Xét hai trường hợp:
-Trường hợp 1: n=0 và k=0
$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow 2= N^{m}$
$\Rightarrow$ m=1
-Trường hợp 2: $n> 0$; k$k\geq 0$
Đa thức $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ có bậc 3, $n^{2}+1$ có bậc 2 nên $n^{2}+1\neq 44n^{3}+11n^{2}+10n+2$
Vì $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ có bậc 3 nên có thể phân tích về dạng $\left ( a\times n+b \right )^{3}$ với $a> 0;b\geqslant 0$, mà k là số nguyên không âm nên $2^{k}\neq 3$
Do $n^{2}+1$ và $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ khác nhau về cơ số và số mũ$\Rightarrow$ tích hai số này là một số có số mũ bằng 1, tức m=1
Vậy nếu tồn tại các số nguyên không âm m,n,N,k thỏa mãn $\left ( n^{2}+1 \right )^{2^{^{k}}}\times (44n^{3}+11n^{2}+10n+2)= N^{m}$ thì m=1
Lập luận mơ hồ, thiếu nhiều trường hợp
Điểm bài 5
S = 9+ 5*3 =24