Đến nội dung

Hình ảnh

Một đẳng thức tổ hợp liên hệ giữa số Fibonacci và hàm lượng giác

- - - - - đẳng thức tổ hợp số fibonacci

Lời giải vutuanhien, 26-03-2023 - 22:35

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì

$$\prod_{k=1}^{n-1} \left(4\cos^2 \tfrac{k\pi}{n} + 1\right) = F_n^2,$$ trong đó $$\begin{cases} F_1 = F_2 = 1, \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} & \text{nếu } n \ge 3. \end{cases}$$

Đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành

$$F_{n}=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}\right).$$

Xét đa thức tổng quát $F_{n}(x)$ cho bởi

$$\begin{cases} F_{1}(x)= F_{2}(x)=1,\\ F_{n}(x)=xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x). \end{cases}$$

Khi cho $x=1$ thì ta thu được dãy Fibonacci. Hơn nữa bậc của $F_{n}(x)$ là $n-1$. Ý tưởng là ta chứng minh 

$$F_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}\right).$$

Phương trình đặc trưng của dãy truy hồi này là $1-xt-t^{2}=0$ có 2 nghiệm là $t_{1}=\dfrac{-x-\sqrt{x^{2}+4}}{2}$, $t_{2}=\dfrac{-x-\sqrt{x^{2}+4}}{2}$. Từ đó ta có công thức tổng quát 

$$F_{n}(x)=\dfrac{t_{1}^{n}-t_{2}^{n}}{t_{1}-t_{2}}.$$

Thay $x=2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}$ vào ta có

$$t_{1}=i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}-\sin{\tfrac{k\pi}{n}}=(-i)e^{ik\pi/n},\quad t_{2}=i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}+\sin{\tfrac{k\pi}{n}}=(-i)e^{-ik\pi/n}.$$

Như vậy $F_{n}(\cos{\tfrac{k\pi}{n}})=\dfrac{(-i)^{n-1}\sin{k\pi}}{\sin{\frac{k\pi}{n}}}=0$, tức là 

$$F_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}\right).$$

Thay $x=1$ và bình phương hai vế ta có đẳng thức ở đề bài. $\square$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì

$$\prod_{k=1}^{n-1} \left(4\cos^2 \tfrac{k\pi}{n} + 1\right) = F_n^2,$$ trong đó $$\begin{cases} F_1 = F_2 = 1, \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} & \text{nếu } n \ge 3. \end{cases}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 26-03-2023 - 21:41

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#2
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết
✓  Lời giải

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì

$$\prod_{k=1}^{n-1} \left(4\cos^2 \tfrac{k\pi}{n} + 1\right) = F_n^2,$$ trong đó $$\begin{cases} F_1 = F_2 = 1, \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} & \text{nếu } n \ge 3. \end{cases}$$

Đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành

$$F_{n}=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}\right).$$

Xét đa thức tổng quát $F_{n}(x)$ cho bởi

$$\begin{cases} F_{1}(x)= F_{2}(x)=1,\\ F_{n}(x)=xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x). \end{cases}$$

Khi cho $x=1$ thì ta thu được dãy Fibonacci. Hơn nữa bậc của $F_{n}(x)$ là $n-1$. Ý tưởng là ta chứng minh 

$$F_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}\right).$$

Phương trình đặc trưng của dãy truy hồi này là $1-xt-t^{2}=0$ có 2 nghiệm là $t_{1}=\dfrac{-x-\sqrt{x^{2}+4}}{2}$, $t_{2}=\dfrac{-x-\sqrt{x^{2}+4}}{2}$. Từ đó ta có công thức tổng quát 

$$F_{n}(x)=\dfrac{t_{1}^{n}-t_{2}^{n}}{t_{1}-t_{2}}.$$

Thay $x=2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}$ vào ta có

$$t_{1}=i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}-\sin{\tfrac{k\pi}{n}}=(-i)e^{ik\pi/n},\quad t_{2}=i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}+\sin{\tfrac{k\pi}{n}}=(-i)e^{-ik\pi/n}.$$

Như vậy $F_{n}(\cos{\tfrac{k\pi}{n}})=\dfrac{(-i)^{n-1}\sin{k\pi}}{\sin{\frac{k\pi}{n}}}=0$, tức là 

$$F_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}\right).$$

Thay $x=1$ và bình phương hai vế ta có đẳng thức ở đề bài. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 26-03-2023 - 22:36

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đẳng thức tổ hợp, số fibonacci

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh