Tìm số thứ 7 dãy sau: $2,3,5,7,11,...$

47/ cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện: $\frac{a^{2}}{a^{2}+1}=b;\frac{8b^{2}}{4b^{2}+1}=c;\frac{2c^{2}}{c^{2}+1}=a$

tính giá trị của biểu thức $P=a+b+c$

TH1: Ta có: $b=\frac{a^2}{a^2+1}\Rightarrow \frac{1}{b}=\frac{a^2+1}{a^2}=1+\frac{1}{a^2}$

$c=\frac{8b^2}{4b^2+1}\Rightarrow \frac{1}{c}=\frac{4b^2+1}{8b^2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8b^2}\Leftrightarrow \frac{8}{c}=4+\frac{1}{b^2}$

$a=\frac{2c^2}{c^2+1}\Rightarrow \frac{1}{a}=\frac{c^2+1}{2c^2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2c^2}\Leftrightarrow \frac{2}{a}=1+\frac{1}{c^2}$

Ta có HPT:$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b}=1+\frac{1}{a^2} & & \\\frac{8}{c}=4+\frac{1}{b^2} & & \\ \frac{2}{a}=1+\frac{1}{c^2} & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{4}{b}=4+\frac{4}{a^2}(1) & & \\ \frac{8}{c}=4+\frac{1}{b^2}(2) & & \\ \frac{8}{a}=4+\frac{4}{c^2}(3) & & \end{matrix}\right.$

$(1)+(2)+(3)$ $\Rightarrow \frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{c^2}+12=\frac{4}{b}+\frac{8}{a}+\frac{8}{c}\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{a}-2 \right )^2+\left ( \frac{1}{b}-2 \right )^2+\left ( \frac{2}{c}-2 \right )^2=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1 & \\b=\frac{1}{2} & \\c=1 & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow P=\frac{5}{2}$

TH2: $a=b=c=0(tm)\Rightarrow P=0$

44)Cho $a;b>0;c \neq 0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$.Chứng minh rằng $\sqrt{a+b}=\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}$

ĐK: $b+c\geq 0;c+a\geq 0$

Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{c}=-\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )< 0\Leftrightarrow c<0 & \\ ab+bc+ca=0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow c^2=c^2+ab+bc+ca=(b+c)(c+a)\Rightarrow c=-\sqrt{(b+c)(c+a)}$

Mà: $a+b=a+c-2c+b+c=b+c+c+a+2\sqrt{(b+c)(c+a)}=\left ( \sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \right )^2\Rightarrow \sqrt{a+b}=\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

34.5)$\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ac}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(a+c)(b+c)}+\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}=\frac{b^2(a+c)+b(a^2+c^2+2ac)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(a+c)}=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}=1$

34.4)Xét hiệu $(ax^2+by^2+cz^2)(a+b+c)-[bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2]$$=a^2x^2+abx^2+aby^2+acx^2+acz^2+b^2y^2+bcy^2+bcz^2+c^2z^2-(abx^2-2abxy+aby^2+caz^2-2caxz+cax^2+bcy^2-2bcyz+bcz^2)$$=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2(abxy+acxz+bcyz)$$=(ax+by+cz)^2=0$

$\Rightarrow (ax^2+by^2+cz^2)(a+b+c)=bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2\Rightarrow \frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{\frac{1}{2024}}=2024(dpcm)$

34.1)Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ac=0$

Xét tổng $(a+b)(b+c)(a+c)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ac)=0$$\Rightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=-abc\Rightarrow A=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=-1$

Vậy $A=-1$

35)a)Ta có $x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên $A$ luôn xác định 

cách thứ nhất:phương pháp miền giá trị

Với một giá trị của $x$ tương ứng ta tính được một giá trị của $A$ sao cho $A=\frac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2}\Leftrightarrow (A-1)x^2-2(A+1)x+2(A-1)=0(*)$

Xét $A=1\Rightarrow x=0$,Vậy $A=1$ là một giá trị 

Xét $A \neq 1$,để (*) có nghiệm thì $\Delta'=A^2+2A+1-2(A^2-2A+1)=-A^2+6A-1 \geq 0\Leftrightarrow 3-2\sqrt{2} \leq A \leq 3+2\sqrt{2}$.

Vậy $Min A=3-2\sqrt{2}$ khi $x=-\sqrt{2}$,$MaxA=3+2\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$

Cách thứ hai:dùng đạo hàm 

$A'=\bigg(\frac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2}\bigg)'=\frac{(x^2+2x+2)'(x^2-2x+2)-(x^2-2x+2)'(x^2+2x+2)}{(x^2-2x+2)^2}=\frac{(2x+2)(x^2-2x+2)-(2x-2)(x^2+2x+2)}{(x^2-2x+2)^2}=\frac{-4x^2+8}{(x^2-2x+2)^2}$

Do đó $A'=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$

Vẽ bảng biến thiên (em chưa biết vẽ trên Latex)

Theo bảng biến thiên $Min A=3-2\sqrt{2}$ khi $x=-\sqrt{2}$,$MaxA=3+2\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$

Các câu còn lại tương tự 

Bài tập tương tự:

36)Cho $\left\{\begin{matrix} & x;y;z \neq 0\\ & x\bigg(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\bigg)+y\bigg(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\bigg)+z\bigg(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\bigg)=2\\ & x^3+y^3+z^3=1 \end{matrix}\right.$.Tính $A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

37)Cho $a;b;c \neq 0$ thỏa $abc=1$ và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh rằng $(a-1)(b-1)(c-1)=0$ 

37) $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ca}{abc}$

Mà: $abc=1$$\Rightarrow a+b+c=ab+bc+ca$ $\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)=(ab-a-b+1)(c-1)=abc-ac-bc+c-ab+a+b-1=0$

36) $x\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )+y\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z} \right )+z\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )=-2\Leftrightarrow \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}=-2\Leftrightarrow x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+2xyz=0$

$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=0$

Xét $x=-y$$\Rightarrow z^3=1\Leftrightarrow z=1\Rightarrow A=1$

TT với các TH còn lại.

Bài này nếu bằng -2 thì có lẽ đề đúng hơn

49) Cho $a,b,c,x,y,z$ thỏa mãn: $\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$

Tính giá trị của : $A=x^{2024}+y^{2024}+z^{2024}$

50) Chứng minh rằng giá trị của $B=\sqrt{x^2+\sqrt{4x^2+\sqrt{36x^2+10x+3}}}$ với $(x\in \mathbb{N})$ không phải là số nguyên.

43)Chứng minh rằng $\sqrt{(ab-cd)(bc-ad)(ac-bd)}$ là số hữu tỉ trong đó $a;b;c;d$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $a+b+c+d=0$

Ta có: $a+b+c+d=0\Leftrightarrow a+b+c=-d\Rightarrow bc-ad=bc+a(a+b+c)=bc+a^2+ab+ac=c(a+b)+a(a+b)=(c+a)(a+b)$

TT: $ab-cd=(b+c)(c+a)$;  $ca-bd=(a+b)(b+c)$

$\Rightarrow VT=\sqrt{\left [ (a+b)(b+c)(c+a) \right ]^2}$

Mà: $a,b,c\in \mathbb{Q}\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\in \mathbb{Q}$$\Rightarrow VT=\left | (a+b)(b+c)(c+a) \right |$

$\Rightarrow \sqrt{(ab-cd)(bc-ad)(ac-bd)} \in \mathbb{Q}$

Bài 52: Cho $x,y,z \neq 0$ thỏa mãn $\frac{x^2+y}{y^2}=\frac{y^2+z}{z^2}=\frac{z^2+x}{x^2}=2$.

 Chứng minh $\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}$ là một số nguyên

Từ giả thiết ta có: $x^2=y(2y-1)$$(1)$

$y^2=z(2z-1)$$(2)$

$z^2=x(2x-1)$$(3)$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:$\frac{x^2+y}{y^2}=\frac{y^2+z}{z^2}=\frac{z^2+x}{x^2}=\frac{x^2+y^2+z^2+x+y+z}{x^2+y^2+z^2}=2\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+x+y+z\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=x+y+z$$(4)$

Đặt $A=\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}$

TH1: $3$ số $x;y;z$ có ít nhất một số bằng $1$.

Giả sử $x=1.$Từ $(3)$$\Rightarrow z^2=1$ $\Rightarrow z=\pm 1$

Với $z=1$$\Rightarrow y^2=1$(Từ (2))$\Rightarrow y=1$(Từ (1))$\Rightarrow x=y=z=1\Rightarrow A=3\in \mathbb{Z}$

Với $z=-1$$\Rightarrow y^2=3$(Từ (2)) mà từ (1) có $y=5$$\Rightarrow$ Loại.

TH2: $x;y;z\neq 1$

Ta có: $A=\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}= \frac{x^2}{xy^2}+\frac{y^2}{yz^2}+\frac{z^2}{zx^2}$

$=\frac{y(2y-1)}{xy^2}+\frac{z(2z-1)}{yz^2}+\frac{x(2x-1)}{zx^2}=\frac{2y-1}{xy}+\frac{2z-1}{yz}+\frac{2x-1}{zx}=\frac{2(xy+yz+zx)-(x+y+z)}{xyz}$$(5)$

Lấy $(1).(2).(3)$ được $x^2y^2z^2=xyz(2x-1)(2y-1)(2z-1)\Leftrightarrow xyz=(2x-1)(2y-1)(2z-1)$

$\Leftrightarrow xyz=(4xy-2x-2y+1)(2z-1)=8xyz-4zx-4yz-4xy+2x+2y+2z-1\Leftrightarrow 7xyz=4(xy+yz+zx)-2(x+y+z)+1$$(6)$

Từ $(1)$$\Leftrightarrow x^2-1=y(2y-1)-1\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=2y^2-y-1=(2y+1)(y-1)$

TT:$(y+1)(y-1)=(z-1)(2z+1);(z+1)(z-1)=(2x+1)(x-1)$

$\Rightarrow (x+1)(y+1)(z+1)=(2x+1)(2y+1)(2z+1)\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1=8xyz+4xy+4yz+4zx+2x+2y+2z+1$

$\Leftrightarrow 7xyz=-3(xy+yz+zx)-(x+y+z)$

$\Rightarrow -3(xy+yz+zx)-(x+y+z)=4(xy+yz+zx)-2(x+y+z)+1\Leftrightarrow 7(xy+yz+zx)+1=x+y+z$$(7)$

$\Rightarrow (x+y+z)^2=\left [ 7(xy+yz+zx)+1 \right ]^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=49(xy+yz+zx)^2+12(xy+yz+zx)+1$$(8)$

Từ $(4);(7);(8)$ ta được: $49(xy+yz+zx)^2+12(xy+yz+zx)+1=7(xy+yz+zx)+1$

$\Leftrightarrow 49(xy+yz+zx)^2+5(xy+yz+zx)=0\Leftrightarrow (xy+yz+zx)\left [ 49(xy+yz+zx)+5 \right ]=0\Rightarrow \left[ \begin{matrix} xy+yz+zx=0\\ 49(xy+yz+zx)+5=0\\ \end{matrix} \right.$

Với $xy+yz+zx=0$$\Rightarrow x+y+z=1$(Từ (7))

Từ $7xyz=-3(xy+yz+zx)-(x+y+z)$$\Rightarrow xyz=\frac{-1}{7}\Rightarrow A=7\in \mathbb{Z}$(Từ (5))

Với $49(xy+yz+zx)+5=0$$\Leftrightarrow xy+yz+zx=\frac{-5}{49}$$\Rightarrow x+y+z=\frac{2}{7}$(Từ (7))

Từ $7xyz=-3(xy+yz+zx)-(x+y+z)$$\Rightarrow xyz=\frac{1}{343}$$\Rightarrow A=-168\in \mathbb{Z}$(Từ (5))

Vậy$A\in \mathbb{Z}$

57)Cho các số thực $a;b;c$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ac=1$.Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}-\frac{2}{a+b+c-abc}$

Ta có:$\frac{a}{a^2+1}=\frac{a}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a}{(a+b)(a+c)}=\frac{a(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{ab+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$\Rightarrow \frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}=\frac{2(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Ta có:$(a+b)(b+c)(c+a)=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc=2abc+c(ca+bc)+b(bc+ab)+a(ca+ab)$

$=2abc+c(1-ab)+b(1-ca)+a(1-bc)=a+b+c-abc$

$\Rightarrow A=\frac{2}{a+b+c-abc}-\frac{2}{a+b+c-abc}=0$

60)Giải phương trình: $$\sqrt{2x+1}+\sqrt{1-2x}=(3x+1)\sqrt{1-3x}+(1-3x)\sqrt{3x+1}$$

58)Cho các số thực $x;y$ thỏa mãn: $$(\sqrt{y^2+x}+x)(\sqrt{x^2+y}-y)=y$$Chứng minh rằng: $x=y$

${\color{Blue} \boxed{\text{55}}}$Với $a+b+c \neq 0$ và $(a+b)(b+c)(a+c)=1$.Chứng minh rằng $\frac{a}{a^2(a+b+c)+1+abc}+\frac{b}{b^2(a+b+c)+1+abc}=\frac{ab(a+b+c)+abc+1}{(a+b+c)^2}$

$VT=\frac{a}{a^3+a^2b+a^2c+abc+(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{b}{ab^2+b^3+b^2c+abc+(a+b)(b+c)(b+c)}$

