$x=y$ ta có:

 

$\sqrt{(x+1)^{2}+21}=(x+1)^{2}+\sqrt{x}\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+21}-5=(x+1)^{2}-4+\sqrt{x}-1$

 

$\Leftrightarrow \frac{(x-1)(x+3)}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}=(x-1)(x+3)+\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}$

 

$\Leftrightarrow (x-1)\left [ \frac{x+3}{\sqrt{(x+1)^{2}+21}+5}-x-3-\frac{1}{\sqrt{x}+1} \right ]=0$

 

Do $x\geq 0$ nên ngoặc vuông hiển nhiên $<0$

 

$\Rightarrow x=y=1$

.............................

Đúng là phần trong ngoặc luôn nhỏ hơn 0 nếu bấm máy tính, nhưng nhìn vào dấu trừ ngổn ngang vậy làm sao ai biết được nó nhỏ hơn 0 nhỉ? Mình nên đưa nó về một biểu thức dễ nhìn hơn  

Bài 286: $x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}$ Nghiệm là $x=\sqrt{2}$

ĐK: $x^2 \geq 1$

Ta có:

$x(1+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}})=2\sqrt{2}$

$\rightarrow x >0$

$\iff x-\sqrt{2}+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}-\sqrt{2}=0$

$\iff \dfrac{x^2-2}{x+\sqrt{2}}-\dfrac{x^2-2}{(x+\sqrt{2(x^2-1)})\sqrt{x^2-1}}=0$

$\iff x^2-2=0$   v    $\dfrac{1}{x+\sqrt{2}}-\dfrac{1}{(x+\sqrt{2(x^2-1)})\sqrt{x^2-1}}=0$

(2) $\iff x+\sqrt{2}=x\sqrt{x^2-1}+(x^2-1)\sqrt{2}$

$\iff x(\sqrt{x^2-1}-1)+\sqrt{2}(x^2-2)=0$

$\iff \dfrac{x(x^2-2)}{x^2+2}+(x^2-2)\sqrt{2}=0$

$\iff (x^2-2)(\dfrac{x}{x^2+2}+\sqrt{2})=0$

$\iff x^2-2=0$

$\iff x=\sqrt{2}$ ($x >0$)

BÀI 241: $2\sqrt{3x+7}-5\sqrt[3]{x-6}=4$

ĐK: $x \geq \dfrac{-7}{3}$

Đặt $\sqrt{3x+7}=a; \sqrt[3]{x-6}=b$, thay vào ta có:

$\begin{cases} &  2a-5b=4 \\ &  4a^2-12b^3=100 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  2a=4+5b \\ &  (4+5b)^2-12b^3=100 \end{cases}$

đến đây giải PT (2) là ra 

Bài 219: $\begin{cases} & \sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}=\dfrac{7}{2+\sqrt{xy}} \\ & x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}= 7 \end{cases}$

ĐK: $xy >0$

$\begin{cases} &  \dfrac{x+y}{\sqrt{xy}}=\dfrac{7}{2+\sqrt{xy}} \\  &  (x+y)\sqrt{xy}=7 \end{cases}$

Đặt $x+y=a; \sqrt{xy}=b$

$\iff \begin{cases} &  \dfrac{a}{b}=\dfrac{7}{2+b} \\  &  ab=7 \end{cases}$

Dễ thấy $a \not =0 \iff a=\dfrac{7}{b}$, thế vào (1) ta có:

$\iff \dfrac{7}{b}=\dfrac{7b}{2+b}$

$\iff 7b^2-7b-14=0$

.........

Bài 208 (trích từ bạn minhminh98 ) , mình không nhớ ở topic này có chưa nhưng thấy khá khó :

 

 $\left\{\begin{matrix}x^2y+x^2+1=2x\sqrt{x^2y+2} & \\ y^3(x^6-1)+3y(x^2-2)+3y^2+4=0 & \end{matrix}\right.$

$PT(1) \iff (\sqrt{x^2y+2}-x+1)(\sqrt{x^2y+2}-x-1)=0$

$\iff x^2y=x^2-2x-1 \ (*)$   v    $x^2y=x^2+2x-1 \ (**)$

$PT(2) \iff x^6y^3-y^3+3x^2y-6y+3y^2+4=0$

$\iff x^6y^3+3x^2y=y^3-3y^2+6y-4$

$\iff (x^2y)^3+3x^2y=(y^3-3y^2+3y-1)+3(y-1)$

$\iff (x^2y)^3+3x^2y=(y-1)^3+3(y-1)$

Xét: $x^2y > y-1 \iff VT > VP$

Xét $x^2y < y-1 \iff VT<VP$

$\iff x^2y=y-1$

Với $x^2y=x^2-2x-1 \longrightarrow x^2-2x=y$,thay vào (*)

Ta có: $x^4-2x^3-x^2+2x+1=0$ (PT đối xứng bậc 4)

Với $x^2y=x^2+2x-1 \longrightarrow x^2+2x=y$, thay vào (**)

Ta có: $x^4+2x^3-x^2-2x+1=0$ (PT bậc 4 đối xứng)

Bài 358: $\left\{\begin{matrix} &(x+y)(x^{2}+12y^{2}+x(y+1)+3)=12y^{2}-2y+5 \\ &5x+5+2(y-2)\sqrt{x^{2}+3}=y^{3}-4y^{2}+5y+\sqrt[3]{x^{2}+2y^{2}-4y+7} \end{matrix}\right.$(Thi thử Vinastudy lần 1 2016)

PT(1) $\iff (x+y-1)(x^2+12y^2+xy+2x+5)=0$

$\iff x+y=1$    v     $(\dfrac{x^2}{2}+xy+12y^2)+(\dfrac{x^2}{2}+2x+5)=0$ (luôn dương)

Thay $x=1-y$ xuống pt(2) ta đc:

$5x+3-2(x+1)\sqrt{x^2+3}=-x^3-x^2+\sqrt[3]{3x^2+5}$

$\iff 5x+3+x^2(x+1)-2(x+1)\sqrt[3]{x^2+3}-\sqrt[3]{3x^2+5}=0$

$\iff (x+1-\sqrt[3]{3x^2+5})+(x-1)+(x+1)\sqrt{x^2+3}(\sqrt{x^2+3}-2)=0$

$\iff \dfrac{(x-1)(x^2+x+4)}{(x+1)^2+(x+1)\sqrt[3]{3x^2+5}+\sqrt[3]{3x^2+5}^2}+\dfrac{(x+1)^2(x-1)\sqrt{x^2+3}}{2+\sqrt{x^2+3}}+(x-1)=0$

$\iff (x-1)(\dfrac{(x^2+x+4)}{(x+1)^2+(x+1)\sqrt[3]{3x^2+5}+\sqrt[3]{3x^2+5}^2}+\dfrac{(x+1)^2\sqrt{x^2+3}}{2+\sqrt{x^2+3}}+1)=0$

$\iff x=1$ vì phần trong ngoặc luôn dương

Đến đây ta tìm đc $y$...

Bài 357: $\left\{\begin{matrix} &(x+2)(x-y^{2}+1)+\sqrt{(x+1)(y^{2}+1)}=2y^{2}+3 \\ &5y^{2}+22=3\sqrt{x^{2}+8y^{2}}+\dfrac{18}{x+\sqrt{x^{2}-1}} \end{matrix}\right.$(Thi thử Toanhoc247 2016)

Đk: $x \geq -1$

Xét (1) ta có:

Đặt $\sqrt{x+1}=a; \sqrt{y^2+1}=b$ 

$\iff (a^2+1)(a^2-b^2+1)+ab=2b^2+1$

$\iff (a-b)(a^3+a^2b+2a+3b)=0$

$\iff a=b$ (vì $a \geq 0; b>0 \rightarrow a^3+a^2b+2a+3b >0$)

$\rightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt{y^2+1}$

$\iff x=y^2$

Thay xuống PT(2) ta có: (ĐK: $x^2-1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1$)

$5x+22=3\sqrt{x^2+8x}+\dfrac{18}{x+\sqrt{x^2-1}}$

Xét 2TH:

Với $x=1$, là nghiệm pt.

Với $x >1$

Ta có: $(5x+4)-3\sqrt{x^2+8x}+\dfrac{18x+18\sqrt{x^2-1}-18}{x+\sqrt{x^2-1}}=0$

$\iff \dfrac{16(x-1)^2}{5x+4+3\sqrt{x^2+8x}}+\dfrac{18\sqrt{x-1}(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1})}{x+\sqrt{x^2-1}}=0$

Dễ thây $VT >0$ với mọi $x>1$

Vậy nghiệm hệ pt $x=1;y=1$

Bài 508: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}(y+1)^2+y\sqrt{y^2+1}=x+\frac{3}{2} \\ x+\sqrt{x^2-2x+5}=1+2\sqrt{2x-4y+2} \end{matrix}\right.$

ĐK: $x \geq 2y+1$

Từ $(1) \iff 2y^2+4y+2+2y\sqrt{y^2+1}=2x+3$

$\iff (\sqrt{y^2+1}+y)^2=2x-4y+2$

Dễ thấy $\sqrt{y^2+1} >|y| \geq  -y \rightarrow \sqrt{y^2+1}+y>0$

Thế vào (2) ta có: 

$\iff x-1+\sqrt{(x-1)^2+4}=2\sqrt{y^2+1}+2y$

$\iff (x-1)+\sqrt{(x-1)^2+4}=2y+\sqrt{4y^2+4}$

Xét hàm $f(t)=t+\sqrt{t^2+4}$ dễ thấy hàm đồng biến nên $\rightarrow x-1=2y$

Đến đây thế (2) $\iff x+\sqrt{x^2-2x+5}=5$

Đến đây ta chuyển vế và bình phương bình thường (có điều kiện $x \leq 5$)

 

Bài 425: $(\sqrt[3]{x-2}-1)(\sqrt{7-x}+1)\leq \sqrt{7-x}+x-5$

$PT \iff (\sqrt[3]{x-2}-1)(\sqrt{7-x}+1) \leq (\sqrt{7-x}-2)+x-3$

$\iff \dfrac{(x-3)(\sqrt{7-x}+1)}{\sqrt[3]{x-2}^2+\sqrt[3]{x-2}+1} \leq \dfrac{3-x}{\sqrt{7-x}+2}+x-3$

$\iff \dfrac{(x-3)(\sqrt{7-x}+1)}{\sqrt[3]{x-2}^2+\sqrt[3]{x-2}+1} \leq \dfrac{(x-3)(\sqrt{7-x}+1)}{\sqrt{7-x}+2}$

$\iff (x-3)(\sqrt[3]{x-2}^2+\sqrt[3]{x-2}-1-\sqrt{7-x}) \geq 0$ (*)

Ta xét pt sau: $\sqrt[3]{x-2}^2+\sqrt[3]{x-2}-1-\sqrt{7-x} = 0$

Đặt $\sqrt[3]{x-2}=a;\sqrt{7-x}=b$, do đó ta có hệ pt sau:

$\iff \left\{\begin{matrix} a^2+a-1-b=0 \\ a^3+b^2=5 \end{matrix}\right.$

$\iff \left\{\begin{matrix} b=a^2+a-1 \\ a^3+(a^2+a-1)^2=5 \end{matrix}\right.$

$\rightarrow (a^2+2a-4)(a^2+a+1)=0$

$\iff a=-1+\sqrt{5}$          v           $a=-1-\sqrt{5}$

$\rightarrow x=-14-8\sqrt{5}$         v         $x=-14+8\sqrt{5}$

Vậy biểu thức vế trái pt (*) có 3 nghiệm: $x_1=3; \ x_2=-14-8\sqrt{5}; \ x_3=-14+8\sqrt{5}$

Đến đây ta lập bảng xét dấu để tìm nghiệm bpt (*) 

Bài 374: $3(x^{3}-2x-1)\leq \sqrt{3x+2}-\dfrac{5x+4}{\sqrt{5x+5}+1}$

ĐK: $\dfrac{-2}{3} \leq x$

$\iff 3(x+1)(x^2-x-1) \leq \sqrt{3x+2}-\dfrac{(5x+5)-1}{\sqrt{5x+5}+1}$

$\iff 3(x+1)(x^2-x-1) \leq \sqrt{3x+2}-\sqrt{5x+5}+1$

$\iff 3(x+1)(x^2-x-1)+(x+1-\sqrt{3x+2})+(\sqrt{5x+5}-x-2) \leq 0$

$\iff 3(x+1)(x^2-x-1)+\dfrac{x^2-x-1}{x+1+\sqrt{3x+2}}-\dfrac{x^2-x-1}{\sqrt{5x+5}+x+2} \leq 0$

$\iff (x^2-x-1)(3x+3+\dfrac{1}{x+1+\sqrt{3x+2}}-\dfrac{1}{\sqrt{5x+5}+x+2}) \leq 0$

$\iff x^2-x-1 \leq 0$ ( vì phần trong ngoặc có $\dfrac{1}{x+1+\sqrt{3x+2}}>\dfrac{1}{\sqrt{5x+5}+x+2}$ và $x >-1$)

Bài 383: $\left\{\begin{matrix} &3\sqrt{2y-1}+y\sqrt{1-4x}=4(x+1) \\ &(\sqrt{x+1}+1)(y^{2}-2)=(y+1)(x-1) \end{matrix}\right.$

ĐK: $y \geq \dfrac{1}{2} , -1 \leq x \leq \dfrac{1}{4}$

$(2) \iff (\sqrt{x+1}+1)(y^2-2)-(y^2-2)(y+1)=(y+1)(x-1)-(y^2-2)(y+1)$

$\iff (y^2-2).\dfrac{x-y^2+1}{\sqrt{x+1}+y}=(y+1)(x-y^2+1)$

$\iff (x-y^2+1)[\dfrac{y^2-2}{\sqrt{x+1}+y}-y-1]=0$

Xét phần trong ngoặc

$\iff y^2-2=(y+1)(\sqrt{x+1}+y)$

$\iff -2=y\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}+y$

Vô nghiệm với mọi $y>0$

Vậy $x=y^2-1$, thế lên (1)...

Bài 200: $\begin{cases} &  x+y+\sqrt{2y-1}+\sqrt{x-y}=5 \\  &  y^2+2=xy+y \end{cases}$

$\begin{cases} &  x+y+\sqrt{2y-1}+\sqrt{x-y}=5 \\ &  y^2+2=xy+y \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (x-y)+(2y-1)+\sqrt{x-y}+\sqrt{2y-1}=4 \\ &  2xy+2y-2y^2-4=0 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (x-y)+(2y-1)+\sqrt{x-y}+\sqrt{2y-1}=4 \\ &  (2xy-2y^2-x+y)+(x-y)+(2y-1)=3 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (x-y)+(2y-1)+\sqrt{x-y}+\sqrt{2y-1}=4 \\ &  (2y-1)(x-y)+(x-y)+(2y-1)=3 \end{cases}$

Đặt $\sqrt{x-y}=a; \sqrt{2y-1}=b$, thay vào ta có hệ:

$\iff \begin{cases} &  a^2+b^2+a+b=4 \\ &  a^2b^2+a^2+b^2=3 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} &  (a+b)^2+(a+b)-2ab=4 \\ &  a^2b^2+(a+b)^2-2ab=3 \end{cases}$

Tới đây ta được hệ đối xứng: Đặt $a+b=S, ab=P$, thay vào ta có:

$\iff \begin{cases} &  S^2+S-2P=4  \\ &  P^2+S^2-2P=3 \ (1) \end{cases}$

$\iff S-P^2=1$

$\iff S=P^2+1$

Đến đây thế vào (1) để tìm được $P$....

Bài 202: Giải PT: $4x^3-4x-x\sqrt{1-x^2}+1=0$

Bài 203: Hệ: $\begin{cases} &  x+y+\sqrt{2y-1}+\sqrt{x-y}=5 \\  &  y^3+2=xy+y \end{cases}$

Bài 204: PT: $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{(2x-3x^2)^2}{9}+\sqrt{2-3x}-\dfrac{109}{81}=0$

Bài 76: Giải hệ phương trình:

b, $\left\{\begin{matrix} &x^{3}-y^{3}+3y^{2}+32x=9x^{2}+8y+36 \\ &4\sqrt{x+2}+\sqrt{16-3y}=x^{2}+8 \end{matrix}\right.$

(1) $\iff (x-y-2)(x^2-7x+xy+y^2-5y+18)=0$

$\iff y=x-2$  v  $x^2-7x+xy+y^2-5y+18=0 \ (*)$

Dễ dàng cm (*) vô nghiệm vì $\Delta_x=-3(y-1)^2-20 < 0$

Với $y=x-2$ thay vào (2) ta có: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8$ (ĐK: $-2 \leq x \leq \dfrac{22}{3}$)

$\iff 3x^2+24-12\sqrt{x+2}-3\sqrt{22-3x}=0$

$\iff 3(x^2-x-2)+(4x+16-12\sqrt{x+2})+(-x+14-3\sqrt{22-3x})=0$

$\iff (x^2-x-2)(3+\dfrac{16}{4x+16+12\sqrt{x+2}}+\dfrac{1}{-x+14+3\sqrt{22-3x}})=0$

$\iff x=2$  v  $x=-1$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

$\iff y=0$  v  $y=-3$

Bài 81 : $\begin{cases} & 1+x^3y^3-19x^3=0 \\ & y+xy^2+6x^2=0 \end{cases}$ 

$\begin{cases} &  1+x^3y^3=19x^3 \\  &  y+xy^2=-6x^2 \end{cases}$

Dễ thấy $x=0$ không phải là nghiệm.

$\iff \begin{cases} &  1+x^3y^3=19x^3 \\  &  xy+x^2y^2=-6x^3 \end{cases}$

$6PT(1)+19PT(2) \iff 6x^3y^3+19x^2y^2+19xy+6=0$

Đến đây giải pt bậc 3 ẩn $xy$, rồi thế vào 1 trong 2 pt để tìm nghiệm.

góp thêm vài bài :

$58)(x^2-6x+11)\sqrt{x^2-x+1}=2(x^2-4x+7)\sqrt{x-2}$

ĐK: $x \geq 2$

Ta có: $\iff (x^2-x+1-5x+10)\sqrt{x^2-x+1}=2(x^2-x+1-3x+6)\sqrt{x-2}$

$\iff (x^2-x+1)\sqrt{x^2-x+1}-5(x-2)\sqrt{x^2-x+1}=2(x^2-x+1)\sqrt{x-2}-6(x-2)\sqrt{x-2}$

Đặt $\sqrt{x^2-x+1}=a; \sqrt{x-2}=b$, thay vào ta có:

$\iff a^3-5b^2a-2a^2b+6b^3=0$

$\iff (a+2b)(a-3b)(a-b)=0$

$\iff a=3b$  v   $a=b$

Đến đây, bình phương mỗi vế ta sẽ tìm đc nghiệm.

góp thêm vài bài :

$56)\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

ĐK: $5x^2+14x+9 \geq 0$; $x^2-x-20 \geq 0$; $x \geq -1$

$\sqrt{5x^2+14x+9}=\sqrt{x^2-x-20}+5\sqrt{x+1}$

$\iff 5x^2+14x+9=x^2-x-20+25x+25+10\sqrt{(x+1)(x-5)(x+4)}$

$\iff 4x^2-10x+4=10\sqrt{(x+4)(x^2-4x+5)}$

$\iff 4(x^2-4x+5)+6(x+4)=10\sqrt{(x+4)(x^2-4x+5)}$

$\iff (2\sqrt{x^2-4x+5}-3\sqrt{x+4})(\sqrt{x^2-4x+5}-\sqrt{x+4})=0$

Đến đây, bình phương sẽ tìm ra nghiệm

Bài 47: $\sqrt{\dfrac{1-x}{x}}=\dfrac{2x+x^{2}}{1+x^{2}}$

ĐK: $0< x \leq 1$

Ta có: $\iff \sqrt{\dfrac{1}{x}-1}=\dfrac{\dfrac{2}{x}+1}{\dfrac{1}{x^2}+1}$

Đặt $\dfrac{1}{x}=a (a \geq 1)$

$\iff \sqrt{a-1}=\dfrac{2a+1}{a^2+1}$

$\iff (a^2+1)\sqrt{a-1}=2a+1$

$\iff (a^2+1)(\sqrt{a-1}-1)+a^2-2a=0$

$\iff \dfrac{(a^2+1)(a-2)}{\sqrt{a-1}+1}+a(a-2)=0$

$\iff (a-2)(\dfrac{a^2+1}{\sqrt{a-1}+1}+a)=0$

$\iff a=2$ ( vì phần trong ngoặc dương)

$\iff \dfrac{1}{x}=2$

$\iff x=\dfrac{1}{2}$

Bài 90: $x^{2}-3x+1=\frac{-\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

$\iff 3x^2-9x+3+\sqrt{3x^4+3x^2+3}=0$

$\iff 3(x-1)^2+(\sqrt{3x^4+3x^2+3}-3x)=0$

$\iff 3(x-1)^2+\dfrac{3x^4-6x^2+3}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}=0$

$\iff 3(x-1)^2+\dfrac{3(x-1)^2(x+1)^2}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}=0$

$\iff 3(x-1)^2[1+\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{3x^4+3x^2+3}+3x}]=0$

$\iff x=1$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

..

Bài 44: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+y^{2}=(x-y)(xy-1) \\ &x^{3}-x^{2}+y+1=xy(x-y-1) \end{matrix}\right.$

$2PT(2)-PT(1) \iff (x-1)[y^2-(x+3)y+x^2-x-2]=0$

$\iff x=1$   v   $y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0$

Với $x=1$ thay vào thì vô nghiệm.

Với $y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \ (3)$ ta kết hợp với (1) ta đc hệ mới: 

$\iff \begin{cases} &  y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \\  &  x^3+y^2-x^2y+x+xy^2-y=0 \end{cases}$

Ta có: $2PT(2)-PT(1) \iff (2x+1)[y^2-(x-1)y+x^2-x+2]=0$

TH1: $x=\dfrac{-1}{2} \iff y=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{4}$  v   $y=\dfrac{5-3\sqrt{5}}{4}$

TH2: Kết hợp với (3) ta có hệ: 

$\iff \begin{cases} &  y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \\  &  y^2-(x-1)y+x^2-x+2=0 \end{cases}$

Trừ cho nhau ta có: $y=-1 \iff x^2+2=0$ (vô nghiệm)

...

