Lời giải
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì
$$\prod_{k=1}^{n-1} \left(4\cos^2 \tfrac{k\pi}{n} + 1\right) = F_n^2,$$ trong đó $$\begin{cases} F_1 = F_2 = 1, \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} & \text{nếu } n \ge 3. \end{cases}$$
Đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành
$$F_{n}=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}\right).$$
Xét đa thức tổng quát $F_{n}(x)$ cho bởi
$$\begin{cases} F_{1}(x)= F_{2}(x)=1,\\ F_{n}(x)=xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x). \end{cases}$$
Khi cho $x=1$ thì ta thu được dãy Fibonacci. Hơn nữa bậc của $F_{n}(x)$ là $n-1$. Ý tưởng là ta chứng minh
$$F_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}\right).$$
Phương trình đặc trưng của dãy truy hồi này là $1-xt-t^{2}=0$ có 2 nghiệm là $t_{1}=\dfrac{-x-\sqrt{x^{2}+4}}{2}$, $t_{2}=\dfrac{-x-\sqrt{x^{2}+4}}{2}$. Từ đó ta có công thức tổng quát
$$F_{n}(x)=\dfrac{t_{1}^{n}-t_{2}^{n}}{t_{1}-t_{2}}.$$
Thay $x=2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}$ vào ta có
$$t_{1}=i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}-\sin{\tfrac{k\pi}{n}}=(-i)e^{ik\pi/n},\quad t_{2}=i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}+\sin{\tfrac{k\pi}{n}}=(-i)e^{-ik\pi/n}.$$
Như vậy $F_{n}(\cos{\tfrac{k\pi}{n}})=\dfrac{(-i)^{n-1}\sin{k\pi}}{\sin{\frac{k\pi}{n}}}=0$, tức là
$$F_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n-1}\left(x-2i\cos{\tfrac{k\pi}{n}}\right).$$
Thay $x=1$ và bình phương hai vế ta có đẳng thức ở đề bài. $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 26-03-2023 - 22:36