Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n,$ số $2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $n$ ước nguyên tố có dạng $8k+3,k\in \mathbb{Z}^{+}.$

- - - - -

Lời giải supermember, 21-03-2023 - 12:00

Bài này giải như thế này.

 

Bước 1: Ta đi chứng minh mọi ước nguyên tố của số $2^{3^{n}}+1$ đều phải có dạng $8k+3$ hoặc $8k+1$.

 

Thật vậy, giả sử : $ 2^{3^{n}}+1 \equiv 0 \pmod p \implies  2^{3^{n}} \equiv -1  \pmod p $

 

$ \implies  2^{3^{n} +1} \equiv -2  \pmod p  \implies  \left(2^{\frac{3^{n} +1}{2}} \right)^2 \equiv -2  \pmod p $

 

Tức là $-2$ là số chính phương $ \pmod p$.

 

$ \implies \big( \frac{-2}{p} \big) =   \big( \frac{-1}{p} \big) \cdot \big( \frac{2}{p} \big) =1$

 

Nên chỉ có thể xảy ra $2$ trường hợp:

 

Trường hợp $1$:  $\big( \frac{-1}{p} \big) = \big( \frac{2}{p} \big) =1$ 

Mà : $ \big( \frac{-1}{p} \big) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} ;  \big( \frac{2}{p} \big) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$ 

Tức là : $p$ phải có dạng $8k+1$ 

 

Trường hợp $2$:  $\big( \frac{-1}{p} \big) = \big( \frac{2}{p} \big) = -1$ 

Mà : $ \big( \frac{-1}{p} \big) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} ;  \big( \frac{2}{p} \big) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$ 

Tức là :  $p$ phải có dạng $8k+3$ 

 

Mà rõ ràng  $2^{3^{n}}+1$  cũng có dạng $8k+1$, suy ra khi viết $2^{3^{n}}+1$ dưới dạng tích của các ước số nguyên tố (không nhất thiết phân biệt), thì phải có đúng một số chẵn các ước nguyên tố dạng $8k+3$. Các ước nguyên tố lẻ còn lại (nếu có) thì có dạng $8k+1$. Ta gọi tính chất này là tính chất $ \alpha$.

 

Bước $2$: Ta đi chứng minh số $  (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ cũng có tính chất $ \alpha$ .

 

Thật vậy, rõ ràng: $  2^{3^{n+1}}+1 = (2^{3^{n}}+1) \cdot ( (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1)$ mà  $  2^{3^{n+1}}+1 ; \ 2^{3^{n}}+1 $ đều có tính chất  $ \alpha$. Nên hiển nhiên $  (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ cũng có tính chất $ \alpha$ .

 

Bước $3$: Ta đi chứng minh $  (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ phải có ít nhất $1$ ước nguyên tố $p$ dạng $8k+3$ mà $ p$ không phải ước nguyên tố của $2^{3^{n}}+1$ $(*)$.

 

Chứng minh điều này không khó:

 

$   \left( 2^{3^{n}}+1 \right)^2 -  \big( (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1 \big) = 3 \cdot 2^{3^{n}}  \ \ (**)$ 

 

Ta để ý điều sau: $ 3 $ $  ||   (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1 $ , chứng minh đơn giản bằng cách viết: $ 2^3 = 3^2 -1$.

 

Nên để $ (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ có tính chất $ \alpha$ thì  $ (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$  phải có ít nhất một ước nguyên tố lẻ $p$ khác $3$ có dạng $ p = 8k+3$, nếu $p$ cũng là ước số của số  $2^{3^{n}}+1$ thì từ  $(**)$ suy ra $ p |  3 \cdot 2^{3^{n}} $ , vô lý.

 

Do đó $(*)$ được chứng minh.

 

Bước $4$: Chứng minh khẳng định bài toán bằng quy nạp.

 

Với $n=1$, $2$ ta dễ thấy khẳng định bài toán đúng do:

 

 Số $2^{3^{1}}+1 = 3^2$ có đúng $1$ ước nguyên tố dạng $8k+3$ là $3$

 

Số $2^{3^{2}}+1 = 3^3 \cdot 19$ có đúng $2$ ước nguyên tố dạng $8k+3$ là $3 ; \ 19$

 

Giả sử khẳng định đúng đến $n$, $ n \geq 2$ thì:

 

 $  2^{3^{n+1}}+1 = (2^{3^{n}}+1) \cdot ( (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1)$ , trong đó  $  2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $n$ ước nguyên tố phân biệt dạng $8k+3$ (Giả thiết quy nạp). Còn $ (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $1$ ước nguyên tố dạng $8k+3$, số nguyên tố này không phải ước của $  2^{3^{n}}+1$ (theo  $(*)$ ) .

 

Suy ra $  2^{3^{n+1}}+1$ phải có ít nhất $n+1$ ước nguyên tố phân biệt dạng $8k+3$.

 

Do đó, khẳng định đúng đến $n+1$, và theo nguyên lý quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số nguyên dương $n$.