 

Trích bài đăng của bạn tanh chưa ai trả lời:

 

Bài 166: $\sqrt[3]{2x-1} = x\sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{2x+1}$

 

$\iff \sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1}=x\sqrt[3]{16}$

$\iff 2x-1+2x+1+3\sqrt[3]{4x^2-1}(\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1})=16x^3$

$\iff 4x+3\sqrt[3]{4x^2-1}.x.2\sqrt[3]{2}-16x^3=0$

$\iff 2x(2-8x^2)-6x\sqrt[3]{2-8x^2}=0$

$\iff 2x\sqrt[3]{2-8x^2}(\sqrt[3]{2-8x^2}^2-3)=0$

Đến đây ta sẽ tìm được nghiệm

Bài 148: $\begin{cases} & x^{3}+y^{3}+3(y-1)(x-y)=2 \\ & \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}= \dfrac{(x-y)^{2}}{8} \end{cases}$

ĐK: $x \geq -1; y \geq -1$

$PT(1) \iff (x+y-2)(x^2+xy-2x+y^2-y+1)=0$

$\iff (x+y-2)[(x-1)^2+y(x-1)+y^2]=0$

$\iff x=2-y$

Xong thế xuống pt dưới...

2 bài có thể chuyển về hệ hoán vị vòng quanh tương đối hay

129.$x^3-\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}}=6$

 

$\begin{cases}  & \sqrt[3]{x+6}=a \\  &  \sqrt[3]{\sqrt[3]{x+6}+6}=b \\  &  x^3-b=6  \\ \end{cases}$

$\iff \begin{cases}  & a^3=x+6 \ (1) \\  &  b^3=a+6 \ (2) \\  &  x^3=b+6  \ (3) \\ \end{cases}$

Không mất tính tổng quát GS: $a \geq b$, Từ (1); (2) $\longrightarrow x \geq a$. TT từ (1) và (3) $\longrightarrow b \geq x$.

$\longrightarrow a \geq b \geq x  \geq a \iff x=a=b$

Khi đó: $x^3=x+6 \iff x=2$

làm sao để có ý tưởng nhân pt nào cho mấy vậy ??? hay chỉ phân tích đơn thuần 

đây là một dạng của UCT,với $x,y$ không đông bậc và bậc $x$ cao hơn bậc của $y$.

Thông thường bạn viết mỗi pt của hệ theo $y$ rồi tìm $x$ sao cho 2 pt của hệ này tương đương. Trong bài trên ta đã may mắn tìm đc $x=1$

Bài 19: $\left\{\begin{matrix}x^{2}\sqrt{2(x-3)}+(x+1)(y-1)=\sqrt[3]{3x-\dfrac{1}{2}} &  & \\ \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{y^2-y+1}=\sqrt{x^2-xy+y^2} &  & \end{matrix}\right.$ ( trích từ bài viết của bạn ineX )

ĐK: $x \geq 3$

$(2) => x^2+x+1+y^2-y+1+2\sqrt{(x^2+x+1)(y^2-y+1)}=x^2-xy+y^2$

$\iff x+xy+2-y=2\sqrt{(x^2+x+1)(y^2-y+1)}$

$\iff (x+xy+2-y)^2=4(x^2+x+1)(y^2-y+1)$

$\iff 3x^2y^2-6x^2y+6xy^2+3x^2+3y^2-6xy=0$

$\iff 3(xy-x-y)^2=0$

$\iff xy=x+y$

$\iff y=\dfrac{x}{x+1}$

Thế (1):

$\iff x^2\sqrt{2(x-3)}-1-\sqrt[3]{3x-\dfrac{1}{2}}=0$

$\iff [x^2\sqrt{2(x-3)}-x] +(x-1-\sqrt[3]{3x-\dfrac{1}{2}})=0$

$\iff x\dfrac{2x^3-6x^2-1}{x\sqrt{2(x-3)}-1}+\dfrac{2x^3-6x^2-1}{2(x-1)+2\sqrt[3]{3x-\dfrac{1}{2}}}=0$

$\iff (2x^3-6x^2-1)[x\dfrac{1}{x\sqrt{2(x-3)}-1}+\dfrac{1}{2(x-1)+2\sqrt[3]{3x-\dfrac{1}{2}}}]=0$

$\iff 2x^3-6x^2-1=0$

....