$=\frac{a}{a^2(a+b)+ac(a+b)+(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{b}{b^2(b+c)+ab(b+c)+(a+b)(b+c)(c+a)}$

$= \frac{a}{a(c+a)(a+b)+(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{b}{b(a+b)(b+c)+(a+b)(b+c)(c+a)}$

$= \frac{a}{(c+a)(a+b)(a+b+c)}+\frac{b}{(a+b)(b+c)(a+b+c)}=\frac{a(b+c)+b(c+a)}{a+b+c}$

$=\frac{(a+b+c)(2ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}=\frac{ab(a+b+c)+abc+1}{(a+b+c)^2}$

Bài 54) Cho các số thực $a;b;c$ phân biệt thỏa mãn $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{23}{20}.$
Tính $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}.$

34.1) Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\Leftrightarrow c(a+b)=-ab\Leftrightarrow a+b=\frac{-ab}{c}$

$ TT:b+c=\frac{-bc}{a}; c+a=\frac{-ca}{b}$

$ \Rightarrow A=\frac{\frac{(-ab)(-bc)(-ca)}{abc}}{abc}=-1$

34.2)Cho $a;b;c$ là các số thực khác không,đôi một phân biệt thỏa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{abc}$

Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{[a^2+2(bc-1)][b^2+2(ac-1)][c^2+2(ab-1)]}{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}$

Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{abc}$$\Leftrightarrow ab+bc+ca=2$

$a^2+2(bc-1)=a^2+2bc-2=a^2+2bc-ab-bc-ca=a^2+bc-ab-ca=a(a-b)-c(a-b)=(a-c)(a-b)$

$b^2+2(ca-1)=b^2+2ca-2=b^2+2ca-ab-bc-ca=b^2+ca-ab-bc=b(b-c)-a(b-c)=(b-a)(b-c)$

$c^2+2(ab-1)=c^2+2ab-1=c^2+2ab-ab-bc-ca=c^2+ab-bc-ca=c(c-a)-b(c-a)=(c-b)(c-a)$

$\Rightarrow P=-1$

12) So sánh hai số $M=\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}$ và $N=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$

$M=\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}=\sqrt{\left ( \sqrt{2}-1 \right )^{2}}+\sqrt[3]{\left ( \sqrt{3}+1 \right )^{3}}$

$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}+1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

$N=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\Leftrightarrow N^{3}=9+\sqrt{80}+9-\sqrt{80}+3N\sqrt[3]{\left ( 9+\sqrt{80} \right )\left ( 9-\sqrt{80} \right )}$

$=18+3N\sqrt[3]{81-80}=18+3N\Leftrightarrow N^{3}-3N-18=0\Leftrightarrow N=3$

$\Rightarrow M>N$

8) $D=\sqrt{4-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}-\sqrt{4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}+\sqrt{2}(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{14-5\sqrt{3}})$

Đặt $A=$$\sqrt{4-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}-\sqrt{4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$

     $ B=$$\sqrt{2}(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{14-5\sqrt{3}})$

$A^{2}=\left ( \sqrt{4-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}-\sqrt{4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \right )^{2}$

$=4-\sqrt{10-2\sqrt{5}}+4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}-2\sqrt{(4-\sqrt{10-2\sqrt{5}})(4+\sqrt{10-2\sqrt{5}})}$

$=8-2\sqrt{6+2\sqrt{5}}=8-2(\sqrt{5}+1)=6-2\sqrt{5}\Rightarrow A=\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1$

$B=\sqrt{2}(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{14-5\sqrt{3}})=\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{28-10\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1+5-\sqrt{3}=6$

$\Rightarrow D=\sqrt{5}-1+6=\sqrt{5}+5$

7) $x=$$\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}}=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+4-\sqrt{2}}}}$

$=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{4+2\sqrt{3}}}}=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{3}-1}}$

$=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\sqrt{6+2\sqrt{4-2\sqrt{3}}}=\sqrt{6+2(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

$=\sqrt{3}+1$

$\Leftrightarrow x-1=\sqrt{3}\Leftrightarrow (x-1)^{2}=3\Leftrightarrow x^{2}-2x-2=0$

3)Rút gọn biểu thức C=$\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{(1+2\sqrt{3})^{2}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

$=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}= \frac{2\sqrt{3+\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

$=\frac{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}$

$=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}=1$

19) a; $P=\frac{x}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{z})}+\frac{y}{(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{y}-\sqrt{x})}+\frac{z}{(\sqrt{z}-\sqrt{x})(\sqrt{z}-\sqrt{y})}$

$=\frac{-x(\sqrt{y}-\sqrt{z})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}-\frac{y(\sqrt{z}-\sqrt{x})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}-\frac{z(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}$

$=\frac{-x\sqrt{y}+x\sqrt{z}-y\sqrt{z}+y\sqrt{x}-z\sqrt{x}+z\sqrt{y}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}$

$=\frac{-x(\sqrt{y}-\sqrt{z})-\sqrt{yz}(\sqrt{y}-\sqrt{z})+\sqrt{x}(y-z)}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}$

$=\frac{(\sqrt{y}-\sqrt{z})(-x-\sqrt{yz}+\sqrt{xy}+\sqrt{zx})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}$

$=\frac{(\sqrt{y}-\sqrt{z})\left [ -\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})+\sqrt{z}(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \right ]}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}$ 

$=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}=1$

19) b; $P=\bigg(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}\bigg).\frac{\sqrt{x^3y}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}=\left [ \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}}{\sqrt{xy}(x-y)}+\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}}{\sqrt{xy}(x-y)} \right ].\frac{x\sqrt{xy}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}$

$=\frac{2x\sqrt{xy}(x+y)}{\sqrt{xy}(x-y)(x+y)}-\frac{2y}{x-y}=\frac{2(x-y)}{x-y}=2$

28/ tìm $x$ biết $x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}$  (trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa $5$ và $13$ một cách vô hạn lần

$x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}\Leftrightarrow x^2=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}\Leftrightarrow x^2-5=\sqrt{13+x}$

$\Leftrightarrow \left ( x^2-5 \right )^2=13+x\Leftrightarrow x^4-10x^2+25=13+x\Leftrightarrow x^4-10x^2-x+12=0\Leftrightarrow x=3$

26;b) $\sqrt{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}}=\sqrt{\left ( 1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right )^2}=1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}(x>0)$

$\Rightarrow B=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+1+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}=2008+\frac{1}{2}-\frac{1}{2010}=2008\tfrac{502}{1005}$

22)Cho hai số thực $x;y$ thỏa mãn $(x+\sqrt{x^2+a})(y+\sqrt{y^2+a})=a$.Tính giá trị của $A=x+y$

22) Ta có: $\left ( x+\sqrt{x^2+a} \right )\left ( y+\sqrt{y^2+a} \right )=a\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^2+a}-x \right )\left ( x+\sqrt{x^2+a} \right )\left ( y+\sqrt{y^2+a} \right )=a\left ( \sqrt{x^2+a}-x \right )$

$\Leftrightarrow a\left ( y+\sqrt{y^2+a} \right )=a\left ( \sqrt{x^2+a}-x \right )\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+a}=\sqrt{x^2+a}-x$

TT:$\sqrt{y^2+a}-y=\sqrt{x^2+a}+x$

Trừ 2 PT $\Rightarrow A=x+y=0$

21) Ta có: $x^2+a=x^2+xy+yz+zx=x(x+y)+z(x+y)=(z+x)(x+y)$

Tương tự: $y^2+a=y^2+xy+yz+zx=y(x+y)+z(x+y)=(x+y)(y+z)$
$z^2+a=z^2+xy+yz+zx=z(y+z)+x(y+z)=(y+z)(z+x)$
$\Rightarrow$ $x\sqrt{\frac{(y^2+a)(z^2+a)}{x^2+a}}+y\sqrt{\frac{(x^2+a)(z^2+a)}{y^2+a}}+z\sqrt{\frac{(x^2+a)(y^2+a)}{z^2+a}}=x\sqrt{(y+z)^2}+y\sqrt{(z+x)^2}+z\sqrt{(x+y)^2}$

Mà: $x,y,z>0$$\Rightarrow VT=2(xy+yz+zx)=2a(đpcm)$

30) Rút gọn: $A=\frac{x^4-x^3-2x-4}{2x^4-3x^3+2x^2-6x-4}$

31) Gọi a là nghiệm dương của phương trình $\sqrt{2}x^2+x-1=0$ .Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $B=\frac{2a-3}{\sqrt{2(2a^4-2a+3)}+2a^2}$

32) Cho biểu thức $C=\frac{\sqrt{a+4\sqrt{a-4}}+\sqrt{a-4\sqrt{a-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{a}+\frac{16}{a^2}}}$ .Tìm các giá trị nguyên của a để C có giá trị nguyên.

33) Rút gọn biểu thức: $D=\left ( \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b} \right ).\frac{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^2}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}$

34) Cho $a,b,c$ là các số thực khác 0 thỏa mãn $ab+bc+ca=0$ Chứng minh rằng: $\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=3$