 

Ta thấy rằng bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n,$ số $2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $n$ ước nguyên tố có dạng $8k+3,k\in \mathbb{Z}^{+}.$ 



#2
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết
✓  Lời giải

Bài này giải như thế này.

 

Bước 1: Ta đi chứng minh mọi ước nguyên tố của số $2^{3^{n}}+1$ đều phải có dạng $8k+3$ hoặc $8k+1$.

 

Thật vậy, giả sử : $ 2^{3^{n}}+1 \equiv 0 \pmod p \implies  2^{3^{n}} \equiv -1  \pmod p $

 

$ \implies  2^{3^{n} +1} \equiv -2  \pmod p  \implies  \left(2^{\frac{3^{n} +1}{2}} \right)^2 \equiv -2  \pmod p $

 

Tức là $-2$ là số chính phương $ \pmod p$.

 

$ \implies \big( \frac{-2}{p} \big) =   \big( \frac{-1}{p} \big) \cdot \big( \frac{2}{p} \big) =1$

 

Nên chỉ có thể xảy ra $2$ trường hợp:

 

Trường hợp $1$:  $\big( \frac{-1}{p} \big) = \big( \frac{2}{p} \big) =1$ 

Mà : $ \big( \frac{-1}{p} \big) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} ;  \big( \frac{2}{p} \big) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$ 

Tức là : $p$ phải có dạng $8k+1$ 

 

Trường hợp $2$:  $\big( \frac{-1}{p} \big) = \big( \frac{2}{p} \big) = -1$ 

Mà : $ \big( \frac{-1}{p} \big) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} ;  \big( \frac{2}{p} \big) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$ 

Tức là :  $p$ phải có dạng $8k+3$ 

 

Mà rõ ràng  $2^{3^{n}}+1$  cũng có dạng $8k+1$, suy ra khi viết $2^{3^{n}}+1$ dưới dạng tích của các ước số nguyên tố (không nhất thiết phân biệt), thì phải có đúng một số chẵn các ước nguyên tố dạng $8k+3$. Các ước nguyên tố lẻ còn lại (nếu có) thì có dạng $8k+1$. Ta gọi tính chất này là tính chất $ \alpha$.

 

Bước $2$: Ta đi chứng minh số $  (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ cũng có tính chất $ \alpha$ .

 

Thật vậy, rõ ràng: $  2^{3^{n+1}}+1 = (2^{3^{n}}+1) \cdot ( (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1)$ mà  $  2^{3^{n+1}}+1 ; \ 2^{3^{n}}+1 $ đều có tính chất  $ \alpha$. Nên hiển nhiên $  (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ cũng có tính chất $ \alpha$ .

 

Bước $3$: Ta đi chứng minh $  (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ phải có ít nhất $1$ ước nguyên tố $p$ dạng $8k+3$ mà $ p$ không phải ước nguyên tố của $2^{3^{n}}+1$ $(*)$.

 

Chứng minh điều này không khó:

 

$   \left( 2^{3^{n}}+1 \right)^2 -  \big( (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1 \big) = 3 \cdot 2^{3^{n}}  \ \ (**)$ 

 

Ta để ý điều sau: $ 3 $ $  ||   (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1 $ , chứng minh đơn giản bằng cách viết: $ 2^3 = 3^2 -1$.

 

Nên để $ (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ có tính chất $ \alpha$ thì  $ (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$  phải có ít nhất một ước nguyên tố lẻ $p$ khác $3$ có dạng $ p = 8k+3$, nếu $p$ cũng là ước số của số  $2^{3^{n}}+1$ thì từ  $(**)$ suy ra $ p |  3 \cdot 2^{3^{n}} $ , vô lý.

 

Do đó $(*)$ được chứng minh.

 

Bước $4$: Chứng minh khẳng định bài toán bằng quy nạp.

 

Với $n=1$, $2$ ta dễ thấy khẳng định bài toán đúng do:

 

 Số $2^{3^{1}}+1 = 3^2$ có đúng $1$ ước nguyên tố dạng $8k+3$ là $3$

 

Số $2^{3^{2}}+1 = 3^3 \cdot 19$ có đúng $2$ ước nguyên tố dạng $8k+3$ là $3 ; \ 19$

 

Giả sử khẳng định đúng đến $n$, $ n \geq 2$ thì:

 

 $  2^{3^{n+1}}+1 = (2^{3^{n}}+1) \cdot ( (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1)$ , trong đó  $  2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $n$ ước nguyên tố phân biệt dạng $8k+3$ (Giả thiết quy nạp). Còn $ (2^{3^{n}})^2 -     2^{3^{n}}+1$ có ít nhất $1$ ước nguyên tố dạng $8k+3$, số nguyên tố này không phải ước của $  2^{3^{n}}+1$ (theo  $(*)$ ) .

 

Suy ra $  2^{3^{n+1}}+1$ phải có ít nhất $n+1$ ước nguyên tố phân biệt dạng $8k+3$.

 

Do đó, khẳng định đúng đến $n+1$, và theo nguyên lý quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số nguyên dương $n$.

 

Ta thấy rằng bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 21-03-2023 - 17:47

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh