Lời giải
Dễ dàng CM được bằng qui nạp $x_n > 0$
Xét hiệu $2(x_{n+1} - x_n) = \sqrt{x_n^2+5x_n} - x_n = \dfrac{5x_n}{ \sqrt{x_n^2+5x_n} - x_n } > 0$ (do $x_n > 0$)
CM $\lim x_n = +\infty$
Từ hệ thức truy hồi ta có:
$2x_{n+1} = \sqrt{x_n^2 + 5x_n} + x_n$
$\to 2x_{n+1} - x_n = \sqrt{x_n^2+5x_n}$
$\to 4x_{n+1}^2 - 4x_{n+1}x_n + x_n^2 = x_n^2 + 5x_n$
$\to 4x_{n+1}(x_{n+1} - x_n) = 5x_n$
$\to \dfrac{4(x_{n+1} - x_n)}{x_n} = \dfrac{5}{x_{n+1}}$
$\to \dfrac{4(x_{n+1} - x_n)}{x_n . x_{n+1}} = \dfrac{5}{x_{n+1}^2}$
$\to \dfrac{4}{5}(\dfrac{1}{x_n} - \dfrac{1}{x_{n+1}}) = \dfrac{1}{x_{n+1}^2}$
Từ đó $\lim v_n = \lim \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{u_n^2} = \dfrac{4}{15}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 10-03-2023 - 21:27