3]{x^{2}-1}+x=\sqrt{x^{3}-2}$ mình đã tự giải đc bằng cách nhân liên hợp. các bạn giúp mình bài 2 và trường hợp tổng quát

giải phương trình vô tỉ : $\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^{2}+4}}$

bài toán này thầy mình nói dùng nhân liên hợp để giải, nhưng mình nhẩm đc 2 nghiệm là 2 và 2/3 , với biểu thức sau khi nhân liên hợp cũng rất khó đánh giá. mong các bạn giúp đỡ mình bài này ( không cần theo cách nhân liên hợp cũng được ). mình cảm ơn nhiều

Liên hợp trực tiếp 2 căn thức VT với nhau ta có:

$\frac{6x-4}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^{2}+4}}$

Từ đó ta thấy có nghiệm là 2/3.

Cho 2 cái mẫu số ở trên bằng nhau rồi bình phương 2 vế ta có:

$4\sqrt{2(4-x^{2})}=(x-2)(x+4)$

Suy ra x $\geq$2 hoặc x$\leq$-4. Mà theo điều kiện ban đầu ta có: $-2\leq x\leq 2$

Suy ra có nghiệm x=2.

P/s: Đây là cách mình nghĩ ra không biết sai sót gì không.

cảm ơn bạn nhiều

Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm BC. Chứng minh $\vec{MH}.\vec{MA}=\frac{1}{4}BC^{2}$

cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. tìm quỹ tích điểm M thảo mãn :

a. $(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC})(\vec{MC}-\vec{MB})=3a^{2}$

b. $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=3MD^{2}$

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1. tìm GTNN của biểu thức: $\frac{\sqrt{ab}}{c+ab}+\frac{\sqrt{bc}}{a+bc}+\frac{\sqrt{ac}}{b+ac}$

giải pt vô tỉ: $x^{2}-3x+1=-\frac{3}{\sqrt{3}}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

                   $\sqrt{2x^{2}-2x+1}+\sqrt{2x^{2}-(\sqrt{3}-1)x+1}+\sqrt{2x^{2}+(\sqrt{3}+1)x+1}=3$

                   $2x+\frac{x-1}{x}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}-3\sqrt{x-\frac{1}{x}}=0$

                   $\sqrt{1-x}-2x\sqrt{1-x^{2}}-2x^{2}+1=0$

 giải pt vô tỉ $x^{2}-3x+1=-\frac{3}{\sqrt{3}}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

                   $\sqrt{2x^{2}-2x+1}+\sqrt{2x^{2}-(\sqrt{3}-1)x+1}+\sqrt{2x^{2}+(\sqrt{3}+1)x+1}=3$

                   $2x+\frac{x-1}{x}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}-3\sqrt{x-\frac{1}{x}}=0$

                   $\sqrt{1-x}-2x\sqrt{1-x^{2}}-2x^{2}+1=0$

giải pt vô tỉ: $\sqrt[3]{81x-8}=-2x^{2}+\frac{4}{3}x-2$

tiện đây các bạn cho mình hỏi có cách nào để giải pt tổng quát dạng $\sqrt[3]{ax+b}=cx^{2}+dx+e$ hay $\sqrt{ax+b}=cx^{3}+dx^{2}+ex+f$ không ? hoặc bạn nào có tài liệu về pt dạng này cho mình xin. mình cảm ơn nhiều

Bài này mình nghĩ sai đề vì số quá to với lại nhập vào cốc cốc thì vô nghiệm còn để nói về cái dạng tổng quát thì sử dụng UCT để làm như sau 

$\sqrt[3]{ax+b}=\alpha (ax+b)^2+\beta (ax+b)+\gamma $

$\sqrt{ax+b}=\alpha (ax+b)^3+\beta (ax+b)^2+\gamma (ax+b)+\theta$

bạn giải thích kĩ hơn cho mình về UCT được không ? và sau khi đưa về dạng trên làm tiếp như thế nào ?

bài trên mình thử nhân cả 2 vế với ax+b => VP trở thành bt bậc 3, vt có dạng $f(x)\sqrt[3]{g(x)}$, sau đó mình cố gắng đồng nhất hệ số đưa về dạng  $\left [ A(x) \right ]^{3}+B(x)=C(x)\sqrt[3]{C(x)A(x)-B(x)}$

rồi đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại 2

thì có vẻ ra 

giải pt vô tỉ $\sqrt{x}=1-2x+2x^{2}-x^{3}$

giải các phương trình vô tỉ

1. $\sqrt{x^{2}+3x+2}+\sqrt[4]{-x^{4}+3x^{3}+6x^{2}-18x-20}=\sqrt[3]{-x^{4}+3x^{3}+7x^{2}-15x-18}$

2. $(x+5)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}$

3. $\frac{x-3x^{2}}{2}+\sqrt{2x^{4}-x^{3}+7x^{2}-3x+3}=2$

4. $384x^{2}-96\sqrt[6]{4x-1}-96\sqrt[4]{6x+13}-302x+343=0$

5. $\sqrt{x^{2}-\frac{7}{x^{2}}}+\sqrt{x-\frac{7}{x^{2}}}=x$

c/m vế sau vô nghiệm ra răng

giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}+2x^{2}+y^{2}+3=0 & \\ x^{2}+2y^{2}+4x-4y+1=0& \end{matrix}\right.$

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= $(x+2y-1)^{2}+\left | mx+y-3 \right |$

giải các hệ phương trình 

1. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=3\\ \sqrt{x+5}+\sqrt{y+3}=5 \end{matrix}\right.$

2. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-y}-\sqrt{x+y}=2\\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=4 \end{matrix}\right.$

3. $\left\{\begin{matrix} x(y^{3}-2)=3\\x^{3}(3y+2) =1 \end{matrix}\right.$

4. $\left\{\begin{matrix} 2y^{2}-x^{2}=1\\ 2x^{3}-y^{3}=2y-x \end{matrix}\right.$

5. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{y^{2}+3}+x+y=5\\ \sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{y^{2}+3}-x-y=2 \end{matrix}\right.$

giải hệ pt: 

1.  $\left\{\begin{matrix} \sqrt{11x-y}-\sqrt{y-x}=1\\ 7\sqrt{y-x}+6y-26x=3 \end{matrix}\right.$

2.  $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy+1=4y\\y(x+y)^{2}=2x^{2}+7y+2 \end{matrix}\right.$

3.  $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+4xy=6\\2x^{2}+8=3y+7x \end{matrix}\right.$

4.  $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^{2}-y \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+3xy^{2}=-49\\ x^{2}-8xy+y^{2}=8y-17x \end{matrix}\right.$

$PT(1)+3PT(2) \rightarrow.......(x+1)[(x+1)^{2}+3(y-4)^{2}]=0$

Đến đây dễ dàng tìm ra nghiệm của hệ là $(x;y)=(-1;4),(-1;-4)$

tại sao lại nghĩ ra đc nhân 3 cho pt 2 rồi cộng lại vậy bạn