Bài 372: $\begin{cases} & \sqrt{2x-y-1}+\sqrt{3y+1}=\sqrt{x}+\sqrt{x+2y} \\ & x^{2}+x+3y+17= 6\sqrt{x+7}+2x\sqrt{3y+1} \end{cases}$

$(1) \iff \sqrt{2x-y-1}-\sqrt{x}=\sqrt{x+2y}-\sqrt{3y+1}$

$\iff \dfrac{x-y-1}{\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}}=\dfrac{x-y-1}{\sqrt{x+2y}+\sqrt{3y+1}}$

$\iff x-y-1=0$    v     $\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x+2y}+\sqrt{3y+1}$ (*)

Xét (*) ta có hệ: 

$\iff \begin{cases} \sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x+2y}+\sqrt{3y+1} \\  \sqrt{2x-y-1}-\sqrt{x}=\sqrt{x+2y}-\sqrt{3y+1} \end{cases}$

Trừ vế cho vế ta đc: $\sqrt{x}=\sqrt{3y+1} \rightarrow x=3y+1$

Vậy ta có 2 TH: $x=y+1$ và $x=3y+1$

Với TH: $x=3y+1$, thay vào ta có:

$x^2+x+16=6\sqrt{x+7}+2x\sqrt{x}$ (ĐK: $x \geq 0$)

$\iff (\sqrt{x+7}-3)^2+(x-\sqrt{x})^2=0$

$\iff \begin{cases} \sqrt{x+7}-3=0 \\ x-\sqrt{x}=0 \end{cases}$ (vô nghiệm)

..

Bài 382: $\left\{\begin{matrix} &(x+y)^{2}+\sqrt{3(x+y)}=\sqrt{2(x+y+1)}+4 \\ &(x^{2}+y-2)\sqrt{2x+1}=x^{3}+2y-5 \end{matrix}\right.$(HSG tỉnh Phú Thọ 2016)

ĐK: $x+y \geq 0$

$(1) \iff (x+y)^2-4+(\sqrt{3(x+y)}-\sqrt{2(x+y+1)})=0$

$\iff (x+y-2)(x+y+2)+\dfrac{x+y-2}{\sqrt{3(x+y)}-\sqrt{2(x+y+1)}}=0$

$\iff (x+y-2)(x+y+2+\dfrac{x+y-2}{\sqrt{3(x+y)}-\sqrt{2(x+y+1)}})=0$

$\iff x+y=2$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

Đến đây thế xuống (2) ta đc:

$(x^2-x)\sqrt{2x+1}=x^3-2x-1$

Đặt $\sqrt{2x+1}=y (>0)$

$\iff (x^2-x)y=x^3-y^2$

$\iff x^2y-xy=x^3-y^2$

$\iff (x^2+y)(x-y)=0$

$\iff x=y$

Đến đây thay $y=\sqrt{2x+1}$ vào là xong ...

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 328: $\begin{cases} & (\sqrt{x-y}-4)(\sqrt{2y-x}+2)=3x-5y-8 \\ & \sqrt{2-y}-\sqrt{x^{2}-2}= x^{2}+\dfrac{5x}{9}-4 \end{cases}$

ĐK: $y \leq x \leq 2y$

Đặt $\sqrt{x-y}=a; \sqrt{2y-x}=b \rightarrow a^2-2b^2=3x-5y$, thay vào ta có:

$(a-4)(b+2)=a^2-2b^2-8$
 

$\iff ab+2a-4b-8=a^2-2b^2-8$

$\iff a^2-ab-2b^2-2(a-2b)=0$

$\iff (a-2b)(a+b)-2(a-2b)=0$

$\iff (a-2b)(a+b-2)=0$

$\iff a=2b$   v    $a+b=2$

Đến đây rút $x;y$ rồi thay xuống pt 2

Bài 299 : $\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}$

ĐK: $x \geq \dfrac{1}{2}$

$\iff (\sqrt{2x-1}-3)(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})=4$

$\iff (\sqrt{2x-1}-3)(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})=(x+6)-(x+2)$

$\iff (\sqrt{2x-1}-3)(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})=(\sqrt{x+6}+\sqrt{x+2})(\sqrt{x+6}-\sqrt{x+2})=0$

$\iff \sqrt{2x-1}-3=\sqrt{x+6}-\sqrt{x+2}$

$\rightarrow 2x+8-6\sqrt{2x-1}=2x+8-2\sqrt{(x+6)(x+2)}$

$\iff 3\sqrt{2x-1}=\sqrt{(x+6)(x+2)}$

Đến đây bình phương rồi giải phương trình bậc hai bình thường sau đó thử lại...

Bài 265: $\left\{\begin{matrix} \frac{2x^2+4y^2}{xy}=4\sqrt{(\dfrac{2}{y}-\dfrac{3}{x})(x+y)-1} \\ \sqrt{(x+1)^2+xy+3x+2y+5-2x(\sqrt{x(y+3)})}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3} \end{matrix}\right.$

$PT(2) \iff (x+1)^2+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}=x+y+3+2\sqrt{x(y+3)}$

$\iff (x+1)^2+xy+2x+y+2=2(x+1)\sqrt{x(y+3)}$

$\iff (x+1)^2+(x+1)(y+2)=2(x+1)\sqrt{x(y+3)}$

$\iff x+1=0$     v     $x+y+3=2\sqrt{x(y+3)}$

$\iff x=-1$       v      $\sqrt{x}=\sqrt{y+3}$

$\iff x=-1$       v      $x=y+3$

Đến đây ta thế vào PT(1)

Hỏi chút là làm thế nào bạn tìm được nhân tử $x^2 + 2x +3$ vậy, vì nó vô nghiệm ấy ?

Uhm, tại mình nhận thấy ở nó xuất hiện ở vế phải $(x^2+2x+3)\sqrt{x^2-x+1}$ nên mình có hướng tách $x^3+x^2+x-3=(x^2+2x+3)(x-1)$  tạo nhân tử để nhóm vừa khéo cho việc liên hợp

Vì khúc màu đỏ không cân bằng được hệ số nên không ra mà sao Nghĩa nghĩ tới -1 và 4 vậy

Cái này em dùng hệ số bất định, khi đặt ẩn phụ $a=\sqrt{x-2}; b=\sqrt{2x-3}$

Ta có: $7x-10=u.(x-2)+v(2x-3)=x(u+2v)+(-2u-3v)$

Từ đó có hệ:$\begin{cases} u+2v=7 \\  -2u-3v=-10 \end{cases} \iff \begin{cases} u=-1 \\  v=4 \end{cases}$

$$\left ( x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-1} \right )^{2}=1$$

$$\Leftrightarrow x^{2}+2xy\sqrt{\left ( x^{2}-1 \right )\left ( 1-y^{2} \right )}+y^{2}=1$$

 

Dòng bình phương này nhầm r cj nó là $x^2-y^2+2xy\sqrt{(x^2-1)(1-y^2)}=1$ !!?

Bài 513: Giải hệ:

$$\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2-3y^2+3x+4y-1=0 \\ y^3-3xy-x+12y-7=0 \end{matrix}\right.$$

Bài 482: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2(y+1)=6y-2 \\ x^4y^2+2x^2y^2+y(x^2+1)=12y^2-1 \end{matrix}\right.$

 

P/S: Còn nhiều bài khó, mình xin đăng bài dễ thở hơn.

Dễ thấy $y=-1$ không là nghiệm. Từ pt (1) ta có: $\dfrac{6y-2}{y+1}=x^2 \geq 0 \rightarrow y \geq \dfrac{1}{3}$ hoặc $y <-1$  

Ta có hệ đã cho tương đương với:

$\iff \left\{\begin{matrix} (x^4y^2+2x^2y^2+y^2)+(x^2y+y)=13y^2-1 \\ (x^2y+y)+(x^2+1)=7y-1 \end{matrix}\right.$

$\iff \left\{\begin{matrix} (x^2y+y)^2+(x^2y+y)=13y^2-1 \\ (x^2y+y)+(x^2+1)=7y-1 \end{matrix}\right.$

$\iff \left\{\begin{matrix} y^2(x^2+1)^2+y(x^2+1)=13y^2-1 \\ y(x^2+1)+(x^2+1)=7y-1 \end{matrix}\right.$

Đặt $y=a; \ x^2+1=b$, thay vào ta có:

$\iff \left\{\begin{matrix} a^2b^2+ab=13a^2-1 \\ ab+b=7a-1 \end{matrix}\right.$

Từ (2) $\rightarrow b=\dfrac{7a-1}{a+1}$ ($a \not = -1$)

Thay vào PT(1) ta có: $a^2(\dfrac{7a-1}{a+1})^2+\dfrac{a(7a-1)}{a+1}=13a^2-1$

$\iff (3a-1)(a-1)(12a^2+5a+1)=0$ 

Bài 465: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}-8y^{3}=1+3xy-3x^{2}y^{2} \\ &8y^{3}-3x^{3}=1-3xy+9x^{2}y^{2} \end{matrix}\right.$

Mình có ý này nhưng nghiệm ra khá lẻ

$3PT(1)+PT(2) \iff -16y^3=4+6xy \iff -8y^3=2+3xy$

$PT(1)+PT(2) \iff -2x^3=2+6x^2y^2 \iff -x^3=1+3x^2y^2$

Nhân vế với vế: $8x^3y^3=(2+3xy)(1+3x^2y^2)$

$\iff 8x^3y^3=2+6x^2y^2+3xy+9x^3y^3$

$\iff x^3y^3+6x^2y^2+3xy+2=0$

Đến đây tìm đc quan hệ $x,y$

p/s: Nghiệm ra lẻ quá, không biết mk làm sai ở đâu k

Bài 254: Giải bpt: 

$9x^2+27x+31 > (6x-1)\sqrt{9x^2+6}+(9x^2+6)\sqrt{2-x}$  (với $x \in [\dfrac{-4}{5}; 2]$)

P/S: bất phương trình này vô số nghiệm hay luôn đúng với mọi $x$

Bài 220: $\begin{cases} & \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=9 \\ & \left ( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \right )\left (\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+1 \right )\left ( \dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}+1 \right )= 18 \end{cases}$

ĐK: $x; \not = 0$

Đặt $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=a; \dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}=b$ thay vào ta có:

$\iff \begin{cases} &  a^3+b^3=9 \\ &  (a+b)(a+1)(b+1)=18 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (a+b)^3-3ab(a+b)=9 \\ &  (a+b)ab+(a+b)^2+(a+b)=18 \end{cases}$

Đặt $a+b=u; ab=v$

$\iff \begin{cases} &  u^3-3uv=9 \ (1)  \\ &  3uv+3u^2+3u-54=0 \ (2) \end{cases}$

(1) $\iff 3uv=u^3-9$ thế vào (2) đc:

$u^3+3u^2+3u-63=0$

$\iff (u-3)(u^2+6u+21)=0$

$\iff u=3$

$\iff a+b=3$

Xong thế vào (1) để tìm $ab$

Bài 46: $x^{2}+4x+5-\dfrac{3x}{x^{2}+x+1}=(x-1)\left ( 1-\dfrac{2-\sqrt{1-x}}{x^{2}+x+1} \right )$

ĐK: $x \leq 1$

$x^2+4x+5-\dfrac{3x}{x^2+x+1}=x-1-\dfrac{2x-2-(x-1)\sqrt{1-x}}{x^2+x+1}$

$\iff x^2+3x+6 +\dfrac{-x-2+\sqrt{1-x}^3}{x^2+x+1}=0$

$\iff x^2+3x+3+(3+\dfrac{-x-2+\sqrt{1-x}^3}{x^2+x+1})=0$

$\iff (x^2+3x+3)+\dfrac{3x^2+2x+1+\sqrt{1-x}^3}{x^2+x+1}=0$

Dễ thấy VT $>0$ nên pt vô nghiệm.

Bài 89*: $\left\{\begin{matrix} &xy+6y\sqrt{x-1}+12y=4 \\ &\dfrac{xy}{1+y}+\dfrac{1}{xy+y}=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $x=0$ hoặc $y=0$ không là nghiệm của hệ.

$(2) \iff \dfrac{x}{\dfrac{1}{y}+1}+\dfrac{1}{y(x+1)}=\dfrac{2\sqrt{\dfrac{x}{y}}}{1+\sqrt{\dfrac{x}{y}}}$

Đặt $\dfrac{1}{y}=a$ thay vào ta có: (ĐK: $a \not = -1; x \not =-1$)

$\iff \dfrac{x}{a+1}+\dfrac{a}{x+1}=\dfrac{2\sqrt{xa}}{1+\sqrt{xa}}$

$\iff (x-a)(\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{x+1})=0$

$\iff x=a$

$\iff x=\dfrac{1}{y}$

Thế vào (1) là ra... 

Đóng góp:

Bài 45: $$\begin{cases} &  x^3(2+3y)=8 \\  &  x(y^3+2)=6 \end{cases}$$

 

Bài 20: Giải phương trình:

a, $4x^{2}+(2x-5)\sqrt{4x+2}+17=(2x+3)\sqrt{6-4x}$

ĐK: $\dfrac{-1}{2} \leq x \leq \dfrac{3}{2}$

$16x^2+4(2x-5)\sqrt{4x+2}+68-4(2x+3)\sqrt{6-4x}=0$

$\iff (2x-5)^2+4(2x-5)\sqrt{4x+2}+4(2x+2)+(2x+3)^2-4(2x+3)\sqrt{6-4x}+4(6-4x)+8x^2+8x+2=0$

$\iff [2x-5+2\sqrt{4x+2}]^2+[2x+3-2\sqrt{6-4x}]^2+2(2x+1)^2=0$ 

$\iff 2x+5+2\sqrt{4x+2}=2x+3-2\sqrt{6-4x}=2x+1=0$ (vô lí)

Vậy pt vô nghiệm

 

 

Bài 4: Giải phương trình: 

b) $(x+1)\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}(x+6)=x^{2}+7x+12$

 

Tiếp

ĐK: $x+2 \geq 0$

PT $\iff 2(x^2+7x+12)-2(x+1)\sqrt{x+2}-2(x+6)\sqrt{x+7}=0$

$\iff (x-2)+[(x^2+3x+2)-2(x+1)\sqrt{x+2}]+[(x^2+10x+24-2(x+6)\sqrt{x+7}]=0$

$\iff (x-2)+(x+1)(x+2-2\sqrt{x+2})+(x+6)(x+4-2\sqrt{x+7})=0$

$\iff (x-2)+\dfrac{(x-2)(x+2)(x+1)}{x+2+2\sqrt{x+2}}+\dfrac{(x-2)(x+6)^2}{x+4+2\sqrt{x+7}}=0$

$\iff (x-2)(1+\dfrac{(x+2)(x+1)}{x+2+2\sqrt{x+2}}+\dfrac{(x+6)^2}{x+4+2\sqrt{x+7}})=0$

$\iff x=2$   v   $1+\dfrac{(x+2)(x+1)}{x+2+2\sqrt{x+2}}+\dfrac{(x+6)^2}{x+4+2\sqrt{x+7}}=0$

Xét $1+\dfrac{(x+2)(x+1)}{x+2+2\sqrt{x+2}}=\dfrac{x+2+2\sqrt{x+2}+(x+2)(x+1)}{x+2+2\sqrt{x+2}}=\dfrac{(x+2)^2+2\sqrt{x+2}}{x+2+2\sqrt{x+2}} >0$

Vậy $1+\dfrac{(x+2)(x+1)}{x+2+2\sqrt{x+2}}+\dfrac{(x+6)^2}{x+4+2\sqrt{x+7}} > 0$

Vậy nghiệm pt $x=2$

Tiếp tục nhé mọi người!

Bài 111: $7x^2-10x+14=5\sqrt{x^4+4}$

$\iff 6(x^2-2x+2)+(x^2+2x+2)=5\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$

Đặt $\sqrt{x^2-2x+2}=a; \sqrt{x^2+2x+2}=b$

PT $\iff 6a^2-5ab+b^2=0$

$\iff (2a-b)(3a-b)=0$

Với mỗi TH chỉ cần bình phương lên để tìm đc kết quả.

bài 104: $2x-5+3\sqrt{2x+7}=2\sqrt{x+1}$

ĐK: $x \geq -1$

$\iff (2x-5)^2=(2\sqrt{x+1}-3\sqrt{2x+7})^2$

$\iff 2x^2-21x-21=-6\sqrt{2x^2+9x+7}$

$\Rightarrow (x^2-6x-3)(4x^2-60x-63)=0$ ( Bình phương 2 lần)

Đến đây tìm nghiệm rồi so sánh với điều kiện là ra.

Bài 197: $x^{3}+x^{2}-4x+6-(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}-3x+6}=0$

Đặt $\sqrt{x^2-3x+6}=a \ (a \geq 0)$. Thay vào ta có:

$\iff x^3+x^2-4x+6-(x^2+1)a=0$

$\iff a^2-(x^2+1)a+x^3+x^2-4x+6-(x^2-3x+6)=0$

$\iff a^2-(x^2+1)a+x^3-x=0$

$\iff (a-x-1)(a-x^2+x)=0$

Đến đây thay $a=\sqrt{x^2-3x+6}$ vào rồi bình phương bình thường...

Bài này đưa về tích được,

Đặt $2x-1=a; \sqrt{x^2+1}=b$

$PT \Leftrightarrow (2a+1)b=2b^2+a \Leftrightarrow (b-a)(2b-1)=0 \Leftrightarrow ...$

P/s: chú nhầm rồi: $\sqrt{x^2-1}$ mà có phải $\sqrt{x^2+1}$ đâu 

bài 161

2)$\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+282}+x}{x}} - \sqrt{x\sqrt{x^{2}+282}-x^{2}}=3$

           

Đặt $\sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2+282}+x}{x}}=a; \sqrt{x\sqrt{x^2+282}-x^2}=b$

Ta có: $a.b=\sqrt{(\sqrt{x^2+282}+x)(\sqrt{x^2+282}-x)}=\sqrt{x^2+282-x^2}=\sqrt{282}$

Từ đó ta có hệ: $\begin{cases} &  a-b=3 \\  &  ab=\sqrt{282} \end{cases}$

Rút $a=b+3$ rồi thế vào pt (2) 

Bài 144: $\sqrt[3]{x^{2}+4}=\sqrt{x-1}+2x-3$

ĐK: $x \geq 1$

$\iff (\sqrt{x-1}-1)+(2x-2-\sqrt[3]{x^2+4})=0$

$\iff \dfrac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+\dfrac{8x^3-25x^2-24x-12}{(2x-2)^2+(2x-2)\sqrt[3]{x^2+4}+\sqrt[3]{x^3+4}^2}=0$

$\iff (x-2)[\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1}+\dfrac{8x^2-9x+6}{(2x-2)^2+(2x-2)\sqrt[3]{x^2+4}+\sqrt[3]{x^3+4}^2}]=0$

$\iff x=2$ (Phần trong ngoặc luôn dương)

Bài 4: Giải phương trình: 

a) $\sqrt{8+x^{3}}+\sqrt{64-x^{3}}=x^{4}-8x^{2}+28$

ĐK: $-2 \leq x \leq 4$

$1.\sqrt{8+x^3}+1.\sqrt{64-x^3} \leq \sqrt{(1^2+1^2)(8+x^3+64-x^3)}=12$

Mặt khác: $x^2-8x+28 = (x-4)^2+12 \geq 12$

Dấu "=" xảy ra khi: $x=4$ và $8+x^3=64-x^3$ (vô nghiệm vì 2 điều này không xảy ra đồng thời)

Vậy pt vô nghiệm