Xét các số phức thỏa mãn $|z^{2}-6z-i(3+5i)|=4|z-3|$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z-3|. Giá trị của biểu thức $3M^{2}-4m^{2}$ là?
Xét các số phức thỏa mãn $|z^{2}-6z-i(3+5i)|=4|z-3|$
Lời giải Le Tuan Canhh, 17-05-2023 - 16:21
Ta có : $|z^{2}-6z-i(3+5i)|=4|z-3| \Leftrightarrow |(z-3)^{2}+(-4-3i))|=4|z-3|$
Áp dụng : $|z_{1}+z_{2}|\geq ||z_{1}|-|z_{2}||$
Ta được : $4|z-3|\geq ||z-3|^{2}-5|$
+) TH1: $4|z-3|\geq |z-3|^{2}-5\Leftrightarrow 0\leq |z-3|\leq 5$
+) TH2: $4|z-3|\geq 5-|z-3|^{2}\Leftrightarrow |z-3|\geq 1$
$\Rightarrow M=5 ; m=1 \rightarrow 3M^{2}-4m^{2}=71$
Đi đến bài viết »
#1
Đã gửi 15-05-2023 - 22:25
#2
Đã gửi 17-05-2023 - 16:21
Ta có : $|z^{2}-6z-i(3+5i)|=4|z-3| \Leftrightarrow |(z-3)^{2}+(-4-3i))|=4|z-3|$
Áp dụng : $|z_{1}+z_{2}|\geq ||z_{1}|-|z_{2}||$
Ta được : $4|z-3|\geq ||z-3|^{2}-5|$
+) TH1: $4|z-3|\geq |z-3|^{2}-5\Leftrightarrow 0\leq |z-3|\leq 5$
+) TH2: $4|z-3|\geq 5-|z-3|^{2}\Leftrightarrow |z-3|\geq 1$
$\Rightarrow M=5 ; m=1 \rightarrow 3M^{2}-4m^{2}=71$
- perfectstrong và Vu Tien Thanh thích
Dư Hấu
#3
Đã gửi 17-05-2023 - 16:35
Ta có : $|z^{2}-6z-i(3+5i)|=4|z-3| \Leftrightarrow |(z-3)^{2}+(-4-3i))|=4|z-3|$
Áp dụng : $|z_{1}+z_{2}|\geq ||z_{1}|-|z_{2}||$
Ta được : $4|z-3|\geq ||z-3|^{2}-5|$
+) TH1: $4|z-3|\geq |z-3|^{2}-5\Leftrightarrow 0\leq |z-3|\leq 5$
+) TH2: $4|z-3|\geq 5-|z-3|^{2}\Leftrightarrow |z-3|\geq 1$
$\Rightarrow M=5 ; m=1 \rightarrow 3M^{2}-4m^{2}=71$
Bạn chỉ ra thêm dấu "=" cho $M,m$ nữa là đủ điểm
- Vu Tien Thanh và Le Tuan Canhh thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#4
Đã gửi 17-05-2023 - 17:07
Dấu "=" của $ |z_{1}+z_{2}|\geq ||z_{1}|-|z_{2}|| $ là $z_{1}=kz_{2}$ ( với $k\leq 0$ )
Để đạt max $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} | z-3|=5 & \\ (z-3)^{2}=k(-4-3i) ;( k \leq 0 )& \end{matrix}\right.$ $\rightarrow k=-5$
Tìm được $z=3+\frac{3\sqrt{10}}{2}+\frac{\sqrt{10}}{2}i$ và $z=3-\frac{3\sqrt{10}}{2}-\frac{\sqrt{10}}{2}i$
Tương tự .
Để đạt min , $z=3+\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{10}}i ; z=3-\frac{3}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{10}}i$
- perfectstrong và Vu Tien Thanh thích
Dư Hấu
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh